Brevet : Amérique du Nord 2022

1.Sur une figure (non tracée à l'échelle), les points M, A, S sont alignés, les points M, T, H sont alignés, avec MH = 5 cm, MS = 13 cm et MT = 7 cm. Démontrer que HS = 12 cm.

Le triangle MHS est rectangle en H (d'après le codage de la figure), avec MH = 5 cm et MS = 13 cm pour hypoténuse.
D'après le théorème de Pythagore, MS^2 = MH^2+HS^2, soit {13^2 = 5^2+HS^2}, donc \begin{aligned}HS^2 &= 169-25 \\ &= 144\end{aligned}
Comme HS est une longueur positive, HS = \sqrt{144} = 12 cm.

2.Calculer la longueur AT.

Les droites (HS) et (TA) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (MH) (d'après le codage de la figure), donc elles sont parallèles entre elles.
Les points M, T, H sont alignés et les points M, A, S sont alignés dans le même ordre.
Les droites (TA) et (HS) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{MT}{MH} &= \dfrac{MA}{MS} \\ &= \dfrac{TA}{HS}\end{aligned}
d'où \dfrac{MT}{MH} = \dfrac{TA}{HS}, soit \dfrac{7}{5} = \dfrac{TA}{12}.
donc TA = \dfrac{7\times12}{5} = \dfrac{84}{5} = 16,8 cm.

3.Calculer la mesure de l'angle \widehat{HMS}, arrondie au degré.

Dans le triangle MHS rectangle en H, l'angle \widehat{HMS} a pour côté adjacent [MH] et pour hypoténuse [MS].
D'après SOH-CAH-TOA, \begin{aligned}\cos\widehat{HMS} &= \dfrac{MH}{MS} \\ &= \dfrac{5}{13}\end{aligned}
Donc \begin{aligned}\widehat{HMS} &= \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{13}\right) \\ &\approx 67{,}38^{\circ}\end{aligned} soit environ 67^{\circ}.

4.Parmi symétrie centrale, symétrie axiale, rotation, translation, homothétie, laquelle permet d'obtenir le triangle MAT à partir du triangle MHS (aucune justification attendue) ?

Une homothétie (de centre M) transforme le triangle MHS en le triangle MAT : ces deux triangles ne sont pas superposables par déplacement (leurs dimensions diffèrent), ce qui écarte les symétries, la rotation et la translation, mais ils restent semblables avec des côtés deux à deux parallèles depuis le centre commun M.

5.Sachant que MT est 1,4 fois plus grand que MH, un élève affirme que l'aire du triangle MAT est 1,4 fois plus grande que l'aire du triangle MHS. Cette affirmation est-elle vraie ?

Le triangle MAT est l'image du triangle MHS par une homothétie de rapport (en valeur absolue) \begin{aligned}k &= \dfrac{MT}{MH} \\ &= 1{,}4\end{aligned} donc toutes les longueurs sont multipliées par 1,4.
Or, dans une homothétie de rapport k, les aires sont multipliées par k^2, et non par k.
Ici \begin{aligned}k^2 &= 1{,}4^2 \\ &= 1{,}96\end{aligned} L'aire de MAT est donc 1,96 fois celle de MHS, et non 1,4 fois. L'affirmation est fausse.

1.QCM (aucune justification attendue). On lance un dé équilibré à 20 faces numérotées de 1 à 20. Quelle est la probabilité que le numéro tiré soit inférieur ou égal à 5, parmi \dfrac{1}{20}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{5}{6} ?

Il y a 20 issues possibles, toutes équiprobables, et 5 issues favorables (1, 2, 3, 4, 5).
La probabilité cherchée est \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4} : c'est la réponse \dfrac{1}{4}.

2.Une boisson est composée d'un volume de sirop pour sept volumes d'eau. Quelle quantité d'eau, parmi 70 mL, 80 mL, 400 mL, 490 mL, est nécessaire pour préparer 560 mL de cette boisson ?

La boisson totalise 1+7=8 parts égales pour 560 mL, donc une part vaut \dfrac{560}{8} = 70 mL.
L'eau représente 7 parts, soit {7\times70 = 490} mL : c'est la réponse 490 mL.

3.Parmi f(x)=x+\dfrac15, f(x)=\dfrac45x, {f(x)=\dfrac54x}, f(x)=x-\dfrac15, quelle est la fonction linéaire f telle que f\left(\dfrac45\right)=1 ?

Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax (sans terme constant), ce qui élimine d'emblée les deux expressions avec +\dfrac15 ou -\dfrac15.
Il reste à tester : pour f(x) = \dfrac54x, \begin{aligned}f\left(\dfrac45\right) &= \dfrac54\times\dfrac45 \\ &= 1\end{aligned} ce qui convient. C'est la réponse {f(x)=\dfrac54x}.

4.Quelle est la décomposition de 195 en produit de facteurs premiers, parmi 5\times39, 3\times5\times13, 1\times100+9\times10+5, 3\times65 ?

