Brevet : Métropole, Antilles et Guyane 2020 (remplacement)

1.On donne la série de valeurs : 10 ; 6 ; 2 ; 14 ; 25 ; 12 ; 22. Quelle est la médiane ? (Réponses : 12, 13 ou 14)

En classant la série par ordre croissant : 2 ; 6 ; 10 ; 12 ; 14 ; 22 ; 25. Il y a 7 valeurs, la médiane est donc la 4e valeur : 12.

2.Un sac opaque contient 50 billes bleues, 45 rouges, 45 vertes et 60 jaunes, indiscernables au toucher. Quelle est la probabilité de tirer une bille jaune ? (Réponses : 60, 0,3 ou \dfrac{1}{60})

Le sac contient 50+45+45+60 = 200 billes en tout, dont 60 jaunes. La probabilité est \dfrac{60}{200} = \dfrac{3}{10} = 0,3.

3.Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 2020 ? (Réponses : 2\times10\times101, 5\times5\times101 ou 2\times2\times5\times101)

\begin{aligned}2020 &= 2\times1010 \\ &= 2\times2\times505 \\ &= 2\times2\times5\times101\end{aligned} C'est la décomposition 2\times2\times5\times101.

4.Quelle formule permet de calculer le volume d'une boule de rayon R ? (Réponses : 2\pi R, \pi R^2 ou \dfrac43\pi R^3)

La formule du volume d'une boule de rayon R est V = \dfrac43\pi R^3.

5.Une homothétie de centre A et de rapport -2 est une transformation qui : agrandit, réduit ou conserve les longueurs ?

Le rapport de cette homothétie a pour valeur absolue |-2| = 2 > 1 : cette homothétie agrandit les longueurs.

1.On considère un programme de calcul : choisir un nombre, lui ajouter 7 ; d'autre part soustraire 7 au nombre choisi au départ ; multiplier les deux résultats précédents ; ajouter 50. Montrer que si le nombre choisi est 2, le résultat est 5.

Avec 2 : 2+7=9 d'une part, et {2-7=-5} d'autre part. Leur produit est {9\times(-5) = -45}. En ajoutant 50 : {-45+50 =} 5.

2.Quel résultat obtient-on avec ce programme si le nombre choisi au départ est -10 ?

Avec -10 : -10+7 = -3 d'une part, et -10-7 = -17 d'autre part. Leur produit est (-3)\times(-17) = 51. En ajoutant 50 : 51+50 = 101.

3.Un élève remarque qu'en doublant 2 et en ajoutant 1, il retrouve 5 comme à la question 1, et pense que ce programme revient à calculer le double du nombre de départ plus 1. A-t-il raison ?

Avec -10, le programme donne 101 (question 2), alors que le double de -10 plus 1 vaut 2\times(-10)+1 = -19. Comme 101 \neq -19, l'élève a tort : ce programme ne revient pas à doubler puis ajouter 1.

4.En notant x le nombre choisi au départ, montrer que le résultat du programme est x^2+1.

Avec x, on obtient d'une part x+7, d'autre part x-7 ; leur produit est (x+7)(x-7).
D'après l'identité remarquable {(a+b)(a-b)=a^2-b^2} avec a=x et b=7 : (x+7)(x-7) = x^2-49.
En ajoutant 50, le résultat final est {x^2-49+50 = x^2+1}.

5.Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour obtenir 17 comme résultat ?

On résout x^2+1 = 17, soit x^2 = 16, soit x^2-16=0.
D'après l'identité remarquable, \begin{aligned}x^2-16 &= (x-4)(x+4) \\ &= 0\end{aligned}
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul, donc x=4 ou x=-4.
Il y a donc deux nombres possibles au départ : 4 et -4.

1.Une entreprise fabrique des portiques de balançoires. Le triangle ABC (portique vu de côté) est isocèle en A, H est le milieu de [BC], avec AC = 342 cm et BC = 290 cm. Déterminer la hauteur AH du portique, arrondie au cm près.

Le triangle ABC étant isocèle en A, la hauteur (AH) est aussi la médiane issue de A : \begin{aligned}BH &= HC \\ &= \dfrac{290}{2} \\ &= 145\end{aligned} cm.
Dans le triangle ACH rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore : AC^2 = AH^2+HC^2, soit {342^2 = AH^2+145^2}.
Donc \begin{aligned}AH^2 &= 342^2-145^2 \\ &= 116\,964-21\,025 \\ &= 95\,939\end{aligned}
D'où AH = \sqrt{95\,939} \approx 310 cm au centimètre près.

2.Les barres de maintien latérales sont fixées à AN = 165 cm du sommet, avec (MN) parallèle à (BC). Montrer que la longueur MN de chaque barre est d'environ 140 cm.

Les points A, N, C sont alignés et les points A, M, B sont alignés dans le même ordre.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès, \begin{aligned}\dfrac{AN}{AC} &= \dfrac{AM}{AB} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned}
On a donc \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}, soit \dfrac{165}{342} = \dfrac{MN}{290},
d'où MN = \dfrac{165\times290}{342} \approx 140 cm au centimètre près.

3.Un devis présente un premier calcul de coût minimal (1 poutre de 4 m à 12,99 €, 4 poutres de 3,5 m à 11,75 € l'unité, 2 barres de maintien de 1,5 m à 3,89 € l'unité, plus 80 € de fixations et 50 € de balançoires) qui donne 197,77 €. Montrer que le coût minimal réel d'un tel portique équipé est en fait de 196,98 €.

