Brevet : Nouvelle-Calédonie 2021

1.Affirmation : « 50 % de 10 350 c'est 10 300 ». Vrai ou faux ?

\begin{aligned}\dfrac{50}{100}\times10\,350 &= \dfrac{10\,350}{2} \\ &= 5\,175\end{aligned} Comme 5\,175 \neq 10\,300, l'affirmation est fausse.

2.Affirmation : « \dfrac73 est la forme irréductible de \dfrac{42}{18} ». Vrai ou faux ?

\begin{aligned}\dfrac{42}{18} &= \dfrac{7\times6}{3\times6} \\ &= \dfrac73\end{aligned} et 7 et 3 n'ont pas de diviseur commun autre que 1 : l'affirmation est vraie.

3.Affirmation : « l'équation 2x-4=-x+5 a pour solution 3 ». Vrai ou faux ?

En ajoutant x+4 à chaque membre : 2x-4+x+4 = -x+5+x+4, soit 3x = 9, d'où x = 3.
L'affirmation est vraie.

4.Affirmation : « l'arrondi à l'unité du volume d'une boule de diamètre 21,6 cm est 42 213 cm^{3} ». On rappelle que le volume d'une boule de rayon R est V=\dfrac43\pi R^3. Vrai ou faux ?

Le rayon est \begin{aligned}R &= \dfrac{21{,}6}{2} \\ &= 10{,}8\end{aligned} cm, donc \begin{aligned}V &= \dfrac43\pi\times10{,}8^3 \\ &\approx 5\,276{,}67\end{aligned} cm^{3}, soit 5 277 cm^{3} à l'unité près.
Comme 5\,277 \neq 42\,213, l'affirmation est fausse.

5.Dans un triangle BND rectangle en B, avec BD = 4 cm et BN = 12 cm, affirmation : « l'angle \widehat{DNB} arrondi à l'unité vaut 18^{\circ} ». Vrai ou faux ?

Dans le triangle BND rectangle en B, [BD] est le côté opposé à l'angle \widehat{DNB} et [BN] le côté adjacent : d'après SOH-CAH-TOA, \begin{aligned}\tan\widehat{DNB} &= \dfrac{BD}{BN} \\ &= \dfrac{4}{12} \\ &= \dfrac13\end{aligned}
La calculatrice donne \widehat{DNB} \approx 18{,}4^{\circ}, soit 18^{\circ} à l'unité près : l'affirmation est vraie.

6.Un cadenas à 3 chiffres doit avoir ses deux premiers chiffres choisis parmi 1, 2 et 3 (un chiffre peut se répéter) et son dernier chiffre est 6. Affirmation : « on peut composer 6 codes différents ». Vrai ou faux ?

Il y a 3 choix possibles pour le premier chiffre et 3 choix possibles pour le deuxième chiffre (le dernier chiffre étant fixé à 6), soit 3\times3 = 9 codes différents.
Comme 9 \neq 6, l'affirmation est fausse.

1.Sur 9 mois (avril à décembre 2020), les précipitations relevées à Nouméa (en mm) sont : 147 ; 199 ; 40 ; 67 ; 47 ; 54 ; 104 ; 45 ; 63. Calculer la moyenne, arrondie au mm.

La moyenne est \begin{aligned}\dfrac{147+199+40+67+47+54+104+45+63}{9} &= \dfrac{766}{9} \\ &\approx 85{,}1\end{aligned} soit 85 mm au mm près.

2.Quelle est l'étendue de cette série ?

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : {199-40 =} 159 mm.

3.Déterminer la médiane de cette série.

En rangeant les 9 valeurs dans l'ordre croissant : 40 ; 45 ; 47 ; 54 ; 63 ; 67 ; 104 ; 147 ; 199.
La série comporte 9 valeurs, donc la médiane est la 5e valeur : 63 mm.

4.Quel est le pourcentage de mois où les précipitations dépassent 100 mm, arrondi à l'unité ?

