Brevet : Métropole 2021

1.Un tableur donne les températures moyennes mensuelles relevées à Tours en 2019 (en ^{\circ}C) : J 4,4 ; F 7,8 ; M 9,6 ; A 11,2 ; M 13,4 ; J 19,4 ; J 22,6 ; A 20,5 ; S 17,9 ; O 14,4 ; N 8,2 ; D 7,8. Quelle était la température moyenne en novembre 2019 ?

D'après le tableau, le mois de novembre correspond à la valeur 8,2 ^{\circ}C.

2.Déterminer l'étendue de cette série de températures.

L'étendue d'une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.
La température la plus élevée est 22{,}6~^{\circ}C (juillet) et la plus basse est 4{,}4~^{\circ}C (janvier).
L'étendue est donc 22{,}6-4{,}4 = 18,2 ^{\circ}C.

3.Quelle formule peut-on saisir dans la cellule prévue pour la moyenne annuelle, afin qu'elle calcule automatiquement la moyenne des douze températures mensuelles ?

On peut saisir une formule utilisant la fonction moyenne du tableur, du type =MOYENNE(...) appliquée à la plage des douze cellules contenant les températures mensuelles (on pourrait aussi utiliser la fonction SOMME puis diviser par 12).

4.Vérifier que la température moyenne annuelle à Tours en 2019 est bien 13,1~^{\circ}C.

En admettant que les mois ont sensiblement la même durée, la moyenne annuelle est la moyenne simple des 12 valeurs mensuelles.
\begin{aligned}\dfrac{4{,}4+7{,}8+9{,}6+11{,}2+13{,}4+19{,}4+22{,}6+20{,}5+17{,}9+14{,}4+8{,}2+7{,}8}{12} &= \dfrac{157{,}2}{12} \\ &= 13{,}1\end{aligned}
On obtient bien 13,1 ^{\circ}C, ce qui confirme la valeur annoncée.

5.En 2009, la température moyenne annuelle à Tours était de 11,9~^{\circ}C. Le pourcentage d'augmentation entre 2009 et 2019, arrondi à l'unité, est-il de 7 %, 10 % ou 13 % ?

Le taux d'évolution entre 2009 et 2019 se calcule par \dfrac{\text{valeur d'arrivée}-\text{valeur de départ}}{\text{valeur de départ}}, soit \begin{aligned}\dfrac{13{,}1-11{,}9}{11{,}9} &= \dfrac{1{,}2}{11{,}9} \\ &\approx 0{,}1008\end{aligned}
Cela représente une augmentation d'environ 10{,}08~\%, soit 10 % arrondi à l'unité.

1.Le parc du Futuroscope a accueilli 1,9 million de visiteurs en 2019. Combien de visiteurs supplémentaires auraient été nécessaires pour atteindre 2 millions ?

1,9 million s'écrit 1\,900\,000 et 2 millions s'écrivent 2\,000\,000.
Il aurait donc fallu {2\,000\,000-1\,900\,000 =} 100 000 visiteurs de plus pour atteindre les 2 millions.

2.Peut-on dire qu'il y a eu environ 5 200 visiteurs par jour au Futuroscope en 2019 ? Justifier.

2019 n'est pas une année bissextile, elle compte donc 365 jours.
Le nombre moyen de visiteurs par jour est \dfrac{1\,900\,000}{365} \approx 5\,205.
Cette valeur est bien proche de 5 200 : l'affirmation est vraie, il y a bien eu environ 5 200 visiteurs par jour en 2019.

3.aUn professeur veut répartir 126 garçons et 90 filles en groupes identiques. Décomposer 126 et 90 en produit de facteurs premiers.

En divisant successivement par les nombres premiers : \begin{aligned}126 &= 2\times3\times3\times7 \\ &= 2\times3^{2}\times7\end{aligned} et \begin{aligned}90 &= 2\times3\times3\times5 \\ &= 2\times3^{2}\times5\end{aligned}

3.bTrouver tous les entiers qui divisent à la fois 126 et 90.

En combinant les facteurs premiers communs 2 et 3^{2}, les diviseurs communs à 126 et 90 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18 (ce sont tous les diviseurs de 2\times3^{2}=18, le plus grand diviseur commun aux deux nombres).

3.cEn déduire le plus grand nombre de groupes identiques que le professeur peut constituer, ainsi que le nombre de filles et de garçons par groupe.

