Brevet : Pays du groupe 1 2021

1.Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.

\begin{aligned}360 &= 36\times10 \\ &= 4\times9\times2\times5 \\ &= 2^2\times3^2\times2\times5 \\ &= 2^3\times3^2\times5\end{aligned}

2.Un triangle BEJ, rectangle isocèle en J, sert de motif pour un pavage formant une grande figure (losange ABCD partagé par ses diagonales et les milieux des côtés du carré central EFGH). a) Quelle est l'image du triangle BEJ par la symétrie d'axe (BD) ?

La droite (BD) est un axe de symétrie de la figure : le point B est invariant, le point J (sur (BD)) est aussi invariant, et le symétrique de E est F. L'image du triangle BEJ est donc le triangle BFJ.

2.bQuelle est l'image du triangle AMH par la translation qui transforme E en B ?

Cette translation transforme A en E, M en F et H en M (chaque point « recule » d'un cran identique le long de la figure). L'image du triangle AMH est donc le triangle EFM.

2.cPar quelle transformation passe-t-on du triangle AIH au triangle AMD ?

Le triangle AMD est formé de 4 triangles superposables au triangle AIH : son aire est 4 fois plus grande, donc ses longueurs sont 2 fois plus grandes que celles de AIH. Le point A est commun aux deux triangles : on passe de AIH à AMD par l'homothétie de centre A et de rapport 2.

3.Calculer en détaillant les étapes : \dfrac{7}{2} + \dfrac{15}{6}\times\dfrac{7}{25} (résultat sous forme de fraction irréductible).

\begin{aligned}\dfrac{15}{6}\times\dfrac{7}{25} &= \dfrac{15\times7}{6\times25} \\ &= \dfrac{105}{150}\end{aligned}
En simplifiant par 15 : \dfrac{105}{150} = \dfrac{7}{10}.
\begin{aligned}\dfrac{7}{2} + \dfrac{7}{10} &= \dfrac{35}{10} + \dfrac{7}{10} \\ &= \dfrac{42}{10} \\ &= \dfrac{21}{5}\end{aligned} (en simplifiant par 2).

4.QCM : le diamètre de la Lune vaut environ 3 474 km. Quelle valeur approche le mieux son volume ? Réponse A : 12{,}3\times10^{17} km^{3} ; réponse B : 1 456 610 km^{3} ; réponse C : 1{,}8\times10^{11} km^{3} ; réponse D : 2{,}2\times10^{10} km^{3}.

Le rayon de la Lune est \begin{aligned}R &= \dfrac{3474}{2} \\ &= 1737\end{aligned} km, et le volume d'une boule est {V = \dfrac{4}{3}\times\pi\times R^3}.
\begin{aligned}V &\approx \dfrac{4}{3}\times\pi\times1737^3 \\ &\approx 2{,}2\times10^{10}\end{aligned} km^{3}.
C'est la réponse D qui convient.

5.Un triangle RST est rectangle en S, avec RS = 10 mm, ST = 24 mm et RT = 26 mm. Compléter : mesure de l'angle en T, mesure de l'angle en R, périmètre et aire du triangle RST (angles arrondis à l'unité).

Dans le triangle RST rectangle en S, le côté ST est adjacent à l'angle \widehat{STR} et RT est l'hypoténuse, donc \begin{aligned}\cos(\widehat{STR}) &= \dfrac{ST}{RT} \\ &= \dfrac{24}{26} \\ &= \dfrac{12}{13}\end{aligned}
La calculatrice donne \widehat{STR}\approx22{,}6^{\circ}, soit 23^{\circ} à l'unité près.
Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : \widehat{SRT} = 90^{\circ} - 23^{\circ} = 67^{\circ}.
Périmètre : {\mathcal{P} = RS+ST+RT = 10+24+26 =} 60 mm.
Aire : \mathcal{A} = \dfrac{RS\times ST}{2} = \dfrac{10\times24}{2} = 120 mm^{2}.

Partie1 ; 1. On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Donner les issues possibles.

Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

Partie1 ; 2. Quelle est la probabilité de l'évènement A : « on obtient 2 » ?

Le dé est équilibré et compte 6 issues équiprobables : p(A) = \dfrac{1}{6}.

Partie1 ; 3. Quelle est la probabilité de l'évènement B : « on obtient un nombre impair » ?

Parmi les 6 issues, 3 sont impaires (1, 3, 5) : \begin{aligned}p(B) &= \dfrac{3}{6} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}

Partie2 ; 1. On lance simultanément deux dés équilibrés à six faces, un rouge et un vert, et on appelle « score » la somme des deux numéros obtenus. Quelle est la probabilité de l'évènement C : « le score est 13 » ? Comment appelle-t-on un tel évènement ?

Le plus grand score possible est {6+6=12} : obtenir 13 est donc impossible, et p(C) = 0.

Partie2 ; 2.a Compléter le tableau à double entrée des scores (dé rouge en ligne, dé vert en colonne).

Partie2 ; 2.b Donner la liste des scores possibles.

Les scores possibles vont de 2 à 12 : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, soit 11 valeurs différentes.