Trois mois dépassent 100 mm (147, 199 et 104), sur 9 relevés au total : \begin{aligned}\dfrac{3}{9}\times100 &= \dfrac{100}{3} \\ &\approx 33{,}3\end{aligned} soit 33 % à l'unité près.

1.BAI est un triangle rectangle en A, avec BA = 210 cm et AI = 155 cm. Calculer BI au cm près.

D'après le théorème de Pythagore, comme BAI est rectangle en A : \begin{aligned}BI^2 &= BA^2+AI^2 \\ &= 210^2+155^2 \\ &= 44\,100+24\,025 \\ &= 68\,125\end{aligned}
\begin{aligned}BI &= \sqrt{68\,125} \\ &\approx 261{,}0\end{aligned} soit 261 cm au cm près.

2.L'immeuble de Joanne compte 15 vitres rectangulaires de 210 cm sur 155 cm. Avant un cyclone, elle colle une bande d'adhésif sur chacune des deux diagonales d'une vitre. Justifier qu'il lui faut environ 5,22 m d'adhésif par vitre.

Chaque diagonale de la vitre mesure BI = 261 cm (calculé à la question précédente), donc les deux diagonales représentent 2\times261 = 522 cm, soit 5,22 m d'adhésif par vitre.

3.Joanne dispose de 7 rouleaux d'adhésif de 10 m chacun. En a-t-elle assez pour les 15 vitres de l'immeuble ?

Pour les 15 vitres, il faut 15\times5{,}22 = 78{,}3 m d'adhésif.
Or Joanne dispose de 7\times10 = 70 m. Comme 70 < 78{,}3, elle n'a pas assez d'adhésif : il lui manque un peu plus d'un rouleau.

1.aJustifier que 330 n'est pas un nombre premier.

330 est un nombre pair et différent de 2 : il admet donc au moins un diviseur (2) autre que 1 et lui-même, 330 n'est pas premier.

1.bDécomposer 330 en produit de facteurs premiers.

\begin{aligned}330 &= 33\times10 \\ &= (3\times11)\times(2\times5) \\ &= 2\times3\times5\times11\end{aligned}

1.cJustifier que 165 divise 330.

330 = 2\times165 : 330 est un multiple de 165, donc 165 divise 330.

1.dSachant que 500 = 2^2\times5^3, justifier que 165 ne divise pas 500.

D'après la question précédente, {165 = 3\times5\times11} : 165 admet 11 comme diviseur premier. Or la décomposition de 500 (2^2\times5^3) ne contient pas le facteur 11 : 165 ne divise pas 500.

2.Une pâtisserie a préparé 330 biscuits aux noix et 500 biscuits au chocolat, qu'elle répartit dans 165 boîtes en mettant le même nombre de biscuits aux noix dans chaque boîte. Combien de biscuits aux noix y a-t-il dans chaque boîte ?

Comme 330 = 165\times2, on peut répartir exactement 2 biscuits aux noix dans chacune des 165 boîtes.

3.aLa pâtisserie met aussi le même nombre de biscuits au chocolat dans chaque boîte. Combien de biscuits au chocolat y a-t-il dans chaque boîte ?

La division de 500 par 165 donne {500 = 165\times3+5} : on peut donc mettre 3 biscuits au chocolat dans chaque boîte.

3.bCombien de biscuits au chocolat reste-t-il alors ?

D'après la division précédente, le reste est 5 biscuits au chocolat.

4.Une boîte de biscuits coûte 3 650 F. À partir de 10 boîtes achetées, une réduction de 5 % est appliquée sur le montant total. Combien va-t-on payer pour l'achat de 12 boîtes ?

Enlever 5 % revient à multiplier par \begin{aligned}1-\dfrac{5}{100} &= 1-0{,}05 \\ &= 0{,}95\end{aligned}
Pour 12 boîtes, avec la remise : 12\times3\,650\times0{,}95 = 43\,800\times0{,}95 = 41 610 F.

