Brevet : Pays du groupe 1 2020 (remplacement)

1.Calculer \dfrac78 - \dfrac58 \times \dfrac13 en détaillant les étapes, puis donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

On calcule d'abord le produit : {\dfrac58 \times \dfrac13 = \dfrac{5}{24}}.
On réduit ensuite \dfrac78 au même dénominateur : \dfrac78 = \dfrac{21}{24}.
On obtient donc \dfrac{21}{24} - \dfrac{5}{24} = \dfrac{16}{24}.
En simplifiant par 8, \dfrac{16}{24} = \dfrac23.

2.On donne 342 = 2\times3^2\times19 et {380 = 2^2\times5\times19}. Déterminer le plus grand entier qui divise à la fois 342 et 380.

Les deux décompositions ont en commun le facteur 2 (à la puissance 1, la plus petite des deux) et le facteur 19.
Le plus grand diviseur commun est donc 2\times19 = 38.

3.Comparer les longueurs 11\times10^{-8} m et 0{,}9\times10^{-5} m.

On écrit les deux nombres avec la même puissance de 10 : \begin{aligned}0{,}9\times10^{-5} &= 0{,}9\times1000\times10^{-8} \\ &= 900\times10^{-8}\end{aligned}
Comme 11 < 900, on a {11\times10^{-8} < 900\times10^{-8}}.
Donc 11\times10^{-8} m est plus petite que 0{,}9\times10^{-5} m.

4.Une boule a un diamètre de 6 cm. Donner une valeur approchée de son volume au cm^3 près, sachant que V = \dfrac43\times\pi\times r^3.

Le rayon vaut la moitié du diamètre : r = 3 cm.
On calcule \begin{aligned}V &= \dfrac43\times\pi\times3^3 \\ &= \dfrac43\times\pi\times27 \\ &= 36\pi\end{aligned}
Avec \pi\approx3{,}14, on obtient V\approx113{,}04, soit un volume approché de 113 cm^3 au cm^3 près.

5.Les côtés d'un triangle mesurent 3,9 cm, 6,4 cm et 5,2 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

Si le triangle était rectangle, ce serait en son plus grand côté, ici 6,4 cm.
D'une part, 6{,}4^2 = 40{,}96.
D'autre part, \begin{aligned}3{,}9^2 + 5{,}2^2 &= 15{,}21 + 27{,}04 \\ &= 42{,}25\end{aligned}
Comme 40{,}96 \ne 42{,}25, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.
Donc, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.

6.Une urne contient 20 boules indiscernables au toucher. La probabilité de tirer une boule jaune vaut \dfrac15. Déterminer le nombre de boules jaunes dans l'urne.

Si j désigne le nombre de boules jaunes, la probabilité de tirer une boule jaune est \dfrac{j}{20}.
On résout \dfrac{j}{20} = \dfrac15, soit 5j = 20, donc j = 4 boules jaunes.

7.Une roue à 12 secteurs égaux, alternativement gris et blancs, porte les nombres 1, 2, 3, 5, 7, 8, 11, 13, 14, 15, 21 et 23, chaque secteur gris portant un nombre. Quelle est la probabilité que la flèche s'arrête sur un secteur gris portant un nombre premier ?

Les nombres premiers inscrits sur les secteurs gris de la roue sont 2, 5, 13 et 23, soit 4 nombres premiers en secteur gris.
La roue comporte 12 secteurs en tout, tous de même probabilité d'être désignés.
La probabilité cherchée est donc \dfrac{4}{12} = \dfrac13.

1.Lors d'une rencontre amicale, 30 boules de pétanque ont été pesées et mesurées. L'étendue des diamètres vaut 12 mm et la boule la plus large mesure 8,2 cm de diamètre. Montrer que la boule qui pèse 620 g a un diamètre de 7 cm.

