Brevet : Amérique du Sud 2022

Affirmation 1. Une urne A contient 20 boules dont 8 bleues, une urne B contient 11 boules bleues et 14 boules vertes. A-t-on plus de chances de tirer une boule bleue au hasard dans l'urne B que dans l'urne A ?

Dans l'urne A, la probabilité de tirer une boule bleue est \begin{aligned}\dfrac{8}{20} &= \dfrac{4}{10} \\ &= 0{,}4\end{aligned}
Dans l'urne B, il y a 11+14=25 boules en tout, donc la probabilité de tirer une boule bleue est \begin{aligned}\dfrac{11}{25} &= \dfrac{44}{100} \\ &= 0{,}44\end{aligned}
Comme 0{,}44 > 0{,}4, l'affirmation est vraie : on a bien plus de chances de tirer une boule bleue dans l'urne B.

Affirmation 2. Pour la série statistique 14 ; 12 ; 3 ; 14 ; 7 ; 11 ; 7 ; 12 ; 14, la médiane est-elle égale à 11 ?

On range la série dans l'ordre croissant : 3 ; 7 ; 7 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 14 ; 14. Il y a 9 valeurs, donc la médiane est la 5e valeur de la série rangée.
La 5e valeur est 12, donc la médiane de cette série est 12 et non 11 : l'affirmation est fausse.

Affirmation 3. Un coureur a parcouru 36 km en 3 h 20 min. Sa vitesse moyenne est-elle de 11,25 km/h ?

On convertit la durée en heures : 3 h 20 min = 3 + \dfrac{20}{60} = 3 + \dfrac13 = \dfrac{10}{3} h.
La vitesse moyenne est \begin{aligned}\dfrac{36}{\frac{10}{3}} &= 36\times\dfrac{3}{10} \\ &= \dfrac{108}{10} \\ &= 10{,}8\end{aligned} km/h.
Comme 10{,}8 \neq 11{,}25, l'affirmation est fausse : la vitesse moyenne du coureur est de 10,8 km/h.

Affirmation 4. On donne f(x) = -4x-5 et la représentation graphique d'une fonction g passant par le point de coordonnées (-1~;~-1). L'image de -1 par f est-elle strictement inférieure à l'image de -1 par g ?

On calcule \begin{aligned}f(-1) &= -4\times(-1)-5 \\ &= 4-5 \\ &= -1\end{aligned}
Par lecture graphique, la courbe de g passe par le point d'abscisse -1 et d'ordonnée -1, donc g(-1) = -1.
On a donc \begin{aligned}f(-1) &= g(-1) \\ &= -1\end{aligned} Les deux images sont égales, l'une n'est pas strictement inférieure à l'autre. L'affirmation est fausse.

Affirmation 5. Pour tout nombre x, a-t-on (x+5)^2-4 = (x+1)(x+9) ?

On développe le membre de gauche : \begin{aligned}(x+5)^2-4 &= x^2+10x+25-4 \\ &= x^2+10x+21\end{aligned}
On développe le membre de droite : \begin{aligned}(x+1)(x+9) &= x^2+9x+x+9 \\ &= x^2+10x+9\end{aligned}
Comme 21 \neq 9, les deux expressions ne sont pas égales pour tout x (on peut aussi tester x=0 : 5^2-4=21 et {1\times9=9}). L'affirmation est fausse.

Affirmation 6. Un carré a un côté de longueur 6 mètres. Ses diagonales mesurent-elles \sqrt{72} mètres ?

Une diagonale d'un carré de côté 6 m partage celui-ci en deux triangles rectangles isocèles. Notons d la longueur de la diagonale : d'après le théorème de Pythagore, \begin{aligned}d^2 &= 6^2+6^2 \\ &= 36+36 \\ &= 72\end{aligned}
Donc \begin{aligned}d &= \sqrt{72} \\ &= \sqrt{36\times2} \\ &= \sqrt{36}\times\sqrt2 \\ &= 6\sqrt2\end{aligned} mètres.
L'affirmation est vraie : les diagonales de ce carré mesurent bien \sqrt{72} mètres (soit 6\sqrt2 m).

1.Un diagramme en barres donne la production photovoltaïque 2019 (en TWh) de cinq pays de l'Union européenne, du plus gros producteur (pays A) au plus petit (pays E). D'après le graphique, donner une valeur approchée de la production du pays E.

Avec la précision permise par le graphique, la barre du pays E atteint environ 9,5 TWh.

2.aLa production totale des 28 pays de l'Union européenne en 2019 est de 131,8 TWh. Montrer que les pays A et B totalisent à eux seuls environ 54 % de cette production.

D'après le graphique, le pays A a produit environ 47,5 TWh et le pays B environ 23,7 TWh.
À eux deux : 47{,}5+23{,}7 = 71{,}2 TWh.
En proportion de la production européenne totale : \dfrac{71{,}2}{131{,}8}\times100 \approx 54{,}0.
On retrouve bien environ 54 % de la production européenne pour les pays A et B réunis.

2.bLa production totale des 28 pays était de 122,3 TWh en 2018. Quel est le pourcentage d'augmentation de la production totale entre 2018 et 2019 (arrondi au dixième) ?

