Brevet : Métropole, Antilles et Guyane 2019

1.Un capitaine possède un trésor composé de 69 diamants, 1 150 perles et 4 140 pièces d'or. Décomposer ces trois nombres en produits de facteurs premiers.

69 = 3\times23.
1\,150 = 2\times5^2\times23.
4\,140 = 2^2\times3^2\times5\times23.

2.Le capitaine partage équitablement tout le trésor (diamants, perles et pièces) entre les marins de l'équipage, sans qu'il en reste. Combien y a-t-il de marins ?

Le nombre de marins doit diviser à la fois 69, 1 150 et 4 140 : c'est un diviseur commun aux trois nombres.
D'après les décompositions précédentes, le seul facteur premier commun aux trois nombres est 23, avec l'exposant 1 dans chaque cas.
Le trésor est donc partagé entre 23 marins.

1.Pour un décor de théâtre, on découpe dans une plaque rectangulaire ABCD (4 m sur 2 m) un triangle ADM rectangle en A, avec AD = 2 m et l'angle \widehat{ADM} = 60^{\circ} (M appartenant au côté [AB]). Montrer que AM mesure environ 3,46 m.

Dans le triangle ADM rectangle en A, [AD] est le côté adjacent à l'angle \widehat{ADM} et [AM] est le côté opposé à cet angle.
SOH-CAH-TOA : on utilise la tangente, \tan(\widehat{ADM}) = \dfrac{AM}{AD}, soit \tan(60^{\circ}) = \dfrac{AM}{2}.
Donc \begin{aligned}AM &= 2\times\tan(60^{\circ}) \\ &\approx 3{,}46\end{aligned}
AM mesure environ 3,46 m.

2.Le reste de la plaque (non utilisé pour les triangles) correspond au segment [MB] sur le côté [AB]. Calculer, au centième près, la proportion de la plaque qui n'est pas utilisée.

Comme M appartient à [AB] et AB = 4 m, on a \begin{aligned}MB &= AB-AM \\ &\approx 4-3{,}4641 \\ &\approx 0{,}5359\end{aligned} m.
La proportion de la plaque non utilisée est \dfrac{MB}{AB} \approx \dfrac{0{,}5359}{4} \approx 0,13 au centième près.

3.Pour que la superposition des triangles soit harmonieuse, il faut que les triangles AMD, PNM et PDN (obtenus par le découpage) soient semblables. Le démontrer.

Dans le triangle ADM, la somme des angles vaut 180^{\circ}. Il possède un angle droit en A et un angle de 60^{\circ} en D, donc son angle en M vaut {180-90-60 = 30^{\circ}}.
Le triangle DPN est rectangle en P (par construction du découpage) et son angle en D mesure 90-60 = 30^{\circ} (angles complémentaires le long de la même droite (AB)).
Le triangle DPN a donc deux angles de mêmes mesures (90^{\circ} et 30^{\circ}) que le triangle ADM : DPN et ADM sont semblables.
De même, le triangle MPN est rectangle en P et son angle en M mesure {90-30 = 60^{\circ}} : il a deux angles de mêmes mesures (90^{\circ} et 60^{\circ}) que ADM, donc MPN et ADM sont semblables.
Deux triangles semblables à un même troisième triangle étant semblables entre eux, les trois triangles AMD, PNM et PDN sont bien semblables.

4.Le coefficient d'agrandissement pour passer du triangle PDN au triangle AMD doit être inférieur à 1,5. Est-ce le cas ?

Le rapport d'agrandissement de PDN vers AMD peut se lire sur les hypoténuses correspondantes, \dfrac{DM}{DN}.
Dans le triangle ADM rectangle en A, \cos(\widehat{ADM}) = \dfrac{AD}{DM}, soit \cos(60^{\circ}) = \dfrac{2}{DM}, d'où \begin{aligned}DM &= \dfrac{2}{\cos(60^{\circ})} \\ &= 4\end{aligned} m.
Par ailleurs \begin{aligned}DN &= AM \\ &\approx 3{,}46\end{aligned} m (triangles semblables, côtés homologues).
Le rapport d'agrandissement est \begin{aligned}\dfrac{DM}{DN} &= \dfrac{4}{3{,}46} \\ &\approx 1{,}15\end{aligned}
Comme 1{,}15 < 1{,}5, le coefficient d'agrandissement est bien inférieur à 1,5 : Joanna peut être satisfaite.

1.aUn sablier est formé de deux cylindres C_1 et C_2 (hauteur 4,2 cm, diamètre 1,5 cm), d'un cylindre central C_3 et de deux demi-sphères. Au départ, le sable remplit le cylindre C_2 aux deux tiers. Montrer que le volume de sable est environ 4,95 cm^{3}.

