Brevet : Amérique du Nord 2019

1.Deux droites (ER) et (FT) se coupent en un point A, avec AE = 8 cm, AF = 10 cm, EF = 6 cm, AR = 12 cm et AT = 14 cm. Démontrer que le triangle AEF est rectangle en E.

D'une part, \begin{aligned}AF^2 &= 10^2 \\ &= 100\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}AE^2+EF^2 &= 8^2+6^2 \\ &= 64+36 \\ &= 100\end{aligned}
On a donc AF^2 = AE^2+EF^2, l'égalité de Pythagore est vérifiée.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AEF est rectangle en E.

2.En déduire une mesure, arrondie au degré, de l'angle \widehat{EAF}.

Dans le triangle AEF rectangle en E, l'angle \widehat{EAF} a pour côté adjacent [AE] et pour hypoténuse [AF].
SOH-CAH-TOA : \begin{aligned}\cos\widehat{EAF} &= \dfrac{AE}{AF} \\ &= \dfrac{8}{10} \\ &= 0{,}8\end{aligned}
À la calculatrice, \widehat{EAF} \approx 36{,}87^{\circ}, soit environ 37^{\circ} au degré près.

3.Les droites (EF) et (RT) sont-elles parallèles ?

Si les droites (EF) et (RT) étaient parallèles, alors d'après le théorème de Thalès appliqué aux droites (ER) et (FT) sécantes en A, on aurait \dfrac{AE}{AR} = \dfrac{AF}{AT}.
Or \dfrac{AE}{AR} = \dfrac{8}{12} et \dfrac{AF}{AT} = \dfrac{10}{14}. En comparant les produits en croix, {8\times14 = 112} et 12\times10 = 120.
Comme 112 \neq 120, les quotients ne sont pas égaux : les droites (EF) et (RT) ne sont pas parallèles.

1.Affirmation 1 : « \dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{3+1}{5+2} ». Vrai ou faux ?

D'une part, \begin{aligned}\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2} &= \dfrac{3\times2}{5\times2}+\dfrac{1\times5}{2\times5} \\ &= \dfrac{6}{10}+\dfrac{5}{10} \\ &= \dfrac{11}{10}\end{aligned}
D'autre part, \dfrac{3+1}{5+2} = \dfrac{4}{7}.
Le premier nombre est supérieur à 1 et le second est inférieur à 1 : ils ne peuvent pas être égaux. L'affirmation 1 est fausse.

2.On considère la fonction f définie par f(x) = 5-3x. Affirmation 2 : « l'image de -1 par f est -2 ». Vrai ou faux ?

\begin{aligned}f(-1) &= 5-3\times(-1) \\ &= 5+3 \\ &= 8\end{aligned} Comme 8 \neq -2, l'affirmation 2 est fausse.

3.On compare deux expériences aléatoires : choisir au hasard un nombre entier entre 1 et 11 (bornes incluses), ou lancer un dé équilibré à six faces. Affirmation 3 : « il est plus probable d'obtenir un nombre premier avec la première expérience que d'obtenir un nombre pair avec la seconde ». Vrai ou faux ?

Parmi les entiers de 1 à 11, les nombres premiers sont 2, 3, 5, 7 et 11, soit 5 nombres sur 11 : la probabilité d'obtenir un nombre premier est \dfrac{5}{11}.
Sur un dé à six faces, les nombres pairs sont 2, 4 et 6, soit 3 issues sur 6 : la probabilité d'obtenir un nombre pair est \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.
Or \dfrac{5}{11} < \dfrac{5{,}5}{11} = \dfrac{1}{2}, donc la probabilité d'obtenir un nombre premier est plus petite. L'affirmation 3 est fausse.

4.Affirmation 4 : « pour tout nombre x, (2x+1)^2-4 = (2x+3)(2x-1) ». Vrai ou faux ?