Le taux d'évolution est \dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\times100 = \dfrac{131{,}8-122{,}3}{122{,}3}\times100.
\dfrac{9{,}5}{122{,}3}\times100 \approx 7{,}77.
La production totale a donc augmenté d'environ 7,8 % entre 2018 et 2019.

3.aUn tableur donne, pour le pays D, la production électrique (en TWh) par type d'énergie de 2017 à 2019 : nucléaire (379,1 ; 393,2 ; 379,5), thermique (53,9 ; 39,4 ; 42,6), hydraulique (53,5 ; 68,3 ; 60), éolien (24,1 ; 27,8 ; 34,1), solaire (9,2 ; 10,2 ; 11,6), bioénergies (9,5 ; 9,7 ; 9,9). Citer les types d'énergie dont la production a augmenté chaque année entre 2017 et 2019.

Pour l'éolien : {24{,}1 < 27{,}8 < 34{,}1}, la production augmente chaque année.
Pour le solaire : {9{,}2 < 10{,}2 < 11{,}6}, la production augmente chaque année.
Pour les bioénergies : {9{,}5 < 9{,}7 < 9{,}9}, la production augmente chaque année.
Ce sont donc l'éolien, le solaire et les bioénergies dont la production a augmenté chaque année de 2017 à 2019 (le nucléaire, le thermique et l'hydraulique ont chacun connu une baisse au moins une année sur la période).

3.bLa ligne 9 du tableur donne le total annuel (colonnes B, C, D pour 2017, 2018, 2019), obtenu en sommant les productions des lignes 3 à 8 de chaque colonne. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B9 avant de l'étirer jusqu'à la cellule D9 ?

On a pu saisir en B9 la formule =SOMME(B3:B8), qui s'adapte automatiquement aux colonnes C et D lorsqu'on l'étire jusqu'en D9.

1.ADC est un triangle rectangle en D, avec l'angle \widehat{DCA} qui mesure 30^{\circ}. B est le point du segment [AC] tel que DB = CB. Calculer la mesure de l'angle \widehat{DBC}.

Comme DB = CB, le triangle DBC est isocèle en B, donc ses angles à la base ont la même mesure : \widehat{BDC} = \widehat{BCD}.
Or \widehat{BCD} est le même angle que \widehat{DCA}, qui mesure 30^{\circ}, donc {\widehat{BDC} = 30^{\circ}} également.
La somme des angles du triangle DBC vaut 180^{\circ}, donc \widehat{DBC} = 180-30-30 = 120^{\circ}.

2.On donne AC = 10 cm. Montrer par le calcul que le segment [AD] mesure 5 cm.

Dans le triangle ADC rectangle en D, l'angle \widehat{DCA} (ou \widehat{ACD}) mesure 30^{\circ} et lui est opposé le côté [AD], tandis que [AC] est l'hypoténuse : on utilise le sinus (formule SOH-CAH-TOA).
\begin{aligned}\sin(\widehat{ACD}) &= \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \\ &= \dfrac{AD}{AC}\end{aligned} soit \sin(30^{\circ}) = \dfrac{AD}{10}.
Comme \sin(30^{\circ}) = \dfrac12, on obtient {AD = 10\times\dfrac12 =} 5 cm.

3.Calculer la longueur DC au millimètre près.

Méthode avec le cosinus (formule SOH-CAH-TOA) : dans le triangle ADC rectangle en D, [DC] est le côté adjacent à l'angle de 30^{\circ} et [AC] est l'hypoténuse, donc \cos(\widehat{ACD}) = \dfrac{DC}{AC}, soit \cos(30^{\circ}) = \dfrac{DC}{10}.
Comme \cos(30^{\circ}) = \dfrac{\sqrt3}{2}, on obtient \begin{aligned}DC &= 10\times\dfrac{\sqrt3}{2} \\ &= 5\sqrt3 \\ &\approx 8{,}660\end{aligned} soit environ 8,7 cm.
Autre méthode, avec le théorème de Pythagore dans le triangle ADC rectangle en D : AC^2 = AD^2+DC^2, soit 10^2 = 5^2+DC^2, d'où \begin{aligned}DC^2 &= 100-25 \\ &= 75\end{aligned}
Donc DC = \sqrt{75} = \sqrt{25\times3} = \sqrt{25}\times\sqrt3 = 5\sqrt3 \approx 8,7 cm : on retrouve bien le même résultat.

4.Déterminer la nature du triangle ABD.

Les points A, B, C sont alignés (B appartient à [AC]), donc les angles \widehat{DBC} et \widehat{DBA} sont supplémentaires : \widehat{DBA} = 180-\widehat{DBC} = 180-120 = 60^{\circ}.
Par ailleurs, dans le triangle ADC rectangle en D, les angles \widehat{ADB} et \widehat{BDC} sont complémentaires à l'angle droit \widehat{ADC} : \widehat{ADB} = 90-\widehat{BDC} = 90-30 = 60^{\circ}.
Le triangle ABD a donc deux angles de 60^{\circ} (\widehat{DBA} et \widehat{ADB}), donc son troisième angle \widehat{DAB} mesure aussi {180-60-60=60^{\circ}}.
Le triangle ABD, qui a ses trois angles égaux à 60^{\circ}, est donc un triangle équilatéral.

