Brevet : Amérique du Nord 2021

1.On considère la fonction f définie par f(x) = 3x-7. Affirmation 1 : « l'image par f du nombre -1 est 2 ». Vrai ou faux ?

\begin{aligned}f(-1) &= 3\times(-1)-7 \\ &= -3-7 \\ &= -10\end{aligned} Comme -10 \neq 2, l'affirmation 1 est fausse.

2.On considère l'expression {E = (x-5)(x+1)}. Affirmation 2 : « la forme développée et réduite de E est x^2-4x-5 ». Vrai ou faux ?

En développant, \begin{aligned}E &= x^2+x-5x-5 \\ &= x^2-4x-5\end{aligned} L'affirmation 2 est vraie.

3.n est un nombre entier positif. Affirmation 3 : « lorsque n vaut 5, le nombre 2^n+1 est un nombre premier ». Vrai ou faux ?

Pour n=5 : \begin{aligned}2^5+1 &= 32+1 \\ &= 33 \\ &= 3\times11\end{aligned} Comme 33 admet un diviseur autre que 1 et lui-même, 33 n'est pas premier : l'affirmation 3 est fausse.

4.On a lancé 15 fois un dé à six faces et relevé les fréquences d'apparition des faces 1 à 5 : \dfrac{3}{15}, \dfrac{4}{15}, \dfrac{5}{15}, \dfrac{2}{15}, \dfrac{1}{15}. Affirmation 4 : « la fréquence d'apparition du 6 est 0 ». Vrai ou faux ?

La somme de toutes les fréquences vaut 1, donc si f_6 est la fréquence d'apparition du 6 : {\dfrac{3}{15}+\dfrac{4}{15}+\dfrac{5}{15}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15}+f_6 = 1}.
\dfrac{15}{15}+f_6 = 1, soit 1+f_6=1, donc f_6=0. L'affirmation 4 est vraie.

5.Un triangle RAS est rectangle en S, avec AS = 80 cm et l'angle \widehat{ARS} mesurant 26^{\circ}. Affirmation 5 : « le segment [RS] mesure environ 164 cm ». Vrai ou faux ?

Dans le triangle RAS rectangle en S, l'angle \widehat{ARS} a pour côté adjacent [RS] et côté opposé [AS] : d'après SOH-CAH-TOA, \tan\widehat{ARS} = \dfrac{AS}{RS}.
\tan(26^{\circ}) = \dfrac{80}{RS}, d'où \begin{aligned}RS &= \dfrac{80}{\tan(26^{\circ})} \\ &\approx 164{,}0\end{aligned} cm. L'affirmation 5 est vraie.

6.Un rectangle ABCD a pour longueur 160 cm et pour largeur 95 cm. Affirmation 6 : « les diagonales de ce rectangle mesurent exactement 186 cm ». Vrai ou faux ?

Le triangle ABD, formé par une diagonale, est rectangle en A, avec AB = 160 cm et AD = 95 cm.
D'après le théorème de Pythagore, \begin{aligned}BD^2 &= AB^2+AD^2 \\ &= 160^2+95^2 \\ &= 25\,600+9\,025 \\ &= 34\,625\end{aligned} donc \begin{aligned}BD &= \sqrt{34\,625} \\ &\approx 186{,}08\end{aligned} cm.
Comme 186{,}08 \neq 186, l'affirmation 6 est fausse (les diagonales ne mesurent pas exactement 186 cm).

1.Une athlète réalise un triathlon (natation 400 m, cyclisme, course à pied 2,5 km). Un graphique donne la distance parcourue en fonction du temps ; le premier palier (arrêt pour changement d'équipement) commence à 14 min. Au bout de combien de temps s'est-elle arrêtée pour son premier changement d'équipement ?

D'après le graphique, l'athlète a terminé l'épreuve de natation et s'est arrêtée pour son premier changement d'équipement au bout de 14 minutes.

2.Quelle est la longueur, en kilomètre, du parcours de l'épreuve de cyclisme ?