Le rayon du cylindre C_2 est \begin{aligned}r &= \dfrac{1{,}5}{2} \\ &= 0{,}75\end{aligned} cm.
Le volume total de C_2 est \begin{aligned}V &= \pi\times r^2\times h \\ &= \pi\times0{,}75^2\times4{,}2\end{aligned} cm^{3}.
Le sable occupe les deux tiers de ce volume : V_{\text{sable}} = \dfrac23\times\pi\times0{,}75^2\times4{,}2 \approx 4,95 cm^{3}.

1.bOn retourne le sablier ; le débit d'écoulement du sable est constant, égal à 1,98 cm^{3}/min. Calculer le temps d'écoulement du sable dans le cylindre inférieur.

Le temps d'écoulement est \begin{aligned}t &= \dfrac{V_{\text{sable}}}{\text{débit}} \\ &= \dfrac{4{,}95}{1{,}98} \\ &\approx 2{,}5\end{aligned} minutes.
Or 2{,}5 minutes = 2 minutes +0{,}5\times60 secondes = 2 min 30 s.

2.aSur un échantillon de sabliers identiques, on mesure plusieurs fois le temps d'écoulement et on obtient un tableau d'effectifs (temps entre 2 min 22 s et 2 min 38 s). Combien de tests ont été réalisés au total ?

En additionnant tous les effectifs du tableau (1+1+2+6+3+7+6+3+1+2+3+2+3), on obtient 40 tests au total.

2.bUn sablier est mis en vente si l'étendue des temps est inférieure à 20 s, si la médiane est comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s, et si la moyenne est comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s. Ce sablier sera-t-il éliminé ?

Étendue : la valeur maximale est 2 min 38 s et la valeur minimale 2 min 22 s, soit une étendue de 38-22 = 16 s, bien inférieure à 20 s.
Médiane : avec 40 valeurs, la médiane est la moyenne entre la 20e et la 21e valeur de la série rangée dans l'ordre croissant. En cumulant les effectifs, on trouve que la 20e valeur est 2 min 29 s et la 21e est 2 min 30 s, donc la médiane vaut 2 min 29,5 s, qui est bien comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s.
Moyenne : en sommant tous les temps (en secondes après 2 min) pondérés par leurs effectifs et en divisant par 40, on obtient une moyenne d'environ 2 min 30,1 s, bien comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s.
Les trois conditions étant remplies, le sablier ne sera pas éliminé.

1.Un bloc Scratch « Carré » répète 4 fois : avancer de 5 pas, tourner de 90^{\circ}, avancer de 5 pas, avant de relever le stylo et d'avancer de 10 pas. En prenant 1 cm pour 2 pixels, décrire la figure tracée et les positions de départ et d'arrivée du stylo.

Chaque répétition trace un côté de {5+5 = 10} pixels, donc le bloc trace un carré de côté 10 pixels, soit 5 cm avec la conversion donnée.
Le stylo part du point de départ (0 ; 0), oriente vers la droite, trace le carré puis revient à son point de départ (le carré est fermé), relève le stylo et avance de 10 pixels : il termine à 10 pixels (5 cm) à droite de son point de départ.

2.Le script 1 exécute 23 fois de suite le bloc « Carré » puis le bloc « Tiret » ; le script 2 exécute 46 fois, à chaque fois, soit le bloc « Carré » soit le bloc « Tiret », choisi au hasard. Attribuer à chaque script le dessin obtenu (dessin A ou dessin B), l'un régulier et alternant carré-tiret, l'autre plus désordonné.

Le script 1 alterne toujours un carré puis un tiret, de façon parfaitement régulière : il correspond au dessin régulier (dessin B).
Le script 2 choisit aléatoirement, à chaque étape, entre un carré et un tiret : la suite des motifs n'est pas régulière, ce qui correspond au dessin désordonné (dessin A).

3.aEn exécutant le script 2, quelle est la probabilité que le premier élément tracé soit un carré ?

À chaque étape, il y a deux issues également probables (carré ou tiret), donc la probabilité que le premier élément soit un carré est \dfrac12 = 0,5.

3.bQuelle est la probabilité que les deux premiers éléments tracés soient tous les deux des carrés ?

Les deux tirages (premier élément, deuxième élément) sont indépendants, chacun avec une probabilité \dfrac12 d'être un carré.
La probabilité recherchée est {\dfrac12\times\dfrac12 = \dfrac14 =} 0,25.

4.On veut qu'à chaque élément tracé (carré ou tiret) dans le script 2, la couleur du stylo soit choisie aléatoirement entre noir et rouge, avec une chance sur deux pour chaque couleur. Décrire les instructions à ajouter et leur emplacement dans le script 2.

Juste avant de tracer chaque élément (avant l'appel au bloc « Carré » ou « Tiret », à l'intérieur de la boucle « répéter 46 fois » du script 2), il faut insérer un test conditionnel du type : « si nombre aléatoire entre 1 et 2 = 1, alors mettre la couleur du stylo à rouge, sinon mettre la couleur du stylo à noir ».
Ainsi, à chaque itération, une des deux couleurs est choisie avec une chance sur deux avant que l'élément ne soit tracé.

