Brevet : Pays du groupe 1 2019

Question 1. Parmi les décompositions proposées, laquelle correspond à la décomposition de 28 en produit de facteurs premiers ?

\begin{aligned}28 &= 4\times7 \\ &= 2^2\times7\end{aligned} Les deux facteurs 2 et 7 sont bien premiers : c'est cette décomposition qui est correcte.

Question 2. Un article coûte 58 €. Il subit une réduction de 20 %. Quel est son nouveau prix ?

Après une baisse de 20 %, il reste 80 % du prix initial à payer : 58\times\left(1-\dfrac{20}{100}\right) = 58\times\dfrac{80}{100} = 58\times0{,}8 = 46,40 €.

Question 3. Dans un triangle ABC rectangle en A, avec AB = 25 cm et un angle de 15^{\circ} en B, quelle est la valeur la plus proche de AC ?

Dans le triangle ABC rectangle en A, \begin{aligned}\tan(15^{\circ}) &= \dfrac{\text{AC}}{\text{AB}} \\ &= \dfrac{\text{AC}}{25}\end{aligned} donc \text{AC} = 25\times\tan(15^{\circ}) \approx 6,70 cm (valeur la plus proche parmi les propositions).

Question 4. Une série statistique comporte les valeurs 8 ; 3 ; 12 ; 2 ; 6 ; 5. Quelle est la médiane de cette série ?

En rangeant les valeurs dans l'ordre croissant : 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 12. Il y a 6 valeurs (nombre pair), donc la médiane est la moyenne du troisième et du quatrième termes : \dfrac{5+6}{2} = 5,5.

Question 5. Le carré B a des côtés deux fois plus petits que ceux du carré A. Une homothétie transforme A en B : quel est son rapport, selon le centre choisi ?

Les côtés de B mesurent la moitié de ceux de A. Si l'homothétie est centrée en un point tel que B et A soient du même côté du centre, le rapport vaut 0,5 ; si B et A sont de part et d'autre du centre, le rapport vaut -0,5. Dans les deux cas, la valeur absolue du rapport est 0{,}5, cohérente avec la réduction observée.

1.Un programme de calcul propose : choisir un nombre, l'élever au carré, ajouter le triple du nombre de départ, puis ajouter 2. En partant de 1, montrer que le résultat est 6.

1 \xrightarrow{\text{carré}} 1^2=1 \xrightarrow{+3\times1} 1+3=4 \xrightarrow{+2} 4+2= 6.

2.Quel résultat obtient-on en partant de -5 ?

-5 \xrightarrow{\text{carré}} (-5)^2=25 \xrightarrow{+3\times(-5)} 25-15=10 \xrightarrow{+2} 10+2= 12.

3.En notant x le nombre choisi au départ, exprimer le résultat du programme en fonction de x.

En suivant les mêmes étapes : {x \xrightarrow{\text{carré}} x^2 \xrightarrow{+3x} x^2+3x \xrightarrow{+2} x^2+3x+2}. Le résultat s'écrit donc x^2+3x+2.

4.Montrer que, pour tout nombre x, on a l'égalité x^2+3x+2 = (x+1)(x+2).

En développant le membre de droite : \begin{aligned}(x+1)(x+2) &= x^2+2x+x+2 \\ &= x^2+3x+2\end{aligned} L'égalité (x+1)(x+2)=x^2+3x+2 est donc vraie pour tout nombre x.

5.aDans une feuille de calcul, la cellule B1 contient le nombre choisi et B2 doit afficher le résultat du programme sous forme factorisée. Quelle formule saisir en B2 ?

En utilisant la forme factorisée obtenue à la question précédente, la formule à saisir en B2 est =(B1+1)*(B1+2).

5.bPour quelles valeurs du nombre de départ le résultat du programme est-il égal à 0 ?

Il faut résoudre (x+1)(x+2)=0. Un produit de facteurs est nul si (et seulement si) l'un au moins des facteurs est nul.
Soit x+1=0, c'est-à-dire x=-1 ; soit x+2=0, c'est-à-dire x=-2.
Le résultat du programme vaut 0 pour les nombres de départ -1 et -2.

PartieI ; 1. On veut construire un triangle équilatéral dont chaque côté mesure {4x+1} (avec x=2). Décrire la construction à effectuer.

Pour x=2, chaque côté mesure {4\times2+1=9} cm. On trace un premier segment de 9 cm, puis, à l'aide d'un compas ouvert à 9 cm, on trace un arc de cercle centré en chaque extrémité : leur point d'intersection donne le troisième sommet du triangle équilatéral.

PartieI ; 2.a Un rectangle a pour longueur 4x+1{,}5+2x et pour largeur correspondante. Exprimer son périmètre en fonction de x.

Le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur l vaut 2(L+l). Ici \begin{aligned}L+l &= (4x+1{,}5)+2x \\ &= 6x+1{,}5\end{aligned} donc le périmètre vaut {2\times(6x+1{,}5) = 12x+3}.