Pour que chaque groupe ait le même nombre de filles et le même nombre de garçons, le nombre de groupes doit diviser à la fois 126 et 90.
Le plus grand diviseur commun trouvé précédemment est 18 : le professeur peut donc former au maximum 18 groupes.
Chaque groupe comptera alors {126\div18 = 7} garçons et 90\div18 = 5 filles.

4.Marie (1,60 m) se place à 2 m d'un arbre imaginaire de sorte que son ombre coïncide avec celle de la Gyrotour du Futuroscope. La distance entre Marie et le pied de la tour est alors de 54,25 m. Calculer la hauteur de la Gyrotour.

Notons A le point du sol d'où partent les rayons du soleil, D les pieds de Marie et E le sommet de sa tête, C le pied de la tour et B son sommet ; les points A, D, C sont alignés et les points A, E, B aussi.
Marie et la tour se tiennent toutes deux verticalement sur un sol horizontal : les droites (ED) et (BC) sont donc parallèles.
D'après le théorème de Thalès appliqué aux droites (AC) et (AB) sécantes en A, coupées par les parallèles (DE) et (CB) : \begin{aligned}\dfrac{AD}{AC} &= \dfrac{AE}{AB} \\ &= \dfrac{DE}{CB}\end{aligned}
On a AD = 2 m, \begin{aligned}AC &= 2+54{,}25 \\ &= 56{,}25\end{aligned} m et DE = 1{,}60 m, donc \dfrac{2}{56{,}25} = \dfrac{1{,}60}{CB}.
D'où CB = \dfrac{1{,}60\times56{,}25}{2} = 45 m : la Gyrotour mesure 45 m de haut.

1.Une urne contient 7 jetons verts, 4 rouges, 3 bleus et 2 jaunes, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard. À quel évènement correspond une probabilité de \dfrac{7}{16} : « obtenir un jeton rouge ou jaune », « obtenir un jeton qui n'est pas vert » ou « obtenir un jeton vert » ?

L'urne contient 7+4+3+2 = 16 jetons en tout, dont 7 verts.
La probabilité d'obtenir un jeton vert est donc \dfrac{7}{16} : c'est l'évènement « obtenir un jeton vert ».

2.Toujours avec cette urne, quelle est la probabilité de ne pas tirer un jeton bleu : \dfrac{13}{16}, \dfrac{3}{16} ou \dfrac{3}{4} ?

La probabilité de tirer un jeton bleu est \dfrac{3}{16} (il y a 3 jetons bleus sur 16).
La probabilité de ne pas tirer un jeton bleu est l'évènement contraire : {1-\dfrac{3}{16} =} \dfrac{13}{16}.

3.Une figure est composée de vingt motifs numérotés de 1 à 20, disposés régulièrement autour d'un point O, avec un angle \widehat{AOB}=36^{\circ} (A et B étant deux points symétriques par rapport à une droite (d) passant par O). Quelle est l'image du motif 20 par la symétrie d'axe (d) : le motif 17, le motif 15 ou le motif 12 ?

Les vingt motifs sont répartis régulièrement tout autour de O, séparés d'un angle de 360^{\circ}\div20 = 18^{\circ} chacun, et la droite (d) est un axe de symétrie de la figure.
En comptant les motifs symétriques par rapport à (d) de part et d'autre de celui-ci, le motif symétrique du motif 20 est le motif 17.

4.Par quelle rotation de centre O le motif 3 est-il l'image du motif 1 : un angle de 36^{\circ}, de 72^{\circ} ou de 90^{\circ} ?

Les vingt motifs étant répartis tous les 18^{\circ} autour de O, passer du motif 1 au motif 3 correspond à un déplacement de deux motifs, soit un angle de {2\times18 =} 36^{\circ}.

5.Le motif 11 est l'image du motif 1 par l'homothétie de centre O et de rapport 2. L'aire du motif 11 est-elle égale au double de l'aire du motif 1, à 4 fois cette aire, ou à sa moitié ?

Dans une homothétie de rapport k, les longueurs sont multipliées par |k| et les aires par k^{2}.
Ici k=2, donc les aires sont multipliées par 2^{2}=4 : l'aire du motif 11 est 4 fois l'aire du motif 1.

1.On propose le programme de calcul suivant : choisir un nombre ; élever ce nombre de départ au carré ; ajouter le triple du nombre de départ ; soustraire 10 au résultat. Vérifier qu'en choisissant 4 comme nombre de départ, on obtient 18.

2.Quel résultat obtient-on en appliquant ce même programme au nombre -3 ?

