Brevet : Amérique du Nord 2020 (remplacement)

1.Le triangle ABC est dessiné à main levée avec AC = 10,4 cm, AB = 4 cm et BC = 9,6 cm. Les points A, L, C sont alignés, ainsi que B, K, C, avec (KL) parallèle à (AB) et CK = 3 cm. Construire la figure en vraie grandeur.

Cette construction se réalise aux instruments : on trace le triangle ABC avec les longueurs données, puis le point K sur [BC] tel que CK = 3 cm, puis la parallèle à (AB) passant par K, qui coupe [AC] en L.

2.Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.

D'une part, \begin{aligned}AC^2 &= 10{,}4^2 \\ &= 108{,}16\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}AB^2+BC^2 &= 4^2+9{,}6^2 \\ &= 16+92{,}16 \\ &= 108{,}16\end{aligned}
On a donc AC^2 = AB^2+BC^2, l'égalité de Pythagore est vérifiée.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

3.Calculer la longueur CL en cm.

Les points A, L, C sont alignés et les points B, K, C sont alignés dans le même ordre.
Les droites (KL) et (AB) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès, \begin{aligned}\dfrac{CK}{CB} &= \dfrac{CL}{CA} \\ &= \dfrac{KL}{BA}\end{aligned}
On a donc \dfrac{CK}{CB} = \dfrac{CL}{CA}, soit \dfrac{3}{9{,}6} = \dfrac{CL}{10{,}4},
d'où CL = \dfrac{3\times10{,}4}{9{,}6} = \dfrac{31{,}2}{9{,}6} = 3,25 cm.

4.À la calculatrice, calculer une valeur approchée de la mesure de l'angle \widehat{CAB}, au degré près.

Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après la définition du cosinus (CAH) : \begin{aligned}\cos(\widehat{CAB}) &= \dfrac{AB}{AC} \\ &= \dfrac{4}{10{,}4} \\ &\approx 0{,}385\end{aligned} La calculatrice donne alors \widehat{CAB} \approx 67^{\circ} au degré près.

1.Si on multiplie la longueur de chaque arête d'un cube par 3, par quel nombre le volume est-il multiplié ?

Un cube d'arête a a pour volume V=a^3. Avec une arête 3a, le volume devient \begin{aligned}(3a)^3 &= 3^3\times a^3 \\ &= 27\times a^3\end{aligned} Le volume est multiplié par 27.

2.Lorsque x=-4, que vaut x^2+3x+4 ?

(-4)^2+3\times(-4)+4 = 16-12+4 = 8.

3.Calculer \dfrac13+\dfrac14.

En réduisant au même dénominateur 12 : \begin{aligned}\dfrac13+\dfrac14 &= \dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12} \\ &= \dfrac{7}{12}\end{aligned}

4.Donner la notation scientifique de 1 500 000 000.

1\,500\,000\,000 = 1{,}5\times10^9.

5.Développer (x-2)\times(x+2).

Identité remarquable {(a-b)(a+b)=a^2-b^2} avec a=x et b=2 : {(x-2)(x+2) = x^2-4}.

1.aLe carré ABCD de centre O est partagé en quatre polygones superposables numérotés ①②③④. Quelle est l'image du polygone ① par la symétrie centrale de centre O ?

La symétrie centrale de centre O envoie chaque polygone sur celui qui lui est diamétralement opposé par rapport à O : l'image du polygone ① est le polygone ③.

1.bQuelle est l'image du polygone ④ par la rotation de centre O qui transforme ① en ② ?

Cette rotation de centre O (d'angle 90^{\circ}) transforme ① en ②, donc ② en ③, ③ en ④, et ④ en ①. L'image du polygone ④ par cette rotation est donc le polygone ①.

2.La figure est une partie de pavage utilisant le carré ABCD comme motif de base. Quelle transformation permet de passer du polygone ① au polygone ⑤ ?

Le polygone ⑤ occupe, dans le carré voisin, la même position que le polygone ① dans le carré ABCD : on passe de ① à ⑤ par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}.

3.aOn veut recouvrir un tissu rectangulaire de 315 cm sur 270 cm avec des carrés identiques, sans découpe, de côté un nombre entier de centimètres. Montrer qu'on peut choisir des carrés de 9 cm de côté.

Il faut que le côté du carré soit un diviseur commun à 315 et à 270.
315 = 3^2\times5\times7 et 270 = 2\times3^3\times5.
Le nombre 3^2 = 9 est un diviseur commun à ces deux décompositions : on peut donc bien choisir des carrés de 9 cm de côté.

3.bCombien de carrés de 9 cm de côté seront alors imprimés sur le tissu ?

Dans la longueur : 315 \div 9 = 35 carrés. Dans la largeur : 270\div9 = 30 carrés.
Le nombre total de carrés imprimés est donc 35\times30 = 1 050 carrés.

1.Voici les temps (en secondes) des huit nageuses en finale du 100 m nage libre : 53,23 ; 54,04 ; 53,61 ; 54,52 ; 53,35 ; 52,93 ; 54,56 ; 54,07. Charlotte Bonnet est arrivée troisième. Quel est son temps ?