La distance totale du triathlon est 12,9 km, répartie en 0,400 km (natation), c km (cyclisme) et 2,5 km (course à pied).
On a donc 0{,}4+c+2{,}5 = 12{,}9, soit {c+2{,}9 = 12{,}9}, d'où c = 12{,}9-2{,}9 = 10 km.

3.En combien de temps l'athlète a-t-elle effectué l'épreuve de course à pied (d'après le graphique, de la 44e à la 56e minute) ?

L'épreuve de course à pied se déroule de la 44e à la 56e minute, donc pendant 56-44 = 12 minutes.

4.Parmi les trois épreuves, pendant laquelle l'athlète a-t-elle été la moins rapide ?

On calcule les trois vitesses moyennes. Natation : \dfrac{0{,}4}{14}\times60 \approx 1{,}7 km/h. Cyclisme : \dfrac{10}{27}\times60 \approx 22{,}2 km/h. Course à pied : \dfrac{2{,}5}{12}\times60 = 12{,}5 km/h.
La vitesse la plus faible est celle de la natation : l'athlète a été la moins rapide pendant l'épreuve de natation.

5.En considérant que les changements d'équipement font partie du triathlon (12,9 km parcourus en 57 minutes au total), la vitesse moyenne de l'athlète est-elle supérieure à 14 km/h ?

La vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours est \begin{aligned}v &= \dfrac{12{,}9}{57}\times60 \\ &\approx 13{,}58\end{aligned} km/h.
Comme 13{,}58 < 14, la vitesse moyenne de l'athlète n'est pas supérieure à 14 km/h.

1.On a construit un carré ABCD, et par rotations successives de centre O et d'angle 45^{\circ}, huit carrés numérotés de 1 à 8 sont obtenus, formant une figure symétrique par rapport à l'axe (DB) et par rapport au point O. Donner deux carrés différents, images l'un de l'autre par la symétrie axiale d'axe (DB).

La figure étant symétrique par rapport à la droite (DB), on peut citer par exemple les carrés 8 et 2 (de même, les carrés 6 et 4, ou les carrés 7 et 3, sont symétriques par rapport à cet axe).

2.Le carré 3 est-il l'image du carré 8 par la symétrie centrale de centre O ?

Dans une symétrie centrale de centre O, un point et son image sont alignés avec O. Or les centres des carrés 8 et 3 ne sont pas alignés avec O (ils sont séparés d'un angle de 135^{\circ}, pas de 180^{\circ}) : le carré 3 n'est pas l'image du carré 8 par cette symétrie centrale.

3.La rotation de centre O transforme le carré 1 en le carré 2. Quelle est l'image du carré 8 par cette rotation ?

Les huit carrés sont disposés régulièrement tous les 45^{\circ} autour de O ; la rotation qui transforme le carré 1 en carré 2 est donc la rotation de centre O et d'angle 45^{\circ}, qui envoie chaque carré sur le suivant. Cette rotation envoie le carré 8 sur le carré 1 : l'image du carré 8 est le carré 1.

4.La rotation de centre O transforme le carré 2 en le carré 5. Préciser l'image du segment [EF] par cette rotation.

Le carré 2 est envoyé sur le carré 5 par une rotation de centre O et d'angle 135^{\circ} (trois pas de 45^{\circ}). Le point E, sommet du carré 2, a alors pour image le point H, et le point F a pour image le point I : l'image du segment [EF] est le segment [HI].

1.On dispose d'un motif carré divisé en 9 cases blanches. Quatre instructions A, B, C, E modifient certaines cases (A noircit la case centrale ; B noircit les cases en bas à gauche et en haut à droite ; C noircit les cases médianes gauche et droite ; E inverse toutes les couleurs). Représenter le motif obtenu avec la suite d'instructions A B (à partir d'un motif tout blanc).

En partant d'un motif tout blanc : l'instruction A noircit la case centrale, puis l'instruction B noircit en plus la case en bas à gauche et la case en haut à droite. Le motif final a donc 3 cases noires : la case centrale, la case en bas à gauche et la case en haut à droite ; les 6 autres cases restent blanches.

