Brevet : Pondichéry 2018

1.Un plateau tournant comporte 13 cases numérotées de 0 à 12, toutes équiprobables. Quelle est la probabilité que la boule s'arrête sur la case numérotée 8 ?

Une seule case porte le numéro 8, sur 13 cases possibles : la probabilité est donc \dfrac{1}{13}.

2.Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur laquelle la boule s'arrête soit un nombre impair ?

Parmi les nombres de 0 à 12, les nombres impairs sont 1, 3, 5, 7, 9 et 11 : il y en a 6. La probabilité est donc \dfrac{6}{13}.

3.Quelle est la probabilité que ce numéro soit un nombre premier ?

Parmi les nombres de 0 à 12, les nombres premiers sont 2, 3, 5, 7 et 11 : il y en a 5. La probabilité est donc \dfrac{5}{13}.

4.Lors des deux derniers lancers, la boule s'est arrêtée à chaque fois sur la case numérotée 9. A-t-on maintenant plus de chances que la boule s'arrête sur la case 9 plutôt que sur la case 7 ?

Chaque lancer est indépendant des précédents : le plateau ne « garde pas la mémoire » des lancers passés.
À chaque lancer, la probabilité de s'arrêter sur la case 9 reste égale à \dfrac{1}{13}, tout comme celle de s'arrêter sur la case 7.
Donc, la réponse est non : il n'y a pas plus de chances de tomber sur la case 9 que sur la case 7.

1.Un pavage (figure 1) est construit à partir d'un motif « pied-de-coq » (figure 2), répété plusieurs fois sur un quadrillage. Quelle transformation géométrique permet d'obtenir le motif 2 à partir du motif 1 ?

Le motif 2 occupe exactement la même orientation que le motif 1, simplement déplacé sur le quadrillage : il s'agit donc d'une translation.

2.En prenant AB = 1 cm comme unité de longueur sur le quadrillage (figure 2), déterminer l'aire d'un motif pied-de-coq.

En comptant les carreaux du quadrillage recouverts par le motif, on trouve 4 carreaux entiers et 8 demi-carreaux.
L'aire du motif est donc \begin{aligned}4 + 8\times0{,}5 &= 4+4 \\ &= 8\end{aligned} cm^{2}.

3.Marie affirme : « si je divise par 2 les longueurs d'un motif, son aire sera aussi divisée par 2. » A-t-elle raison ?

Lorsqu'on applique un coefficient de réduction k aux longueurs d'une figure, l'aire est multipliée par k^2 (et non par k).
Ici k = \dfrac{1}{2}, donc l'aire est multipliée par \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}, c'est-à-dire divisée par 4.
Donc, la réponse est non : Marie a tort, l'aire est divisée par 4 et non par 2.

Question 1. Quelle est l'écriture décimale de 2{,}53\times10^{15} ?

Multiplier par 10^{15} revient à décaler la virgule de 15 rangs vers la droite : 2{,}53\times10^{15} = 2 530 000 000 000 000.

Question 2. Quelle est la latitude de l'équateur ?

Par définition, l'équateur est la ligne de référence des latitudes : sa latitude est 0^{\circ}.

Question 3. Quelle est la valeur de \dfrac{\frac{2}{3}+\frac{5}{6}}{7} ?

On réduit d'abord au même dénominateur au numérateur : \begin{aligned}\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6} &= \dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6} \\ &= \dfrac{9}{6} \\ &= \dfrac{3}{2}\end{aligned}
On divise ensuite par 7 : {\dfrac{3}{2}\div7 = \dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{7} =} \dfrac{3}{14}.

1.Deux programmes de calcul sont proposés : le programme A (choisir un nombre, soustraire 3, calculer le carré du résultat) et le programme B (choisir un nombre, calculer son carré, ajouter le triple du nombre de départ, ajouter 7). Corinne choisit le nombre 1 et applique le programme A. Détailler les calculs pour montrer que le résultat est 4.

2.Tidjane choisit le nombre -5 et applique le programme B. Quel résultat obtient-il ?

3.Lina regroupe les résultats des deux programmes dans un tableur. La ligne 2 donne les résultats du programme A, la ligne 3 ceux du programme B, en fonction du nombre de départ saisi en ligne 1. Sachant que la formule saisie en B2 est {=(\text{B}1-3)^2}, quelle formule, copiée ensuite vers la droite jusqu'en H3, Lina a-t-elle saisie en B3 ?

La cellule B3 doit reproduire le calcul du programme B à partir du nombre de la cellule B1 : Lina a saisi {=\text{B}1^2+3\times\text{B}1+7}.

4.aZoé appelle x le nombre choisi au départ. Montrer que le résultat du programme A, exprimé en fonction de x, s'écrit sous forme développée et réduite x^2-6x+9.