Le premier calcul donne \begin{aligned}12{,}99+4\times11{,}75+2\times3{,}89+80+50 &= 12{,}99+47+7{,}78+80+50 \\ &= 197{,}77\end{aligned} €.
Ce n'est pas le minimum : au lieu de prendre 2 barres de 1,5 m à 3,89 € l'unité (soit 7,78 €), on peut acheter une seule barre de 3 m à 6,99 € et la couper en deux, ce qui coûte moins cher.
Le coût devient alors 12{,}99+4\times11{,}75+6{,}99+80+50 = 12{,}99+47+6{,}99+80+50 = 196,98 €, qui est bien le coût minimal.

4.L'entreprise veut vendre ce portique équipé 20 % plus cher que son coût minimal. Déterminer ce prix de vente, arrondi au centime.

Augmenter de 20 %, c'est multiplier par 1+\dfrac{20}{100} = 1{,}2. Le prix de vente est donc 196{,}98\times1{,}2 = 236{,}376 \approx 236,38 €.

5.Pour des raisons de sécurité, l'angle \widehat{BAC} doit être compris entre 45^{\circ} et 55^{\circ}. Ce portique respecte-t-il cette condition ?

Dans le triangle AHC rectangle en H, d'après la définition du sinus (SOH) : \begin{aligned}\sin(\widehat{HAC}) &= \dfrac{HC}{AC} \\ &= \dfrac{145}{342} \\ &\approx 0{,}424\end{aligned}
La calculatrice donne alors {\widehat{HAC} \approx 25{,}1^{\circ}}.
Le triangle ABC étant isocèle en A, (AH) est aussi la bissectrice de l'angle en A, donc \begin{aligned}\widehat{BAC} &= 2\times\widehat{HAC} \\ &\approx 50{,}2^{\circ}\end{aligned}
Comme {45^{\circ} \le 50{,}2^{\circ} \le 55^{\circ}}, le portique respecte bien la condition de sécurité.

1.Une association propose deux tarifs pour des demi-journées d'activités : tarif A à 8 € la demi-journée ; tarif B, une adhésion de 30 € puis 5 € la demi-journée. On note f(x)=8x le tarif A et g(x)=30+5x le tarif B pour x demi-journées. Quelle fonction traduit une situation de proportionnalité ?

Le tarif A, f(x)=8x, est une fonction linéaire (sans terme constant) : c'est donc la fonction f qui traduit une situation de proportionnalité.

2.Sur un graphique où la fonction g est déjà représentée, comment tracer la fonction f ?

La fonction f(x)=8x est une fonction linéaire : sa représentation graphique est la droite passant par l'origine du repère et par le point de coordonnées (1~;~8).

3.Déterminer le nombre de demi-journées pour lequel le tarif A est égal au tarif B.

On résout f(x)=g(x), soit 8x = 30+5x.
En soustrayant 5x aux deux membres : 3x = 30, d'où x = 10.
Pour 10 demi-journées, les deux tarifs sont égaux (80 €).

4.Avec un budget de 100 €, déterminer le nombre maximal de demi-journées auxquelles on peut participer, selon le tarif choisi.

Avec le tarif A : on résout 100 = 8x, soit x = 12{,}5, donc au maximum 12 demi-journées.
Avec le tarif B : on résout {100 = 30+5x}, soit 70 = 5x, d'où x = 14, donc 14 demi-journées.
Avec un budget de 100 €, il vaut donc mieux choisir le tarif B, qui permet 14 demi-journées d'activités.

1.aUne pale d'éolienne est modélisée par un triangle isocèle DEC en D, avec B milieu de [EC], (AB) perpendiculaire à (EC), et l'angle \widehat{ECD} = 85^{\circ}. Montrer que l'angle \widehat{EDC} = 10^{\circ}.

Le triangle DEC est isocèle en D, donc les angles à la base \widehat{DEC} et \widehat{DCE} sont égaux à 85^{\circ}. La somme des angles d'un triangle valant 180^{\circ}, on a {\widehat{EDC} = 180-85-85 =} 10^{\circ}.

1.bLe script Scratch qui trace la pale utilise des instructions « tourner ». Après avoir tracé le segment [BC] puis rejoint le point D, dans quelle direction faut-il s'orienter pour continuer vers E, sachant que l'angle en C mesure 85^{\circ} ?

En C, on arrive dans la direction opposée à E ; pour repartir vers D il faut tourner du supplémentaire de l'angle en C, soit tourner de 180-85 = 95^{\circ}.

1.cDe même, une fois en D dans la direction opposée à C, quel angle de rotation permet de repartir vers E ?

Il faut faire demi-tour (180^{\circ}) puis corriger de l'angle en D (10^{\circ}) : la rotation à effectuer est donc de {180-10 =} 170^{\circ}.

2.Le script principal répète le tracé de la pale plusieurs fois pour dessiner l'éolienne à 3 pales. Par quelle valeur compléter la boucle « répéter » ?

L'éolienne comporte 3 pales identiques réparties autour de l'axe central : il faut donc répéter 3 fois le script qui trace une pale (avec une rotation de 120^{\circ} entre chaque pale).