On reconnaît une identité de la forme a^2-b^2 avec a = 2x+1 et b = 2 : \begin{aligned}(2x+1)^2-4 &= (2x+1)^2-2^2 \\ &= (2x+1+2)(2x+1-2) \\ &= (2x+3)(2x-1)\end{aligned}
Ceci est vrai pour tout nombre x. L'affirmation 4 est vraie.

1.Un diagramme en barres indique, pour six pays A à F, la quantité de nourriture gaspillée (en kg) par habitant en 2010. Le pays D affiche une barre d'environ 130 kg. Donner une valeur approximative de la quantité gaspillée par un habitant du pays D.

D'après le diagramme, on lit une quantité approximative de 130 kg par habitant pour le pays D.

2.Le pays F affiche environ 110 kg par habitant et le pays A un peu plus de 540 kg par habitant. Peut-on affirmer que le gaspillage par habitant du pays F représente environ un cinquième de celui du pays A ?

Un cinquième du gaspillage du pays A correspondrait à 5\times110 = 550 kg, valeur à comparer à la lecture du pays A.
Comme le pays A affiche un peu plus de 540 kg, proche de 550 kg, l'affirmation est correcte : le gaspillage du pays F représente bien environ un cinquième de celui du pays A.

3.aPour trois autres pays X, Y et Z, un tableur indique la quantité gaspillée par habitant (en kg) et le nombre d'habitants (en millions) en 2010 : pays X, 345 kg/hab. et 10,9 millions d'habitants. Justifier que la quantité totale de nourriture gaspillée par les habitants du pays X est d'environ 3 760 500 tonnes.

La quantité totale gaspillée par les habitants du pays X, en kg, est {345\times10{,}9\times10^6 = 3\,760\,500\,000} kg.
Comme 1 tonne vaut 1 000 kg, cela représente \dfrac{3\,760\,500\,000}{1\,000} = 3 760 500 tonnes.

3.bLa colonne « quantité totale gaspillée (en tonnes) » a été calculée avec un tableur, à partir des colonnes « quantité par habitant en kg » (colonne B) et « nombre d'habitants en millions » (colonne C). Parmi trois formules proposées (=B2*C2*1000000, =B2*C2, =B2*C2*1000), laquelle a été saisie en cellule D2 puis recopiée vers le bas ?

Le produit B2*C2 donne une quantité en kg multipliée par des millions d'habitants, donc un résultat exprimé en millions de kg, soit des milliers de tonnes.
Pour obtenir un résultat directement en tonnes, il faut donc multiplier ce produit par 1 000 : c'est la formule =B2*C2*1000 qui a été saisie en D2.

1.Dans un jeu programmé avec un logiciel de blocs, le lutin part du point de coordonnées (-180 ; -120) et doit y retourner chaque fois qu'il touche un mur noir. Compléter l'instruction de retour au point de départ.

L'instruction à utiliser est « aller à x : -180 y : -120 », qui replace le lutin exactement à son point de départ.

2.Le labyrinthe est quadrillé, chaque déplacement se faisant par pas de 30 unités horizontalement ou verticalement. Quelle est la distance minimale, en unités, parcourue par le lutin entre le point de départ et le point de sortie ?

En suivant le chemin le plus court dans le labyrinthe : monter de 3 pas, aller à droite de 2 pas, descendre de 3 pas, aller à droite de 2 pas, monter de 4 pas, aller à droite de 8 pas, descendre de 4 pas, puis aller à droite de 1 pas.
Cela représente au total {3+2+3+2+4+8+4+1 = 27} pas de 30 unités chacun, soit 27\times30 = 810 unités.

3.Le jeu est lancé, le lutin est à son point de départ. On appuie brièvement sur la flèche du haut puis sur la flèche de droite. Décrire toutes les actions effectuées par le lutin.

En appuyant sur la flèche du haut, le lutin avance de 30 unités vers le haut.
En appuyant ensuite sur la flèche de droite, il se déplace de 30 unités vers la droite, ce qui le fait percuter un mur noir du labyrinthe.
Le programme affiche alors « Perdu » et replace le lutin à son point de départ.