Partie2 ; 3.a Déterminer la probabilité de l'évènement D : « le score est 10 ».

Il y a 6\times6=36 issues équiprobables au total. Le score 10 s'obtient avec (4 ; 6), (5 ; 5) et (6 ; 4), soit 3 issues : \begin{aligned}p(D) &= \dfrac{3}{36} \\ &= \dfrac{1}{12}\end{aligned}

Partie2 ; 3.b Déterminer la probabilité de l'évènement E : « le score est un multiple de 4 ».

Les scores multiples de 4 sont 4, 8 et 12, obtenus par 9 issues au total (3+5+1) parmi les 36 : \begin{aligned}p(E) &= \dfrac{9}{36} \\ &= \dfrac{1}{4}\end{aligned}

Partie2 ; 3.c Démontrer que le score obtenu a autant de chances d'être un nombre premier qu'un nombre strictement supérieur à 7.

Les scores premiers possibles sont 2, 3, 5, 7 et 11. En comptant les issues du tableau : 2 (1), 3 (2), 5 (4), 7 (6), 11 (2), soit 1+2+4+6+2 = 15 issues.
Les scores strictement supérieurs à 7 sont 8, 9, 10, 11, 12, obtenus par {5+4+3+2+1 = 15} issues.
Il y a bien 15 issues sur 36 dans les deux cas : les deux évènements ont la même probabilité \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}.

Unprofesseur propose trois programmes de calcul. Programme A : choisir un nombre, ajouter 1, multiplier par 3, soustraire 3. Programme B : choisir un nombre, ajouter 3 (Valeur 1) et soustraire 5 au nombre de départ (Valeur 2), puis multiplier Valeur 1 par Valeur 2. Programme C, en langage naturel :

1.aMontrer qu'en partant de 1, le programme A affiche « On obtient 3 ».

1 \xrightarrow{+1} 2 \xrightarrow{\times3} 6 \xrightarrow{-3} 3 : le programme A affiche bien 3.

1.bMontrer qu'en partant de 2, le programme B affiche « On obtient -15 ».

2 \to Valeur 1 = 2+3 = 5 et Valeur 2 {= 2-5 = -3}, donc résultat = 5\times(-3) = -15.

2.En notant x le nombre de départ, quelle expression obtient-on avec le programme C ?

x \xrightarrow{\times7} 7x \xrightarrow{+3} 7x+3 \xrightarrow{-x} 7x+3-x = 6x+3. Le programme C donne 6x+3.

3.Un élève affirme qu'avec l'un des trois programmes on obtient toujours le triple du nombre choisi. A-t-il raison ?

Programme A : {x \xrightarrow{+1} x+1 \xrightarrow{\times3} 3x+3 \xrightarrow{-3} 3x} : le programme A donne bien toujours le triple du nombre choisi.
Programme B donne {(x+3)(x-5) = x^2-2x-15}, qui n'est pas égal à 3x en général ; programme C donne {6x+3 \ne 3x}.
L'élève a raison : c'est le programme A qui donne toujours le triple du nombre choisi.

4.aRésoudre l'équation (x+3)(x-5) = 0.

Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul : x+3=0 soit x=-3, ou x-5=0 soit x=5. L'ensemble des solutions est S = \{-3~;~5\}.

4.bPour quelles valeurs de départ le programme B affiche-t-il « On obtient 0 » ?

Le programme B donne (x+3)(x-5), qui s'annule pour x=-3 et x=5 (question précédente) : ce sont les deux valeurs de départ cherchées.

5.Pour quelle(s) valeur(s) de départ le programme C affiche-t-il le même résultat que le programme A ?

Il faut résoudre 6x+3 = 3x, soit {3x = -3}, donc x=-1. En partant de -1, les programmes A et C affichent tous deux -3.

Aurélie fait du vélo en Angleterre. Elle part d'une altitude de 251 m (point A) et rejoint un sommet à 393 m (point E), en passant actuellement par le point D. On a A, D, E alignés et A, B, C alignés, avec (AB)⊥(DB) et (AC)⊥(CE) ; AD = 51,25 m et DB = 11,25 m. 1. Justifier que le dénivelé EC vaut 142 m.

L'altitude de départ est 251 m et celle du sommet est 393 m, donc le dénivelé total est EC = 393-251 = 142 m.

2.aProuver que les droites (DB) et (EC) sont parallèles.

Les droites (DB) et (EC) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AC) (qui porte A, B, C) : deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles, donc (DB) et (EC) sont parallèles.

2.bMontrer que la distance restant à parcourir, DE, vaut environ 596 m.

Les points A, D, E sont alignés et les points A, B, C sont alignés dans le même ordre.
Les droites (DB) et (EC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{AD}{AE} &= \dfrac{AB}{AC} \\ &= \dfrac{DB}{EC}\end{aligned}
d'où \dfrac{AD}{AE} = \dfrac{DB}{EC}, soit \dfrac{51{,}25}{AE} = \dfrac{11{,}25}{142}.
donc \begin{aligned}AE &= \dfrac{51{,}25\times142}{11{,}25} \\ &\approx 646{,}9\end{aligned} m, d'où {DE = AE-AD \approx 646{,}9-51{,}25 \approx} 596 m (au mètre près).