On vérifie : 3\times5\times13 = 195, et 3, 5, 13 sont bien trois nombres premiers.
Les autres propositions échouent : {39 = 3\times13} n'est pas premier, 3\times65 fait apparaître 65=5\times13 non premier, et 1\times100+9\times10+5 est une somme, pas un produit. C'est la réponse 3\times5\times13.

5.Un prisme droit à base triangulaire a une base de 5 cm et 3 cm (côtés de l'angle droit du triangle de base) et une hauteur de prisme de 8 cm. Quel est son volume, parmi 40 cm^{3}, 60 cm^{3}, 64 cm^{3}, 120 cm^{3} ?

L'aire du triangle de base (rectangle) est \dfrac{5\times3}{2} = 7{,}5 cm^{2}.
Le volume du prisme est \begin{aligned}\mathcal{V} &= \mathcal{A}_{\text{base}}\times h \\ &= 7{,}5\times8 \\ &= 60\end{aligned} cm^{3} : c'est la réponse 60 cm^{3}.

1.Un communiqué indique que, sur 1,6 million d'adolescents de 11 à 17 ans interrogés, 81 % ne respectent pas la recommandation d'au moins une heure de pratique physique quotidienne en moyenne. Combien d'adolescents cela représente-t-il ?

Il s'agit de calculer 81 % de 1,6 million, soit 0{,}81\times1\,600\,000.
0{,}81\times1\,600\,000 = 1\,296\,000 : cela représente 1 296 000 adolescents (soit 1,296 million).

2.aUn adolescent note pendant 14 jours sa durée quotidienne de pratique physique : 50 min, 15 min, 1 h, 1 h 40 min, 30 min, 1 h 30 min, 40 min, 15 min, 1 h, 1 h 30 min, 30 min, 1 h, 1 h, 0 min. Quelle est l'étendue de cette série ?

La valeur maximale de la série est 1 h 40 min (soit 100 min) et la valeur minimale est 0 min.
L'étendue est la différence entre le maximum et le minimum : 100-0 = 100 min, soit 1 h 40 min.

2.bDonner une médiane de ces 14 durées quotidiennes.

En convertissant toutes les durées en minutes et en les rangeant par ordre croissant, on obtient : 0 ; 15 ; 15 ; 30 ; 30 ; 40 ; 50 ; 60 ; 60 ; 60 ; 60 ; 90 ; 90 ; 100.
Il y a 14 valeurs (nombre pair), donc la médiane est la moyenne des 7e et 8e valeurs : \dfrac{50+60}{2} = 55.
Une médiane de cette série est donc 55 minutes.

3.aMontrer que, sur ces 14 premiers jours, l'adolescent n'a pas atteint son objectif d'une heure de pratique physique par jour en moyenne.

La durée totale de pratique sur les 14 jours est 50+15+60+100+30+90+40+15+60+90+30+60+60+0 = 700 minutes.
La durée moyenne quotidienne est donc \dfrac{700}{14} = 50 minutes par jour.
Comme 50 < 60, la moyenne quotidienne est inférieure à une heure : l'objectif n'est pas atteint sur ces 14 jours.

3.bPendant les 7 jours suivants, quelle durée totale minimale de pratique physique doit-il prévoir pour atteindre son objectif sur l'ensemble des 21 jours ?

Pour que la moyenne sur 21 jours atteigne exactement 60 minutes par jour, il faut un total d'au moins {21\times60 = 1\,260} minutes sur les 21 jours.
Il a déjà cumulé 700 minutes sur les 14 premiers jours, il lui reste donc à prévoir 1\,260-700 = 560 minutes sur les 7 jours suivants (soit une moyenne de \dfrac{560}{7} = 80 minutes par jour).

1.Un programme dessine, au clic sur le drapeau vert, trois motifs côte à côte, chacun tiré aléatoirement entre une croix et un rectangle : le bloc « rectangle » fait avancer le lutin de 60 pas, tourner à gauche de 90^{\circ}, avancer de 80 pas, puis tourner à gauche de 90^{\circ}, ce schéma étant répété deux fois. Le programme principal place le lutin en x = -110, y = 0, puis répète 3 fois : tirer un nombre aléatoire entre 1 et 2 (1 = croix, 2 = rectangle), tracer le motif correspondant, puis avancer de 100 pas. En prenant l'échelle 1 cm pour 20 pas, quelles sont les dimensions du rectangle tracé par le bloc « rectangle » (aucune justification attendue dans cet exercice) ?

Le bloc fait avancer le lutin de 60 pas puis, après un virage à angle droit, de 80 pas : le rectangle a donc pour dimensions 60 pas sur 80 pas.
À l'échelle 1 cm pour 20 pas, cela correspond à un rectangle de \dfrac{60}{20} = 3 cm de large sur \dfrac{80}{20} = 4 cm de haut.

2.Quelle est la distance d, en pas, entre deux motifs consécutifs sur l'affichage ?