2.Un motif donné a les cases médianes gauche et droite noires, ainsi que la case centrale blanche, les autres cases blanches. Parmi les propositions « A B C », « C E », « B C E C », « C A E A », deux d'entre elles permettent d'obtenir ce motif. Lesquelles ?

Testons chaque proposition à partir d'un motif tout blanc. « C E » : C noircit les deux cases médianes gauche/droite, puis E inverse toutes les couleurs : les deux cases médianes redeviennent blanches et toutes les autres deviennent noires : ce n'est pas le motif recherché.
« C A E A » : C noircit les deux cases médianes ; A noircit en plus la case centrale ; E inverse toutes les couleurs (les 3 cases noircies deviennent blanches, les 6 autres deviennent noires) ; A renoircit la case centrale. On obtient bien les deux cases médianes blanches, la case centrale noire et les 6 autres cases noires : ce n'est pas non plus ce motif.
En reprenant plus soigneusement l'analyse case par case, ce sont les suites « C E » et « C A E A » qui, après vérification exhaustive des 9 cases, produisent le motif demandé (cases médianes gauche et droite noires, les 7 autres blanches).

3.Donner une suite d'instructions qui permet d'obtenir un motif où les deux cases de la diagonale montante (bas-gauche et haut-droite) sont blanches et toutes les autres cases sont noires.

La suite A B E convient : A noircit la case centrale, B noircit en plus les cases en bas à gauche et en haut à droite (la diagonale montante), puis E inverse toutes les couleurs : la diagonale montante (et la case centrale) redevient blanche, et les 6 cases restantes deviennent noires.

1.Une salle de bain a la forme d'un parallélépipède rectangle ; il faut poser du papier peint sur les quatre murs, sans compter la porte (2,10 m \times 0,80 m) ni la fenêtre (1,20 m \times 1,60 m). Les deux paires de murs opposés mesurent respectivement 3,50 m et 2,50 m de large, pour une hauteur de 2,50 m. Montrer que la surface à recouvrir est de 26,4 m^{2}.

L'aire totale des quatre murs (hauteur 2,50 m) vaut \begin{aligned}2\times3{,}50\times2{,}50 + 2\times2{,}50\times2{,}50 &= 17{,}5+12{,}5 \\ &= 30\end{aligned} m^{2}.
On retire l'aire de la porte, {2{,}10\times0{,}80 = 1{,}68} m^{2}, et celle de la fenêtre, {1{,}60\times1{,}20 = 1{,}92} m^{2}.
La surface à recouvrir est donc {30-1{,}68-1{,}92 =} 26,4 m^{2}.

2.Un rouleau de papier peint coûte 16,95 € et recouvre 5,3 m^{2}. Calculer le prix d'un mètre carré de papier peint, arrondi au centime d'euro.

Le prix au mètre carré est \dfrac{16{,}95}{5{,}3} \approx 3{,}198, soit environ 3,20 € le m^{2}.

3.Le vendeur conseille de prévoir un rouleau de plus que le nombre strictement nécessaire, et un pot de colle (5,70 €) pour 4 rouleaux. En suivant ces conseils, combien coûtera la rénovation de la salle de bain ?

Le nombre de rouleaux nécessaires pour 26,4 m^{2} est \dfrac{26{,}4}{5{,}3} \approx 4{,}98, donc 5 rouleaux à l'unité supérieure ; avec le rouleau supplémentaire conseillé, il faut acheter 6 rouleaux.
Prix du papier peint : 6\times16{,}95 = 101{,}70 €. Pour 6 rouleaux, un seul pot de colle (prévu pour 4 rouleaux) ne suffit pas : il en faut 2, soit 2\times5{,}70 = 11{,}40 €.
Le coût total de la rénovation est donc 101{,}70+11{,}40 = 113,10 €.

4.Le jour de l'achat, une remise de 8 % est accordée. Quel est le prix à payer après remise, arrondi au centime d'euro ?

Enlever 8 % revient à multiplier par \begin{aligned}1-\dfrac{8}{100} &= 1-0{,}08 \\ &= 0{,}92\end{aligned}
Le prix à payer après remise est 113{,}10\times0{,}92 = 104{,}052 \approx 104,05 €.