3.Aurélie roule à une vitesse moyenne de 8 km/h et part à 9 h 55 du point D (DE \approx 596 m). À quelle heure arrivera-t-elle en E (à la minute près) ?

À 8 km/h, Aurélie parcourt 8 000 m en 60 minutes, donc \dfrac{8000}{60} \approx 133{,}3 m par minute.
Le temps pour parcourir 596 m est \begin{aligned}t &= \dfrac{596}{8000}\times60 \\ &\approx 4{,}5\end{aligned} min, soit environ 4 minutes.
Partie à 9 h 55, Aurélie arrivera donc à 9 h 59 environ.

4.La pente d'une route se calcule par \text{pente} = \dfrac{\text{dénivelé}}{\text{longueur horizontale parcourue}}, exprimée en pourcentage. Démontrer que la pente de la route parcourue par Aurélie est de 22,5 %.

Dans le triangle ABD rectangle en B, \begin{aligned}AB &= \sqrt{AD^2-DB^2} \\ &= \sqrt{51{,}25^2-11{,}25^2} \\ &= \sqrt{2626{,}5625-126{,}5625} \\ &= \sqrt{2500} \\ &= 50\end{aligned} m.
D'après le théorème de Thalès (même configuration qu'à la question 2.b, avec cette fois les côtés AB, AC et AD, AE), on a \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AE}
d'où AC = \dfrac{AB\times AE}{AD} = \dfrac{50\times646{,}9}{51{,}25} \approx 631,1 m.
La pente est \begin{aligned}\dfrac{EC}{AC} &\approx \dfrac{142}{631{,}1} \\ &\approx 0{,}225\end{aligned} soit 22,5 %.

Unestation de ski propose trois formules : A, 36,50 € par journée ; B, abonnement « SkiPlus » à 90 € pour la saison puis 18,50 € par journée ; C, abonnement « SkiTotal » à 448,50 € pour un accès gratuit toute la saison. 1. Compléter le tableau du montant à payer pour 2, 6 et 10 journées de ski selon la formule.

2.ax désigne le nombre de journées de ski, avec f(x)=90+18{,}5x, g(x)=448{,}5 et h(x)=36{,}5x. Laquelle de ces trois fonctions représente une situation de proportionnalité ?

Seule la fonction h est de la forme h(x) = 36{,}5\times x (fonction linéaire) : c'est la seule situation de proportionnalité.

2.bAssocier chacune des fonctions à la formule A, B ou C correspondante.

Formule A correspond à la fonction h ; formule B correspond à la fonction f ; formule C correspond à la fonction g.

2.cCalculer le nombre de journées de ski pour lequel les formules A et B coûtent le même prix.

Il faut résoudre h(x) = f(x), soit 36{,}5x = 90+18{,}5x.
\begin{aligned}36{,}5x-18{,}5x = 90 &\iff 18x = 90 \\ &\iff x = 5 \end{aligned}
Vérification : h(5) = 182{,}5 et \begin{aligned}f(5) &= 90+18{,}5\times5 \\ &= 182{,}5\end{aligned} Pour 5 journées, les deux formules coûtent 182,50 €.

3.aSur un graphique, les droites (d_1), (d_2), (d_3) représentent f, g, h (dans un ordre à retrouver). Sachant que (d_1) est horizontale à l'ordonnée 448,50, que (d_2) passe par l'origine, et que (d_3) coupe l'axe des ordonnées en 90, associer chaque droite à sa fonction.

(d_1), horizontale, correspond à la fonction constante g ; (d_2), passant par l'origine, correspond à la fonction linéaire h ; (d_3), d'ordonnée à l'origine 90, correspond à la fonction affine f.

3.bAvec un budget de 320 €, en choisissant la formule la plus avantageuse, quel est le nombre maximum de journées de ski possible ?

La formule C (448,50 €) dépasse déjà le budget : elle est à écarter.
Formule A : \begin{aligned}36{,}5x \leqslant 320 &\iff x \leqslant \dfrac{320}{36{,}5} \\ &\approx 8{,}8\end{aligned} soit au plus 8 journées.
Formule B : \begin{aligned}90+18{,}5x \leqslant 320 &\iff x \leqslant \dfrac{230}{18{,}5} \\ &\approx 12{,}4\end{aligned} soit au plus 12 journées (pour un coût réel de 90+18{,}5\times12 = 312 €).
La formule B est la plus avantageuse : Marin peut skier au maximum 12 journées.

3.cÀ partir de combien de journées de ski la formule C devient-elle avantageuse ?

La formule A est toujours plus chère que la formule B pour un grand nombre de journées : il suffit de comparer B et C.
448{,}5 < 90+18{,}5x \iff 358{,}5 < 18{,}5x \iff x > \dfrac{358{,}5}{18{,}5} \approx 19{,}4.
Le plus petit nombre entier de journées vérifiant cette inégalité est 20 : la formule C devient avantageuse à partir de 20 journées de ski.