1.ABCDEF est un hexagone régulier de centre O (les sommets sont nommés dans cet ordre en tournant autour de O). Parmi trois quadrilatères proposés (FABO, ABCO, FODE), lequel est l'image du quadrilatère CDEO par la symétrie de centre O ?

La symétrie centrale de centre O échange chaque sommet de l'hexagone avec le sommet diamétralement opposé : A avec D, B avec E, et C avec F. Le point O est son propre symétrique.
L'image du quadrilatère CDEO est donc formée des images de C, D, E et O, c'est-à-dire F, A, B et O : c'est le quadrilatère FABO.

2.Quelle est l'image du segment [AO] par la symétrie d'axe (CF) ?

L'axe (CF) relie deux sommets opposés de l'hexagone régulier et passe par le centre O : c'est un axe de symétrie de la figure, qui échange A avec E et B avec D, tout en laissant C, F et O invariants.
L'image du segment [AO] est donc le segment [EO].

3.La rotation de centre O transforme le triangle OAB en le triangle OCD. Quelle est l'image du triangle BOC par cette même rotation ?

Dans l'hexagone régulier, les sommets sont régulièrement espacés tous les 60^{\circ} autour de O. La rotation qui envoie A sur C et B sur D fait donc avancer chaque sommet de deux crans, soit un angle de 120^{\circ}.
En appliquant cette même rotation de 120^{\circ} au triangle BOC, B a pour image D et C a pour image E, tandis que O est invariant : l'image du triangle BOC est le triangle DOE.

4.Un pavage du plan est réalisé à partir du motif de cet hexagone, en numérotant certains des hexagones du pavage. Une translation transforme l'hexagone numéro 2 en l'hexagone numéro 12. Quelle est l'image de l'hexagone numéro 14 par cette translation ?

En reportant, dans le pavage, le même déplacement que celui qui envoie l'hexagone 2 sur l'hexagone 12, on obtient que l'image de l'hexagone 14 est l'hexagone 19.

PartieA. Un graphique donne la quantité de principe actif d'un médicament présent dans le sang (en mg/L), en fonction du temps écoulé depuis la prise de ce médicament (en heures). D'après ce graphique, quelle quantité de principe actif est présente dans le sang trente minutes après la prise du médicament ?

D'après la lecture du graphique, à {t = 0{,}5} h, la quantité de principe actif dans le sang est d'environ 10 mg/L.

PartieA (suite). Au bout de combien de temps la quantité de principe actif dans le sang est-elle la plus élevée ?

La courbe atteint son maximum au bout de 2 heures après la prise du médicament.

PartieB. La masse d'alcool m (en g) contenue dans une boisson alcoolisée se calcule par m = V\times d\times7{,}9, où V est le volume en cL et d le degré d'alcool exprimé sous forme décimale (par exemple, un degré de 2 % correspond à d = 0{,}02). La boisson 1 a un volume de 33 cL et un degré d'alcool de 5 % ; la boisson 2 a un volume de 125 mL (soit 12,5 cL) et un degré d'alcool de 12 %. La boisson 1 contient-elle une masse d'alcool supérieure à celle de la boisson 2 ?

Masse d'alcool de la boisson 1 : {m_1 = 33\times0{,}05\times7{,}9 =} 13,035 g.
Masse d'alcool de la boisson 2 : {m_2 = 12{,}5\times0{,}12\times7{,}9 =} 11,85 g.
Comme 13{,}035 > 11{,}85, la boisson 1 contient bien une masse d'alcool supérieure à celle de la boisson 2.

1.Pour ranger des boulets de canon, on empile des couches carrées superposées : une couche de n\times n boulets, puis une couche de (n-1)\times(n-1) boulets, et ainsi de suite jusqu'à une seule boule au sommet. Un empilement à 2 niveaux est ainsi formé d'une couche de 4 boulets et d'une couche de 1 boulet. Combien de boulets contient un empilement à 2 niveaux ?