1.Un jeu comporte 4 familles de cartes (banane, prune, citron, fraise). Dans chaque famille, la répartition des cartes est : 5 cartes avec 1 fruit, 3 avec 2 fruits, 3 avec 3 fruits, 2 avec 4 fruits, 1 avec 5 fruits. Montrer que ce jeu comporte 56 cartes.

Chaque famille comporte {5+3+3+2+1 = 14} cartes. Avec 4 familles identiques : 4\times14 = 56 cartes.

2.On tire une carte au hasard parmi les 56, chaque carte ayant la même chance d'être tirée. Soit P l'évènement « la carte tirée est de la famille prune ». Quelle est la probabilité de P ?

Il y a 14 cartes prune sur 56 cartes en tout : \begin{aligned}p(P) &= \dfrac{14}{56} \\ &= \dfrac14 \\ &= 0{,}25\end{aligned}

3.aQuel est l'évènement contraire de P ?

L'évènement contraire de P est « la carte tirée n'est pas de la famille prune ».

3.bQuelle est la probabilité de cet évènement contraire ?

\begin{aligned}p(\overline{P}) &= 1-p(P) \\ &= 1-\dfrac14 \\ &= \dfrac34 \\ &= 0{,}75\end{aligned}

4.Quelle est la probabilité de tirer une carte représentant quatre fruits ?

Chaque famille comporte 2 cartes à quatre fruits, soit 4\times2 = 8 cartes à quatre fruits sur 56.
La probabilité est \dfrac{8}{56} = \dfrac{1}{7}.

1.Un graphique représente la distance de réaction (en m) d'un conducteur en fonction de la vitesse du véhicule, sous forme d'une demi-droite passant par l'origine. Cette représentation traduit-elle une situation de proportionnalité ?

La représentation graphique est une demi-droite issue de l'origine du repère : elle correspond à une fonction linéaire, donc oui, la distance de réaction est proportionnelle à la vitesse.

2.Par lecture graphique, on obtient qu'à 54 km/h correspond une distance de réaction de 15 m. Quelle est la distance de réaction à 90 km/h ?

Le coefficient de proportionnalité (temps de réaction) est \dfrac{15}{54} \approx 0{,}278 m par km/h.
Pour 90 km/h : 90\times0{,}278 \approx 25 m de distance de réaction.

3.La distance de freinage (en m) d'un véhicule en bon état est donnée par {d = \dfrac{v^2}{203{,}2}}, où v est la vitesse en km/h. Un tableur calcule cette distance pour les vitesses 10, 20 et 30 km/h placées en B1, C1, D1 ; la formule saisie en B1 est étirée vers la droite. Parmi « =2*B\dfrac{1}{203}.2 », « =B1*B\dfrac{1}{203}.2 » et « =B1+B\dfrac{1}{203}.2 », laquelle est correcte ?

La formule doit calculer {\dfrac{v^2}{203{,}2} = \dfrac{v\times v}{203{,}2}} : c'est la formule « =B1*B\dfrac{1}{203}.2 » qui convient.

4.Montrer qu'à 90 km/h, la distance de freinage est d'environ 40 m.

Avec v=90 : \begin{aligned}d &= \dfrac{90^2}{203{,}2} \\ &= \dfrac{8\,100}{203{,}2} \\ &\approx 39{,}86\end{aligned} soit environ 40 m.

5.La distance d'arrêt est la somme de la distance de réaction et de la distance de freinage. Calculer la distance d'arrêt à 90 km/h.

À 90 km/h, la distance de réaction est d'environ 25 m et la distance de freinage d'environ 40 m, donc la distance d'arrêt est 25+40 = 65 m.

1.Une piscine rectangulaire mesure 8 m de longueur, 4 m de largeur et 1,70 m de profondeur. Il faut peindre le fond et les quatre parois intérieures, en deux couches. Un pot de peinture couvre 35 m^{2} et coûte 12 000 F. Calculer le budget nécessaire.