1.aUn tableau est formé d'un grand rectangle ABCD et de quatre petits rectangles identiques ①, ②, ③, ④ disposés à l'intérieur, aux quatre coins. Compléter : le rectangle … est l'image du rectangle … par la translation qui transforme C en E.

Le rectangle ③ est l'image du rectangle ④ par la translation qui transforme C en E.

1.bCompléter : le rectangle ③ est l'image du rectangle … par la rotation de centre F et d'angle 90^{\circ} dans le sens des aiguilles d'une montre.

Le rectangle ③ est l'image du rectangle ① par la rotation de centre F et d'angle 90^{\circ} (sens horaire).

1.cCompléter (une seule réponse suffit) : le rectangle ABCD est l'image du rectangle … par l'homothétie de centre … et de rapport 3.

Par exemple, le rectangle ABCD est l'image du rectangle ② par l'homothétie de centre D et de rapport 3 (d'autres réponses sont possibles, avec un autre petit rectangle et le sommet correspondant de ABCD comme centre).

2.L'aire du grand rectangle ABCD est 1,215 m^{2}, et chaque petit rectangle est une réduction du grand rectangle de rapport \dfrac13. Quelle est l'aire d'un petit rectangle ?

Dans une réduction de rapport k, les aires sont multipliées par k^2.
L'aire d'un petit rectangle est donc 1{,}215\times\left(\dfrac13\right)^2 = 1{,}215\times\dfrac19 = 0,135 m^{2}.

3.Le rapport longueur : largeur vaut 3 : 2 pour tous les rectangles (grand et petits). Quelles sont la longueur et la largeur du rectangle ABCD ?

Notons \ell la largeur et L la longueur de ABCD. Le rapport L:\ell = 3:2 donne 2L = 3\ell, soit L = 1{,}5\,\ell.
L'aire de ABCD vaut \ell\times L = 1{,}215, donc \ell\times1{,}5\,\ell = 1{,}215, soit 1{,}5\,\ell^2 = 1{,}215.
On en déduit \begin{aligned}\ell^2 &= \dfrac{1{,}215}{1{,}5} \\ &= 0{,}81\end{aligned} donc \begin{aligned}\ell &= \sqrt{0{,}81} \\ &= 0{,}9\end{aligned}
Alors \begin{aligned}L &= 1{,}5\times0{,}9 \\ &= 1{,}35\end{aligned}
Le rectangle ABCD mesure 1,35 m de longueur et 0,9 m de largeur.

1.Deux programmes de calcul sont proposés. Programme 1 : choisir un nombre, le multiplier par 3, ajouter 1. Programme 2 : choisir un nombre, soustraire 1 d'un côté et ajouter 2 de l'autre côté au même nombre choisi, puis multiplier les deux résultats obtenus. Vérifier qu'en partant de 5, le programme 1 donne 16 et le programme 2 donne 28.

Programme 1 avec 5 : 5\times3 = 15, puis 15+1 = 16.
Programme 2 avec 5 : 5-1 = 4 et {5+2 = 7}, puis 4\times7 = 28.

2.aOn note A(x) le résultat du programme 1 pour un nombre de départ x. Exprimer A(x) en fonction de x.

En suivant les étapes du programme 1, on obtient A(x) = 3x+1.

2.bQuel nombre de départ permet d'obtenir 0 comme résultat du programme 1 ?

On résout A(x) = 0, soit 3x+1 = 0, donc 3x = -1, d'où x = -\dfrac13.
Il faut choisir -\dfrac13 au départ.

3.On note B(x) = (x-1)(x+2) le résultat du programme 2 en fonction du nombre de départ x. Développer et réduire B(x).

B(x) = (x-1)(x+2) = x^2+2x-x-2 = x^2+x-2.

4.aMontrer que {B(x)-A(x) = (x+1)(x-3)}.

D'une part, \begin{aligned}B(x)-A(x) &= (x^2+x-2)-(3x+1) \\ &= x^2+x-2-3x-1 \\ &= x^2-2x-3\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}(x+1)(x-3) &= x^2-3x+x-3 \\ &= x^2-2x-3\end{aligned}
Les deux expressions sont égales : {B(x)-A(x) = (x+1)(x-3)}.

4.bQuels nombres de départ permettent d'obtenir le même résultat avec les deux programmes ?

Les deux programmes donnent le même résultat lorsque A(x) = B(x), c'est-à-dire lorsque B(x)-A(x) = 0, soit (x+1)(x-3) = 0.
Un produit de facteurs est nul si (et seulement si) l'un au moins des facteurs est nul : x+1=0 ou x-3=0, donc x=-1 ou x=3.
Les nombres de départ possibles sont -1 et 3.