Le programme A donne, à partir de x : \begin{aligned}(x-3)^2 &= x^2-2\times3\times x+3^2 \\ &= x^2-6x+9\end{aligned}

4.bÉcrire le résultat du programme B en fonction de x.

Le programme B donne : x^2+3x+7.

4.cExiste-t-il un nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat ? Si oui, lequel ?

On cherche x tel que {x^2-6x+9 = x^2+3x+7}.
En retranchant x^2 des deux côtés : -6x+9 = 3x+7, soit 9-7 = 3x+6x, c'est-à-dire 2 = 9x.
On obtient x = \dfrac{2}{9}.
Donc, la réponse est oui : pour x=\dfrac{2}{9}, les deux programmes donnent le même résultat, à savoir \begin{aligned}\left(\dfrac{2}{9}-3\right)^2 &= \left(\dfrac{2}{9}-\dfrac{27}{9}\right)^2 \\ &= \left(-\dfrac{25}{9}\right)^2 \\ &= \dfrac{625}{81}\end{aligned}

1.Une fléchette est représentée par le point F de coordonnées (72 ; 54) dans un repère d'origine O. En notant H le projeté de F sur l'axe des abscisses (donc OH = 72 et HF = 54), montrer que la distance OF vaut 90.

Le triangle OFH est rectangle en H (par construction, HF est vertical et OH horizontal).
D'une part, \text{OF}^2 est la quantité que l'on cherche à calculer.
D'autre part, d'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle OFH rectangle en H, \text{OF}^2 = \text{OH}^2+\text{HF}^2 = 72^2+54^2 = 5\,184+2\,916 = 8\,100.
On a donc \text{OF} = \sqrt{8\,100} = 90.
Donc, d'après le théorème de Pythagore, la distance OF est bien égale à 90.

2.La cible est un disque de rayon 100 centré en O. D'une façon générale, quel nombre ne doit pas dépasser la distance OF pour que la fléchette atteigne la cible ?

Pour que le point F soit à l'intérieur du disque, il faut et il suffit que la distance OF soit strictement inférieure au rayon du disque : la distance OF ne doit pas dépasser 100 (elle doit même lui être strictement inférieure).

3.aUn programme simule des lancers de fléchette, avec des coordonnées x et y aléatoires entre -100 et 100, répétés dans une boucle « répéter 120 fois ». Combien de lancers sont simulés à chaque exécution ?

La boucle du programme est répétée 120 fois : le programme simule donc 120 lancers.

3.bQuel est le rôle de la variable score dans ce programme ?

La variable score compte, au fil des 120 lancers simulés, le nombre de fléchettes qui ont atteint la cible.

3.cLe programme utilise trois variables : carré de OF, distance et score. Comment compléter les lignes qui calculent le carré de OF, la distance, puis testent si la cible est atteinte ?

La variable carré de OF doit recevoir la somme du carré de l'abscisse et du carré de l'ordonnée du point simulé, soit (abscisse x)\times(abscisse x) + (ordonnée y)\times(ordonnée y).
La variable distance doit recevoir la racine carrée de la variable carré de OF.
Le test doit ensuite comparer la variable distance à la valeur 100 : si distance est inférieure à 100, on ajoute 1 au score.

3.dAprès une exécution du programme, la variable score est égale à 102. À quelle fréquence la cible a-t-elle été atteinte ? Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible.

La fréquence de réussite est \dfrac{102}{120}.
On simplifie : \begin{aligned}\dfrac{102}{120} &= \dfrac{51}{60} \\ &= \dfrac{17}{20}\end{aligned} (en divisant par 2 puis par 3).
Donc, la réponse est \dfrac{17}{20}.

4.On admet que la probabilité d'atteindre la cible est égale au quotient de l'aire de la cible par l'aire de la plaque carrée (côté 200, rayon de la cible 100). Donner une valeur approchée de cette probabilité au centième près.

L'aire de la plaque carrée est {200^2 = 40\,000}.
L'aire de la cible (disque de rayon 100) est \pi\times100^2 = 10\,000\,\pi.
La probabilité est donc \dfrac{10\,000\,\pi}{40\,000} = \dfrac{\pi}{4} \approx 0,79 au centième près.

1.Un graphique donne la fréquence cardiaque de Chris (en battements par minute) en fonction du temps lors d'une course à VTT. Quelle est sa fréquence cardiaque au départ de la course ?

D'après le graphique, la fréquence cardiaque de Chris au départ de la course est d'environ 52 battements par minute.

2.Quel est le maximum de la fréquence cardiaque atteinte par Chris au cours de sa course ?

D'après le graphique, la fréquence cardiaque maximale atteinte par Chris avoisine 160 battements par minute.