PartieI ; 2.b Déterminer la valeur de x pour laquelle ce périmètre est égal à 18 cm.

On résout 12x+3=18.
En retranchant 3 aux deux membres : 12x=15.
En divisant les deux membres par 12 : \begin{aligned}x &= \dfrac{15}{12} \\ &= \dfrac{5}{4}\end{aligned}
La valeur cherchée est x=\dfrac{5}{4}, soit 1,25.

PartieI ; 3. Le triangle équilatéral de la question 1 a pour côté {4x+1}. Montrer que, quelle que soit la valeur positive de x, ce triangle et le rectangle précédent ont le même périmètre.

Le périmètre du triangle équilatéral vaut 3\times(4x+1) = 12x+3. C'est exactement la même expression que le périmètre du rectangle calculé à la question 2.a : les deux figures ont donc le même périmètre pour toute valeur positive de x.

PartieII. Deux scripts (en langage de programmation par blocs) permettent de tracer les deux figures précédentes en répétant une boucle "avancer puis tourner". Compléter les paramètres manquants A, B, C, D de ces scripts et préciser quelle figure trace chaque script.

Pour le rectangle : on répète 2 fois la séquence "avancer de la longueur, tourner de 90^{\circ}, avancer de la largeur, tourner de 90^{\circ}", donc A = 2 répétitions et B = 90^{\circ} (angle entre deux côtés consécutifs d'un rectangle).
Pour le triangle équilatéral : on répète 3 fois la séquence "avancer d'un côté, tourner d'un angle extérieur", donc C = 3 répétitions ; l'angle extérieur d'un triangle équilatéral (dont les angles internes valent 60^{\circ}) est de {180-60=120^{\circ}}, donc D = 120^{\circ}.
Le premier script trace le rectangle et le second trace le triangle équilatéral.

1.Un magasin propose des chaussures de trois couleurs (noir, blanc, marron), déclinées en deux modèles (ville, sport). Un tableau à double entrée donne certains totaux (totaux par couleur : 20 noires, 17 blanches, 8 marron soit 45 paires en tout ; totaux par usage : 27 pour la ville et 18 pour le sport) et certaines cases connues (15 noires pour la ville, 10 blanches pour le sport, 5 marron pour la ville). Reconstituer le tableau complet.

On complète chaque ligne et chaque colonne par différence avec les totaux donnés.
Noir : 15 en ville, donc pour le sport {20-15=5}.
Blanc : 10 pour le sport, donc en ville 17-10=7.
Marron : 5 en ville, donc pour le sport 8-5=3.
Vérification des colonnes : ville {15+7+5=27} ✓ ; sport 5+10+3=18 ✓ ; total général 27+18=45 ✓.

2.aOn choisit une paire au hasard dans ce magasin. Quelle est la probabilité qu'elle soit de couleur noire ?

Il y a 20 paires noires sur 45 paires en tout : la probabilité est \dfrac{20}{45} = \dfrac{4}{9}.

2.bQuelle est la probabilité que la paire choisie soit un modèle de sport ?

Il y a 18 paires de sport sur 45 : la probabilité est \begin{aligned}\dfrac{18}{45} &= \dfrac{2}{5} \\ &= 0{,}4\end{aligned}

2.cQuelle est la probabilité que la paire choisie soit un modèle de ville de couleur marron ?

D'après le tableau, il y a 5 paires marron pour la ville sur 45 paires en tout : la probabilité est \dfrac{5}{45} = \dfrac{1}{9}.

3.Un second magasin B propose 54 paires en tout, dont 30 noires. En choisissant une paire au hasard dans chacun des deux magasins, dans lequel a-t-on le plus de chances d'obtenir une paire noire ?

Dans le magasin B, la probabilité d'obtenir une paire noire est \dfrac{30}{54} = \dfrac{5}{9}.
Or \dfrac{5}{9} > \dfrac{4}{9} (probabilité trouvée pour le premier magasin) : on a donc plus de chances d'obtenir une paire noire dans le magasin B.

1.Sur une figure, O, A, D sont alignés et O, B, C sont alignés, avec (AB) et (DC) non parallèles a priori. On donne OA = 36, OD = 64, OB = 27, OC = 48. Montrer que les droites (AB) et (DC) sont parallèles.

On compare les rapports de longueurs des côtés issus de O dans les triangles OAB et ODC : \begin{aligned}\dfrac{\text{OA}}{\text{OD}} &= \dfrac{36}{64} \\ &= \dfrac{9}{16}\end{aligned} et \begin{aligned}\dfrac{\text{OB}}{\text{OC}} &= \dfrac{27}{48} \\ &= \dfrac{9}{16}\end{aligned}
Les deux rapports sont égaux : {\dfrac{\text{OA}}{\text{OD}} = \dfrac{\text{OB}}{\text{OC}}}.
Comme O, A, D sont alignés et O, B, C sont alignés dans le même ordre, la réciproque de la propriété de Thalès permet de conclure que les droites (AB) et (DC) sont parallèles.