L'étendue de 12 mm, soit 1,2 cm, correspond à l'écart entre le plus grand et le plus petit diamètre relevés.
Le plus grand diamètre étant 8,2 cm, le plus petit diamètre vaut 8{,}2 - 1{,}2 = 7 cm.
C'est le diamètre de la boule la plus légère (620 g), qui est donc bien de 7 cm.

2.aMontrer que la masse moyenne des 30 boules est supérieure ou égale à 626 g.

La boule la plus légère pèse 620 g, et les deux boules suivant immédiatement dans le classement pèsent chacune 626 g : toutes les 27 autres boules pèsent au moins 633 g.
La masse totale est donc au moins égale à 620 + 2\times626 + 27\times633 = 620+1252+17091 = \text{18 963} g.
La masse moyenne est donc au moins \dfrac{18\,963}{30} = 632{,}1 g, qui est bien supérieure à 626 g.
(En reconstituant la série complète, la moyenne exacte est d'ailleurs 712{,}9 g.)

2.bDéterminer la masse médiane des 30 boules.

La série ordonnée comporte 30 valeurs (un nombre pair), donc la médiane est la demi-somme des 15^{\text{e}} et 16^{\text{e}} valeurs.
En ordonnant l'ensemble des masses, ces deux valeurs centrales valent toutes les deux 725 g.
La masse médiane est donc 725 g.

3.D'après le règlement de compétition, une boule doit avoir un diamètre compris entre 7,05 cm et 8 cm, et une masse comprise entre 650 g et 800 g. Peut-on affirmer qu'au moins un tiers des 30 boules de la rencontre amicale ne seraient pas acceptées en compétition ?

Seraient refusées pour le diamètre : la boule de 7 cm (trop petite, 1 boule) et les boules de 8,1 cm et 8,2 cm (trop grandes, 5 boules), soit 6 boules.
Seraient refusées pour la masse : les boules de moins de 650 g (620 g, deux fois 626 g, quatre fois 633 g, soit 7 boules) et celles de plus de 800 g (805 g deux fois, 813 g une fois, soit 3 boules).
Certaines boules cumulent les deux motifs de refus (diamètre et masse) : en comptant chaque boule refusée une seule fois, on obtient au total 12 boules refusées sur les 30.
La proportion de boules refusées est \dfrac{12}{30} = \dfrac25.
Or \dfrac25 = \dfrac{6}{15} et \dfrac13 = \dfrac{5}{15}, donc \dfrac25 > \dfrac13.
Oui, plus d'un tiers des boules (exactement \dfrac25, soit 40 %) ne seraient pas acceptées en compétition officielle.

1.aUn programme de calcul consiste à choisir un nombre, lui ajouter 2, élever le résultat au carré, puis soustraire 9. Vérifier qu'en partant de 3, ce programme donne 16.

En partant de 3 : 3+2=5, puis 5^2=25, puis 25-9= 16. Le résultat annoncé est bien vérifié.

1.bQuel résultat donne ce programme si l'on part de -6 ?

En partant de -6 : -6+2=-4, puis (-4)^2=16, puis 16-9= 7.

2.En appelant x le nombre choisi au départ, exprimer le résultat du programme en fonction de x.

En suivant les étapes du programme avec x : x+2, puis (x+2)^2, puis {(x+2)^2-9}. Le résultat du programme est donc {(x+2)^2-9}.

3.aMontrer que ce résultat peut s'écrire sous forme factorisée (x+5)(x-1).

On reconnaît une différence de carrés : (x+2)^2-9 = (x+2)^2-3^2.
D'après l'identité a^2-b^2=(a-b)(a+b) avec a=x+2 et b=3 :
\begin{aligned}(x+2)^2-3^2 &= [(x+2)-3]\times[(x+2)+3] \\ &= (x-1)(x+5)\end{aligned}
On retrouve bien la forme (x+5)(x-1).

3.bQuel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour obtenir 0 comme résultat ?

On résout (x+5)(x-1)=0.
Un produit de facteurs est nul si (et seulement si) l'un au moins des facteurs est nul.
Donc x+5=0, soit x=-5, ou {x-1=0}, soit x=1.
Les nombres de départ qui donnent 0 sont -5 et 1.