1.On veut dessiner un logo en forme de rosace de 5 drapeaux identiques disposés régulièrement autour d'un même point de départ, à l'aide du logiciel Scratch. Comment appelle-t-on, en mathématiques, la transformation géométrique qui permet de passer d'un drapeau du logo au suivant ?

Chaque drapeau est obtenu à partir du précédent en tournant autour du même point de départ, sans changer sa taille ni le retourner : la transformation géométrique utilisée est la rotation.

2.Le stylo est orienté horizontalement vers la droite au départ. Un bloc « Motif » doit tracer la hampe du drapeau (segment horizontal) puis le triangle du drapeau, en revenant au point de départ. Parmi des propositions tournant tantôt à droite tantôt à gauche de 140^{\circ} et 40^{\circ}, laquelle permet d'obtenir le motif souhaité ?

Pour dessiner un drapeau qui part vers la droite puis dont le triangle revient vers le point de départ, il faut tourner vers la droite aux deux étapes (le motif ne doit pas partir vers la gauche, donc les rotations « tourner à gauche » sont à écarter).
Il faut ensuite avancer une première fois (la hampe), tourner d'un grand angle (140^{\circ}, pour orienter la pointe du triangle vers l'arrière), avancer une seconde fois, puis tourner d'un petit angle (40^{\circ}) pour refermer le triangle et revenir à l'orientation de départ.
C'est la proposition qui enchaîne : avancer, tourner à droite de 140^{\circ}, avancer, tourner à droite de 40^{\circ}, qui permet d'obtenir le motif souhaité.

3.Compléter la boucle « répéter » du script principal (instructions 4 à 7) pour obtenir la rosace de 5 drapeaux identiques autour du point de départ.

Remarque : pourquoi tourne-t-on de 72^{\circ} à chaque répétition ?

Les 5 drapeaux sont répartis également autour du point de départ, sur un tour complet de 360^{\circ} : à chaque répétition, on tourne donc de \dfrac{360}{5} = 72 degrés.

4.On veut ajouter l'instruction « ajouter 10 à la couleur du stylo » de façon à changer de couleur à chaque drapeau. Après quelle instruction du script principal peut-on la placer ?

On peut placer cette instruction juste après l'instruction 7 (« tourner à droite de 72 degrés »), c'est-à-dire juste avant que la boucle ne recommence à tracer le drapeau suivant.

1.aOn construit un carré potager sans fond, en forme de pavé droit à base carrée de côté 1,20 m et de hauteur 30 cm, avec des planches en bois de 2,50 m de longueur (chaque côté nécessitant une planche coupée à 1,20 m). Combien de planches devra-t-on acheter ?

Chaque côté du carré potager mesure 1,20 m. Une planche achetée mesure 2,50 m, ce qui permettrait en théorie de couper deux côtés dans une même planche si \begin{aligned}2\times1{,}20 &= 2{,}40 \\ &\leqslant 2{,}50\end{aligned} C'est bien le cas (2{,}40 < 2{,}50).
Mais chaque planche ne peut servir qu'à un seul côté du montage (une planche entière forme un pan du carré potager) : il faut donc 1 planche par côté, soit 4\times1 = 4 planches de 2,50 m à acheter.

1.bLe montage nécessite 4 équerres (une par angle), chacune fixée avec 8 vis, vendues par lot de 100. Sachant qu'une équerre coûte 2,90 €, une planche 5,60 € et un lot de 100 vis 5,70 €, déterminer le budget nécessaire (hors coût de la terre) pour réaliser ce carré potager.

Coût des équerres : 4\times2{,}90 = 11{,}60 €.
Coût des planches : 4\times5{,}60 = 22{,}40 €.
Nombre de vis nécessaires : 4\times8 = 32 vis, ce qui nécessite un seul lot de 100 vis, soit 5,70 €.
Budget total (hors terre) : {11{,}60+22{,}40+5{,}70 =} 39,70 €.

2.On remplit le carré potager de terre végétale au minimum jusqu'aux deux tiers de sa hauteur (30 cm). La terre forme un pavé droit à base carrée de côté 118 cm. Sept sacs de terre végétale de 40 L seront-ils suffisants pour compléter au minimum le carré potager (1 L = 1 dm^{3}) ?

La hauteur minimale de terre est les deux tiers de 30 cm, soit \dfrac23\times30 = 20 cm.
On convertit les dimensions en décimètres pour obtenir un volume en dm^{3} (donc en litres) : le côté de la base, 118 cm, devient 11,8 dm, et la hauteur, 20 cm, devient 2 dm.
Volume minimal de terre nécessaire : 11{,}8\times11{,}8\times2 = 278,48 dm^{3}, soit 278,48 L.
Or 7 sacs de 40 L représentent 7\times40 = 280 L, et 280 > 278{,}48.
Les 7 sacs de terre végétale seront donc suffisants pour compléter au minimum le carré potager.