À la fin du tracé d'un motif, le lutin revient à son point de départ avec son orientation initiale (horizontale vers la droite), puisque les deux instructions de rotation de 90^{\circ} dans chaque sens de longueur se compensent.
Le programme principal fait alors avancer le lutin de 100 pas avant de tracer le motif suivant, alors que la largeur d'un motif (rectangle ou croix) occupe 60 pas.
La distance entre deux motifs consécutifs est donc d = 100-60 = 40 pas.

3.Quelle est la probabilité que le premier motif dessiné soit une croix ?

Le premier motif est une croix lorsque le nombre aléatoire tiré entre 1 et 2 vaut 1 (par exemple), ce qui correspond à une issue sur deux, équiprobables.
La probabilité que le premier motif soit une croix est donc \dfrac{1}{2} = 0{,}5.

4.Combien d'affichages différents (combinaisons de 3 motifs, chacun croix ou rectangle) peut-on obtenir avec ce programme ?

Pour chacun des 3 motifs tracés, il y a 2 possibilités indépendantes (croix ou rectangle).
Le nombre total d'affichages différents est donc 2\times2\times2 = 8 : CCC, CCR, CRC, RCC, CRR, RCR, RRC, RRR (C = croix, R = rectangle).

5.En admettant que ces 8 affichages sont équiprobables, quelle est la probabilité que le joueur gagne (obtenir trois motifs identiques) ?

Parmi les 8 affichages possibles, deux comportent trois motifs identiques : CCC (trois croix) et RRR (trois rectangles).
La probabilité de gagner est donc \begin{aligned}\dfrac{2}{8} &= \dfrac{1}{4} \\ &= 0{,}25\end{aligned}

6.Pour qu'il y ait deux fois plus de chances d'obtenir un rectangle qu'une croix pour chaque motif, comment modifier l'instruction « nombre aléatoire entre … et … = … » ?

Pour que le rectangle ait deux fois plus de chances d'apparaître que la croix, il faut répartir les tirages en 3 cas équiprobables, dont 1 pour la croix et 2 pour le rectangle.
Il suffit de tirer un nombre aléatoire entre 1 et 3, et de tracer une croix lorsque ce nombre vaut 1 (et un rectangle sinon) : l'instruction devient nombre aléatoire entre 1 et 3 = 1.

1.Partie A. Un programme de calcul, appliqué à un nombre entier de départ, consiste à calculer le carré de ce nombre puis à lui ajouter le nombre de départ, pour obtenir un nombre à l'arrivée. Vérifier que si le nombre de départ est 15, le nombre obtenu à l'arrivée est 240.

En appliquant le programme à 15 : on calcule d'abord le carré, 15^2 = 225, puis on ajoute le nombre de départ, {225+15 = 240}.
Le nombre obtenu à l'arrivée est bien 240.

2.Un tableur donne, dans la colonne A, le nombre choisi au départ (à partir de la cellule A2) et, dans la colonne B, le nombre obtenu à l'arrivée. Quelle formule a pu être saisie dans la cellule B2 avant d'être étirée vers le bas (aucune justification attendue) ?

La formule saisie dans la cellule B2 est =A2^{2}+A2, qui calcule le carré du contenu de A2 puis y ajoute A2, conformément au programme de calcul.

3.On note x le nombre de départ. Écrire, en fonction de x, une expression du résultat obtenu.

En suivant le programme : on calcule d'abord x^2, puis on ajoute x.
Le résultat obtenu, en fonction de x, est donc x^2+x.

4.Partie B. On considère l'affirmation suivante : « pour obtenir le résultat du programme de calcul, il suffit de multiplier le nombre de départ par le nombre entier qui suit ». Vérifier que cette affirmation est vraie lorsque le nombre choisi au départ est 9.

Avec le programme de calcul, pour un départ de 9 : \begin{aligned}9^2+9 &= 81+9 \\ &= 90\end{aligned}
En multipliant 9 par le nombre entier qui suit, 10 : 9\times10 = 90. Les deux résultats coïncident : l'affirmation est vérifiée pour 9.

5.Démontrer que cette affirmation est vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.

D'après la question 3, le résultat du programme de calcul pour un départ x est x^2+x.
En factorisant par x : x^2+x = x(x+1), où x+1 est bien le nombre entier qui suit x.
Le résultat du programme de calcul est donc toujours égal au produit du nombre de départ par le nombre entier qui suit : l'affirmation est vraie pour tout nombre entier de départ.

6.Démontrer que le nombre obtenu à l'arrivée est un nombre pair, quel que soit le nombre entier choisi au départ.

D'après la question précédente, le résultat s'écrit x(x+1), produit de deux entiers consécutifs.
Si x est pair, alors le produit x(x+1) est pair, comme produit d'un nombre pair par un entier quelconque.
Si x est impair, alors x+1 est pair, et le produit x(x+1) est encore pair pour la même raison.
Dans tous les cas, le nombre obtenu à l'arrivée est pair, quel que soit l'entier choisi au départ.