3.cDonner une valeur de x pour laquelle le résultat du programme est un nombre négatif.

En choisissant par exemple x=0 : \begin{aligned}(0+5)(0-1) &= 5\times(-1) \\ &= -5\end{aligned} qui est négatif.
x=0 convient donc (d'autres valeurs, comme celles strictement comprises entre -5 et 1, conviennent aussi).

4.Montrer que le résultat du programme s'écrit, sous forme développée, x^2+4x-5.

On développe \begin{aligned}(x+2)^2-9 &= x^2+2\times x\times2+2^2-9 \\ &= x^2+4x+4-9\end{aligned}
Soit finalement x^2+4x-5, ce qui correspond bien à la forme x^2+4x-5.

5.aOn note f la fonction définie par {f(x)=x^2+4x-5}. La fonction f est-elle affine ?

Une fonction affine s'écrit sous la forme f(x)=ax+b, sans terme en x^2. Ici {f(x)=x^2+4x-5} contient un terme en x^2, donc f n'est pas une fonction affine : c'est une fonction du second degré (une fonction polynôme).

5.bDéterminer les antécédents de -5 par f.

On cherche les nombres x tels que f(x)=-5, c'est-à-dire x^2+4x-5=-5.
En ajoutant 5 aux deux membres : {x^2+4x=0}.
En factorisant par x : x(x+4)=0.
Donc x=0 ou x+4=0, soit x=0 ou x=-4.
Les antécédents de -5 par f sont 0 et -4.

1.Le téléphérique de Grenoble relie le point de départ D, à 213 m d'altitude, au point d'arrivée A, à 475 m d'altitude, en une ligne de 673 m de long. Montrer que le dénivelé AH entre le départ et l'arrivée (H étant le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur l'horizontale passant par D) vaut 262 m.

L'altitude d'arrivée est 475 m et l'altitude de départ est 213 m, donc le dénivelé est \text{AH} = 475-213 = 262 m.

2.Déterminer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle \widehat{ADH}.

Le triangle ADH est rectangle en H (AH est la hauteur verticale, DH l'horizontale).
L'angle \widehat{ADH} est opposé au côté AH et l'hypoténuse du triangle est AD : on utilise donc le sinus (SOH).
\begin{aligned}\sin(\widehat{ADH}) &= \dfrac{\text{AH}}{\text{AD}} \\ &= \dfrac{262}{673} \\ &\approx 0{,}389\end{aligned}
La calculatrice donne alors \widehat{ADH} \approx 22,9^{\circ} au dixième de degré près.

3.La pente du téléphérique est le quotient \dfrac{\text{AH}}{\text{DH}} (dénivelé sur distance horizontale). Cette pente dépasse-t-elle 50 % ?

Le triangle ADH étant rectangle en H, le théorème de Pythagore donne \text{DH}^2 = \text{AD}^2 - \text{AH}^2 = 673^2-262^2 = 452\,929-68\,644 = 384\,285.
D'où \text{DH} = \sqrt{384\,285} \approx 619{,}9 m.
La pente vaut donc \begin{aligned}p &= \dfrac{262}{619{,}9} \\ &\approx 0{,}423\end{aligned} soit environ 42,3 %.
Comme 42{,}3\,\% < 50\,\%, la pente ne dépasse pas 50 %.

4.aUn trajet entre D et A dure 4 minutes, à vitesse supposée constante. Montrer que la vitesse du téléphérique est d'environ 2,8 m/s.

La durée du trajet en secondes est {4\times60 = 240} s, pour une distance de 673 m.
La vitesse moyenne est v = \dfrac{673}{240} \approx 2,8 m/s.

4.bLe point d'attache de la première cabine part de D. À quelle altitude se trouve-t-il 3 minutes après son départ ?