2.Sachant que CD = 80, calculer la longueur AB.

D'après la configuration de Thalès, \dfrac{\text{OA}}{\text{OD}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{DC}}, soit \dfrac{9}{16} = \dfrac{\text{AB}}{80}.
En multipliant chaque membre par 80 : \text{AB} = \dfrac{9}{16}\times80 = 9\times5 = 45.

3.Le triangle ACD est rectangle en C. Sachant que CD = 80 et que AD = AO + OD, calculer AC et en déduire la hauteur totale d'un meuble composé de 4 étagères identiques (chacune de hauteur AC, plus 2 cm d'épaisseur de plateau) surmontées d'un dernier plateau.

\text{AD} = \text{AO}+\text{OD} = 36+64 = 100.
Le triangle ACD étant rectangle en C, le théorème de Pythagore donne {\text{AC}^2+\text{CD}^2=\text{AD}^2}, soit \text{AC}^2 + 80^2 = 100^2.
Donc \text{AC}^2 = 100^2-80^2 = 10\,000-6\,400 = 3\,600, d'où \text{AC} = \sqrt{3\,600} = 60.
Chaque étagère mesure donc 60 cm, plus 2 cm de plateau, soit 62 cm par étagère ; pour 4 étagères identiques : 4\times62 = 248 cm, auquel il faut ajouter le dernier plateau (2 cm) : 248+2 = 250 cm de hauteur totale pour le meuble.

1.Un graphique représente la distance parcourue par une famille lors d'une randonnée en fonction du temps écoulé. Les points tracés ne sont pas alignés : que peut-on en déduire ?

Comme les points du graphique ne sont pas alignés (et la droite ne passe pas par l'origine de façon proportionnelle), la distance parcourue n'est pas proportionnelle à la durée de la randonnée.

2.aCombien de temps a duré la randonnée, d'après le graphique ?

D'après la lecture du graphique, la randonnée a duré 7 heures.

2.bQuelle distance totale la famille a-t-elle parcourue ?

D'après la lecture du graphique, la famille a parcouru 20 km au total.

2.cQuelle distance la famille a-t-elle parcourue au bout de 6 heures ?

Le point du graphique d'abscisse 6 a pour ordonnée 18 : au bout de 6 heures, la famille a parcouru 18 km.

2.dAu bout de combien de temps la famille avait-elle parcouru 8 km ?

Le point du graphique d'ordonnée 8 a pour abscisse 3 : la famille avait parcouru 8 km au bout de 3 heures.

2.eQue peut-on dire du comportement de la famille entre la quatrième et la cinquième heure de marche ?

Entre la quatrième et la cinquième heure, la distance parcourue reste constante sur le graphique (le segment est horizontal) : la famille s'est arrêtée pendant cette heure.

3.Un randonneur expérimenté parcourt en moyenne 4 km/h. En comparant avec la distance parcourue par la famille, peut-on dire que celle-ci est composée de randonneurs expérimentés ?

Un randonneur expérimenté parcourrait en 7 heures : 7\times4=28 km. Or la famille n'a parcouru que 20 km en 7 heures, ce qui est nettement inférieur à 28 km : la famille n'est donc pas composée de randonneurs expérimentés.

Unefamille possède une piscine circulaire de rayon 1,3 m et de hauteur d'eau 0,65 m. Elle dispose d'un budget de 200 € pour l'été (juin à septembre) et doit prévoir : le coût de fonctionnement d'une pompe (3,42 kWh consommés par jour, à 0,15 €/kWh), le coût de l'eau nécessaire pour remplir la piscine (2,03 €/m^{3}) et 80 € de matériel. La famille pourra-t-elle profiter de sa piscine l'été prochain sans dépasser son budget ?

Durée de fonctionnement. De juin à septembre inclus : {30+31+31+30 = 122} jours.
Coût de la pompe. {122\times3{,}42\times0{,}15 = 62{,}586} €, soit environ 62,59 €.
Volume d'eau. La piscine est assimilée à un cylindre de rayon 1,3 m et de hauteur (d'eau) 0,65 m : \begin{aligned}V &= \pi\times1{,}3^2\times0{,}65 \\ &\approx 3{,}451\end{aligned} m^{3}.
Coût de l'eau. 3{,}451\times2{,}03 \approx 7,01 €.
Coût du matériel. 80 € (donnée de l'énoncé).
Coût total. 62{,}59+7{,}01+80 = 149{,}60 € environ.
Comme 149{,}60~\text{€} < 200~\text{€}, le budget de 200 € est suffisant : la famille pourra profiter de sa piscine l'été prochain.