La surface à peindre comprend le fond (8\times4 = 32 m^{2}) et les quatre parois : deux de 8\times1{,}70 = 13{,}6 m^{2} et deux de 4\times1{,}70 = 6{,}8 m^{2}.
Surface totale (une couche) : \begin{aligned}32 + 2\times13{,}6 + 2\times6{,}8 &= 32+27{,}2+13{,}6 \\ &= 72{,}8\end{aligned} m^{2}.
Avec deux couches, la surface effective à peindre est 2\times72{,}8 = 145{,}6 m^{2}.
Le nombre de pots nécessaires est \dfrac{145{,}6}{35} \approx 4{,}16 : il faut donc acheter 5 pots (arrondi à l'entier supérieur), soit un budget de 5\times12\,000 = 60 000 F.

1.Un phare P, une balise B et une bouée O sont alignés (schéma). La balise est à 260 m du pied H du phare (sur l'alignement au sol), et la bouée est à 151 m de la balise. Quelle est la distance OH ?

OH = OA + AH, avec OA = 151 m (bouée-balise) et AH = 260 m (balise-phare au sol) : OH = 151+260 = 411 m.

2.Le phare mesure 56 m de haut (PH), et les droites (PH) et (BA) sont parallèles (A étant le pied de la balise). Déterminer la hauteur AB de la balise, arrondie au dixième de mètre.

Les points O, A, H sont alignés et les points O, B, P sont alignés dans le même ordre.
Les droites (PH) et (BA) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{OA}{OH} &= \dfrac{OB}{OP} \\ &= \dfrac{AB}{HP}\end{aligned}
d'où \dfrac{OA}{OH} = \dfrac{AB}{HP}, soit \dfrac{151}{411} = \dfrac{AB}{56}.
donc AB = \dfrac{151\times56}{411} \approx 20,6 m.

3.Le sommet du phare est protégé par une balustrade en forme d'étoile, dont chaque motif fait un angle de 72^{\circ} avec le suivant (angle plein de 360^{\circ} réparti en plusieurs motifs identiques). Sur un schéma, deux demi-droites forment un angle de 180^{\circ} (angle plat), l'une d'elles étant séparée de 72^{\circ} d'une troisième demi-droite qui délimite l'angle \widehat{a} avec la première. Calculer la mesure de l'angle \widehat{a}.

L'angle \widehat{a} et l'angle de 72^{\circ} sont supplémentaires (leur somme forme l'angle plat de 180^{\circ}) : \widehat{a} = 180-72 = 108^{\circ}.

4.Un script Scratch nommé « motif » doit tracer, d'un point A à un point B, un contour en pointillés fait de quatre segments : avancer de 38 pas, tourner à droite d'un angle inconnu, avancer de 28 pas, tourner à gauche de 108^{\circ}, avancer d'un nombre de pas inconnu, tourner à droite de 90^{\circ}, avancer d'un nombre de pas inconnu. Le tracé étant symétrique (les deux virages à droite sont identiques, et les segments de début et de fin sont de même longueur), compléter les valeurs manquantes du script.

5.Le script final trace la balustrade complète en répétant le motif ci-dessus plusieurs fois, en tournant à gauche d'un même angle entre deux répétitions, afin de reconstituer le tour complet de l'étoile (chaque motif occupant un secteur de 72^{\circ}, comme trouvé à la question 3). Combien de fois faut-il répéter le motif, et de quel angle faut-il tourner à gauche entre deux répétitions ?

La balustrade fait un tour complet de 360^{\circ}, réparti en secteurs identiques de 72^{\circ} chacun : il faut donc répéter le motif 360\div72 = 6 fois.
Comme le motif lui-même ne referme pas tout le secteur de 72^{\circ} (il ne comporte qu'un virage à gauche de 108^{\circ}, inférieur à un demi-tour), le script doit compléter la rotation par un virage à gauche de 144^{\circ} entre deux répétitions, pour que les 6 motifs s'enchaînent bout à bout sur un tour complet.