Le trajet complet (4 minutes) fait gagner un dénivelé total de 262 m, à vitesse verticale constante.
En 3 minutes, soit \dfrac34 du trajet, le dénivelé parcouru est {262\times\dfrac34 = 196{,}5} m.
L'altitude atteinte est donc 213+196{,}5 = 409,5 m.

5.Le plein tarif est 5,60 € l'aller simple, le tarif enfant de moins de 15 ans est 3,20 € et le tarif enfant de 15 à 18 ans est 4,20 €. M. et Mme Dupond, avec leurs cinq enfants de moins de 18 ans, achètent 7 allers simples pour 30,20 € au total. Combien de leurs enfants ont moins de 15 ans ?

Notons x le nombre d'enfants de moins de 15 ans ; il y a alors 5-x enfants de 15 à 18 ans.
Les deux adultes paient plein tarif, soit 2\times5{,}60 = 11{,}20 €.
Le montant total payé est {11{,}20 + 3{,}20x + 4{,}20(5-x) = 30{,}20}.
En développant : {11{,}20+3{,}20x+21-4{,}20x = 30{,}20}, soit 32{,}20-x = 30{,}20.
D'où \begin{aligned}x &= 32{,}20-30{,}20 \\ &= 2\end{aligned}
La famille Dupond a 2 enfants de moins de 15 ans (et donc 3 enfants de 15 à 18 ans).

1.aSolène écrit un script Scratch qui trace une figure faite de triangles équilatéraux emboîtés : le côté du premier triangle vaut 125 pixels, et à chaque nouveau triangle tracé, le côté est multiplié par un facteur k = 0,8. La figure obtenue compte 6 triangles. Le script principal répète le bloc « Triangle équilatéral » un certain nombre de fois : combien ?

Pour tracer les 6 triangles de la figure, il faut exécuter 6 fois le bloc « Triangle équilatéral » : le nombre à saisir dans le bloc « répéter » est 6.

1.bLe bloc « Triangle équilatéral » répète trois fois les instructions « avancer » puis « tourner de ... degrés ». Quel angle de rotation permet de retrouver l'orientation de départ après les trois côtés ?

Un triangle équilatéral a des angles extérieurs de 360\div3 = 120^{\circ}. Pour revenir à l'orientation initiale après avoir tracé les 3 côtés, il faut tourner de 120^{\circ} à chaque sommet.

2.Montrer que le côté du deuxième triangle tracé mesure 100 pixels.

Le premier triangle a un côté de 125 pixels. À chaque triangle suivant, le côté est multiplié par {k=0{,}8} : le deuxième triangle a donc un côté de 125\times0{,}8 = 100 pixels.

3.Affirmation 1 : « D'un triangle au suivant, la longueur du côté diminue de 20 %. » Affirmation 2 : « D'un triangle au suivant, l'aire est multipliée par 0,64. » Ces deux affirmations sont-elles vraies ?

Diminuer une longueur de 20 % revient à la multiplier par 1-\dfrac{20}{100} = 0{,}8, ce qui correspond exactement au facteur {k=0{,}8} utilisé dans le script : l'affirmation 1 est vraie.
Lorsque les longueurs d'une figure sont multipliées par un facteur k, son aire est multipliée par k^2. Ici \begin{aligned}k^2 &= 0{,}8^2 \\ &= 0{,}64\end{aligned} L'affirmation 2 est également vraie.

4.aQuelle transformation du plan permet de passer d'un triangle au triangle suivant dans l'exécution du programme ?

Chaque triangle est une réduction du précédent, dans un rapport de 0,8, conservant le même sommet fixe (le point de départ du tracé) : la transformation est une homothétie de centre ce sommet et de rapport 0,8.

4.bSolène veut modifier le programme pour que chaque triangle tracé soit un agrandissement du précédent. Proposer une valeur possible pour k.

Une valeur de k comprise entre 0 et 1 donne une réduction (comme dans la figure initiale), tandis qu'une valeur de k strictement supérieure à 1 donne un agrandissement. On peut par exemple choisir k=1{,}25.