En classant les temps par ordre croissant : 52,93 ; 53,23 ; 53,35 ; 53,61 ; 54,04 ; 54,07 ; 54,52 ; 54,56. Le troisième temps (la troisième meilleure nageuse) est 53,35 s.

2.Quelle est la vitesse moyenne, en m/s arrondie au dixième, de la nageuse ayant réalisé 52,93 s sur 100 m ?

La vitesse moyenne est v = \dfrac{100}{52{,}93} \approx 1,9 m/s.

3.Comparer la moyenne et la médiane de cette série de temps.

La moyenne est \begin{aligned}\overline{t} &= \dfrac{53{,}23+54{,}04+53{,}61+54{,}52+53{,}35+52{,}93+54{,}56+54{,}07}{8} \\ &\approx 53{,}79\end{aligned} s.
Pour la médiane, la série ordonnée compte 8 valeurs : la médiane est la demi-somme des 4e et 5e valeurs, soit \dfrac{53{,}61+54{,}04}{2} \approx 53{,}83 s.
La moyenne (environ 53,79 s) et la médiane (environ 53,83 s) sont donc très proches l'une de l'autre.

4.Le tableau du classement des dix premiers pays par médailles d'or indique : Russie 23 or, Grande-Bretagne 13 or, Italie 8 or (entre autres). Est-il vrai qu'à elles deux, la Grande-Bretagne et l'Italie ont autant de médailles d'or que la Russie ?

La Grande-Bretagne et l'Italie totalisent 13+8 = 21 médailles d'or, alors que la Russie en a 23. Comme 21 < 23, c'est faux : elles n'en ont pas autant que la Russie.

5.La France a remporté 4 médailles d'or sur 12 médailles au total. Est-il vrai que plus de 35 % des médailles françaises sont des médailles d'or ?

La proportion de médailles d'or est \begin{aligned}\dfrac{4}{12} &= \dfrac13 \\ &\approx 0{,}333\end{aligned} soit environ 33,3 %. Comme {33{,}3\,\% < 35\,\%}, l'affirmation est fausse.

6.Dans la feuille de calcul, la colonne F donne le total des médailles (or + argent + bronze). Quelle formule a pu être saisie en F2 avant d'être étirée jusqu'en F11 ?

La colonne F additionne les médailles d'or (C), d'argent (D) et de bronze (E) de chaque ligne : la formule saisie en F2 est =SOMME(C2:E2).

1.aOn dispose d'une urne bleue avec trois boules numérotées ②③④ et d'une urne rouge avec quatre boules numérotées ②③④⑤. On tire une boule bleue puis une boule rouge. Les événements « on obtient deux nombres premiers » et « la somme des deux nombres vaut 12 » sont-ils possibles ?

Les tirages possibles sont les 6 numéros premiers combinables : (2;2), (2;3), (2;5), (3;2), (3;3), (3;5) : l'événement « deux nombres premiers » est donc possible.
La somme la plus grande possible est 4+5=9, donc atteindre 12 est impossible.

1.bDéterminer la probabilité de l'évènement « on obtient deux nombres premiers ».

Il y a 3\times4 = 12 tirages possibles au total, et 6 d'entre eux donnent deux nombres premiers (voir question précédente) : la probabilité est {\dfrac{6}{12} = \dfrac12 =} 0,5.

2.On obtient un « double » lorsque les deux boules tirées portent le même numéro. Justifier que la probabilité d'obtenir un double est \dfrac14.

Les doubles possibles sont (2;2), (3;3) et (4;4), soit 3 tirages sur les 12 possibles : la probabilité est \dfrac{3}{12} = \dfrac14.

3.On veut simuler cette expérience 1 000 fois avec un programme Scratch incomplet, où le bloc « Tirer deux boules » choisit un nombre aléatoire entre 2 et B pour la boule bleue, et entre 2 et C pour la boule rouge, dans une boucle « répéter A fois ». Par quels nombres remplacer A, B et C ?

On simule 1 000 répétitions de l'expérience, avec une boule bleue entre 2 et 4, et une boule rouge entre 2 et 5 : A = 1000, B = 4, C = 5.

4.Où placer le bloc « Tirer deux boules » dans le script principal ?

Ce bloc doit être exécuté à chaque répétition, donc à l'intérieur de la boucle « répéter 1000 fois », avant le test qui compare les deux boules tirées.

5.Où placer le bloc qui initialise le « Nombre de doubles » à 0 ?

Cette initialisation ne doit se faire qu'une seule fois, donc avant la boucle « répéter 1000 fois ».

6.Pour obtenir la fréquence d'apparition des doubles, quelle instruction placer à la fin du script, après la boucle « répéter » ? (parmi : afficher Nombre de doubles ; afficher Nombre de doubles / 1000 ; afficher Nombre de doubles / 2)

La fréquence s'obtient en divisant le nombre de doubles obtenus par le nombre total d'expériences (1000) : il faut afficher Nombre de doubles / 1000.