3.Un script Scratch reproduit ce programme de calcul : après avoir demandé un nombre et l'avoir stocké dans la variable x, une ligne calcule y = x\times x. Compléter les deux lignes suivantes pour qu'elles calculent le triple de x ajouté à y, puis qu'elles soustraient 10 pour obtenir le résultat final.

4.aOn note x le nombre choisi au départ. Exprimer en fonction de x le résultat final du programme.

En suivant les étapes du programme avec x : on élève au carré (x^{2}), on ajoute le triple de x (x^{2}+3x), puis on soustrait 10, ce qui donne le résultat x^{2}+3x-10.

4.bVérifier que ce résultat peut aussi s'écrire sous la forme (x+5)(x-2).

On développe le produit (x+5)(x-2) en utilisant la double distributivité : (x+5)(x-2) = x\times x - x\times2 + 5\times x - 5\times2.
Soit x^{2}-2x+5x-10 = x^{2}+3x-10.
On retrouve bien l'expression trouvée à la question précédente : les deux écritures sont égales.

4.cQuel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour obtenir 0 comme résultat final ?

On cherche les valeurs de x telles que (x+5)(x-2)=0, un produit de deux facteurs.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins de ses facteurs est nul : x+5=0 ou x-2=0.
Cela donne x=-5 ou x=2 : il faut choisir -5 ou 2 comme nombre de départ pour obtenir 0.

1.En 2007, la production annuelle de déchets était de 5,2 tonnes par Français ; elle a diminué de 6,5 % entre 2007 et 2017. De combien de tonnes a-t-elle diminué ?

Une diminution de 6{,}5~\% par rapport à 5,2 tonnes correspond à {\dfrac{6{,}5}{100}\times5{,}2 = 0{,}338} tonne.
La production annuelle de déchets par Français a donc diminué de 0,338 tonne, soit 338 kg.

2.aUn composteur a la forme d'un prisme droit à base trapézoïdale (ABCD) accolé à un pavé droit. Sur le trapèze ABCD, le côté [CB] mesure 67 cm et sa partie [HB] (H étant le pied de la hauteur issue de D) mesure 39 cm, avec C, H, B alignés. Calculer la longueur CH.

Comme C, H et B sont alignés, {CH = CB-HB = 67-39 =} 28 cm.

2.bSachant que CD = 53 cm, montrer que DH = 45 cm.

Le triangle CHD est rectangle en H (puisque (DH) est la hauteur issue de D dans le trapèze).
D'après le théorème de Pythagore : CD^{2} = CH^{2}+HD^{2}, soit {53^{2} = 28^{2}+HD^{2}}.
Donc 2\,809 = 784+HD^{2}, d'où \begin{aligned}HD^{2} &= 2\,809-784 \\ &= 2\,025\end{aligned}
Ainsi HD = \sqrt{2\,025} = 45 cm, ce qui confirme la valeur annoncée.

2.cEn utilisant les longueurs des côtés parallèles (39 cm et 67 cm) et la hauteur (45 cm), vérifier que l'aire du trapèze ABCD vaut 2 385 cm^{2}.

L'aire d'un trapèze se calcule par \dfrac{(\text{petite base}+\text{grande base})\times\text{hauteur}}{2}.
Aire(ABCD) {= \dfrac{(39+67)\times45}{2} = \dfrac{106\times45}{2} = \dfrac{4\,770}{2} =} 2 385 cm^{2}, ce qui vérifie bien la valeur donnée.

2.dLe composteur mesure 1,10 m de haut côté prisme et le pavé droit qui le complète a pour dimensions 70 cm de long et 67 cm de large. Calculer le volume du composteur et vérifier s'il correspond bien à une contenance d'environ 0,5 m^{3}.

On convertit l'aire du trapèze en m^{2} : 2\,385~\text{cm}^{2} = 0{,}2385~\text{m}^{2}.
Le pavé droit associé a une hauteur de 1{,}10-0{,}45 = 0{,}65 m (la hauteur totale moins DH) et une largeur de 0,67 m ; son aire de base (vue de face) est 0{,}65\times0{,}67 \approx 0{,}4355~\text{m}^{2}.
L'aire de la base complète du composteur (trapèze + rectangle) est donc 0{,}2385+0{,}4355 = 0{,}674~\text{m}^{2}.
Le volume du composteur (prisme droit) est V = \text{aire de la base}\times\text{profondeur} = 0{,}674\times0{,}7 = 0{,}4718~\text{m}^{3}.
Comme 0{,}4718 est très proche de 0,5, l'affirmation est vraie : le composteur a bien une contenance d'environ 0,5 m^{3} (un peu inférieure en réalité).