3.Chris est parti à 9 h 33 de chez lui et a terminé sa course à 10 h 26. Quelle a été la durée de sa course, en minutes ?

De 9 h 33 à 10 h 00, il s'écoule {60-33 = 27} minutes.
De 10 h 00 à 10 h 26, il s'écoule 26 minutes.
La durée totale de la course est donc 27+26 = 53 minutes.

4.Chris a parcouru 11 km lors de cette course. Montrer que sa vitesse moyenne est d'environ 12,5 km/h.

La vitesse moyenne est v = \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}, avec une durée de 53 minutes, soit \dfrac{53}{60} heure.
On calcule \begin{aligned}v &= \dfrac{11}{\frac{53}{60}} \\ &= \dfrac{11\times60}{53} \\ &= \dfrac{660}{53} \\ &\approx 12{,}45\end{aligned} km/h.
Donc, la réponse est confirmée : au dixième près, la vitesse moyenne de Chris est bien d'environ 12,5 km/h.

5.La fréquence cardiaque maximale (FCM) de Chris est 190 battements par minute. Un tableau indique qu'un effort est « soutenu » lorsque la fréquence cardiaque mesurée est comprise entre 70 % et 85 % de la FCM. Estimer la durée de la période pendant laquelle Chris a fourni un effort soutenu.

On calcule les deux seuils : {190\times\dfrac{70}{100} = 133} battements par minute, et {190\times\dfrac{85}{100} = 161{,}5} battements par minute.
Il faut donc repérer, sur le graphique, la période où la fréquence cardiaque reste comprise entre 133 et 161,5 battements par minute (en pratique, une fois passé le pic initial, la fréquence de Chris reste supérieure à 133 sur une longue plage).
On lit ainsi que cette fréquence dépasse 133 battements par minute entre environ la 8^{\text{e}} et la 42^{\text{e}} minute de course, soit pendant environ 34 minutes.

1.ABC est un triangle rectangle en A tel que \widehat{\text{ABC}} = 30^{\circ} et AB = 7 cm. H est le pied de la hauteur issue de A. Décrire les étapes de construction de la figure en vraie grandeur.

2.Démontrer que AH = 3,5 cm.

Le triangle ABH est rectangle en H, car (AH) est la hauteur issue de A, donc perpendiculaire à (BC).
Dans ce triangle rectangle en H, l'hypoténuse est [AB] et l'angle en B est le même que dans le triangle ABC, à savoir \widehat{\text{ABH}} = 30^{\circ}.
SOH-CAH-TOA : le côté [AH] est opposé à l'angle en B, on utilise donc le sinus : \sin(\widehat{\text{ABH}}) = \dfrac{\text{AH}}{\text{AB}}.
On en déduit {\text{AH} = \text{AB}\times\sin(30^{\circ}) = 7\times0{,}5 = 3{,}5}.
Donc, la réponse est confirmée : AH = 3,5 cm.

3.Démontrer que les triangles ABC et HAC sont semblables.

Le triangle ABC est rectangle en A, avec \widehat{\text{ABC}} = 30^{\circ} et donc \begin{aligned}\widehat{\text{ACB}} &= 90-30 \\ &= 60^{\circ}\end{aligned}
Le triangle HAC est rectangle en H (puisque (AH) est la hauteur, donc perpendiculaire à (BC)), et il partage avec ABC le même angle en C, à savoir \begin{aligned}\widehat{\text{HCA}} &= \widehat{\text{ACB}} \\ &= 60^{\circ}\end{aligned}
Les deux triangles ont donc un angle droit et un angle de 60^{\circ} en commun : leurs troisièmes angles sont donc aussi égaux (30^{\circ} chacun).
Donc, les triangles ABC et HAC ont leurs trois angles deux à deux égaux : ils sont semblables.

4.Déterminer le coefficient de réduction permettant de passer du triangle ABC au triangle HAC.

Dans la similitude qui transforme ABC en HAC, les sommets se correspondent ainsi : A devient H, B devient A, C reste C (les angles correspondants sont égaux : l'angle droit en A correspond à l'angle droit en H, l'angle de 30^{\circ} en B correspond à celui de 30^{\circ} en A, l'angle de 60^{\circ} en C correspond à celui de 60^{\circ} en C).
Le côté [AB], opposé à l'angle de 60^{\circ} dans ABC, correspond donc au côté [HA], opposé à l'angle de 60^{\circ} dans HAC.
Le coefficient de réduction est \begin{aligned}k &= \dfrac{\text{HA}}{\text{AB}} \\ &= \dfrac{3{,}5}{7} \\ &= 0{,}5\end{aligned}
Donc, la réponse est : le triangle HAC est une réduction du triangle ABC de coefficient 0,5 (ses dimensions sont deux fois plus petites).