Un empilement à 2 niveaux contient {4+1 =} 5 boulets.

2.Expliquer pourquoi un empilement à 3 niveaux contient 14 boulets.

Un empilement à 3 niveaux ajoute une couche de 3\times3 = 9 boulets sous l'empilement à 2 niveaux : il contient donc 9+4+1 = 14 boulets.

3.On range 55 boulets de canon selon cette méthode. Combien de niveaux comporte l'empilement obtenu ?

Avec 4 niveaux, l'empilement contient 16+9+4+1 = 30 boulets : il reste des boulets à placer, il faut donc au moins un niveau de plus.
Avec 5 niveaux, on ajoute une couche de 5\times5 = 25 boulets, ce qui donne 25+16+9+4+1 = 55 boulets, exactement le nombre voulu.
L'empilement de 55 boulets comporte donc 5 niveaux.

4.Chaque boulet est assimilé à une boule de rayon 6 cm, en fonte de masse volumique 7\,300 kg/m^{3} (1 m^{3} de fonte pèse 7 300 kg). Montrer que l'empilement à 3 niveaux (14 boulets) pèse environ 92 kg.

Le volume d'un boulet, assimilé à une boule de rayon 6 cm, est \begin{aligned}V &= \dfrac{4}{3}\times\pi\times6^3 \\ &= 288\pi\end{aligned} cm^{3}.
Les 14 boulets de l'empilement à 3 niveaux représentent donc un volume total de 14\times288\pi = 4\,032\pi cm^{3}.
Comme 1 m^{3} de fonte pèse 7 300 kg, 1 dm^{3} (1 000 cm^{3}) pèse 7,3 kg, donc 1 cm^{3} pèse 0{,}0073 kg.
La masse des 14 boulets est donc 4\,032\pi\times0{,}0073 \approx 92{,}47 kg, soit environ 92 kg au kilogramme près.

1.Huit élèves d'une classe passent un concours noté sur 20 avec une précision d'un demi-point. Six notes sont connues : 6 ; 7,5 ; 10 ; 13 ; 14,5 ; 15. Les deux notes restantes sont inconnues. On sait que la série des huit notes a une étendue de 9. Expliquer pourquoi il est impossible que l'une des deux notes inconnues soit égale à 16.

La plus petite note connue est 6. Si l'une des notes inconnues valait 16, elle deviendrait la plus grande note de la série, et l'étendue serait alors {16-6 = 10}.
Or l'étendue de la série est égale à 9, et 10 \neq 9 : il est donc impossible que l'une des deux notes inconnues soit égale à 16.

2.On sait de plus que la série a pour moyenne 11,5 et pour médiane 12, et que 75 % des élèves de la classe ayant passé ce concours ont été admis (note supérieure ou égale à 10). Est-il possible que les deux notes inconnues soient 12,5 et 13,5 ?

Avec les notes 12,5 et 13,5, l'étendue de la série serait 15-6 = 9, ce qui correspond bien à l'étendue annoncée.
La moyenne serait \begin{aligned}\dfrac{6+7{,}5+10+12{,}5+13+13{,}5+14{,}5+15}{8} &= \dfrac{92}{8} \\ &= 11{,}5\end{aligned} ce qui correspond aussi à la moyenne annoncée.
Six notes sur huit seraient supérieures ou égales à 10 (10 ; 12,5 ; 13 ; 13,5 ; 14,5 ; 15), soit une proportion de \begin{aligned}\dfrac{6}{8} &= \dfrac{3}{4} \\ &= 75\,\%\end{aligned} Cela correspond également à la proportion de reçus.
Mais en ordonnant la série complète, 6 ; 7,5 ; 10 ; 12,5 ; 13 ; 13,5 ; 14,5 ; 15, la médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs, soit \dfrac{12{,}5+13}{2} = 12{,}75, qui est différente de 12.
Cette dernière condition n'est donc pas respectée : il n'est pas possible que les deux notes inconnues soient 12,5 et 13,5.