Brevet : Asie 2022

1.Situation 1 : un programme de calcul propose de choisir un nombre, de lui soustraire 7, de multiplier le résultat par 5, puis de soustraire le double du nombre de départ. Appliquer ce programme au nombre de départ 10.

En suivant les étapes du programme avec le nombre 10 : {(10-7)\times5-2\times10}.
= 3\times5-20 = 15-20 = -5.

2.Trois expressions littérales A, B et C sont proposées pour représenter ce programme en fonction du nombre de départ x ; une seule est correcte : A = 5x-7-2x, {B = 5x-35-2x} et {C = 5(x-7)-2x}. Laquelle correspond au programme ?

Le programme se traduit, pour un nombre de départ x, par « soustraire 7 » : x-7, puis « multiplier par 5 » : 5(x-7), puis « soustraire le double du nombre de départ » : 5(x-7)-2x.
C'est bien l'expression C, {C = 5(x-7)-2x}, qui correspond au programme.

3.Situation 2 : sur un repère, la représentation graphique d'une fonction f est une droite passant par l'origine et par le point A de coordonnées (3~;~6). Déterminer graphiquement l'image de -2 par f, c'est-à-dire f(-2).

La droite passe par l'origine (0~;~0) et par A(3~;~6) : elle représente une fonction linéaire.
En lisant l'ordonnée du point de la droite d'abscisse -2, on obtient f(-2) = -4.

4.Justifier que f est une fonction linéaire et donner son expression.

La représentation graphique de f est une droite passant par l'origine du repère : f est donc une fonction linéaire, de la forme f(x) = ax avec a un nombre réel.
La droite passe par le point A(3~;~6), donc f(3) = 6, soit 3\times a = 6, d'où \begin{aligned}a &= \dfrac63 \\ &= 2\end{aligned}
Par conséquent, f(x) = 2x.

5.Situation 3 : une pyramide a pour base un rectangle de 30 cm sur 40 cm et une hauteur de 55 cm. Le fabricant annonce qu'elle peut contenir plus de 20 litres de sable. Vérifier cette affirmation, sachant que 1 L = 1 dm^{3}.

Le volume d'une pyramide est {V = \dfrac{A_{\text{base}}\times h}{3}}, avec ici A_{\text{base}} = 30\times40 cm^{2} et h = 55 cm.
V = \dfrac{30\times40\times55}{3} = 10\times40\times55 = \textbf{22\,000} cm^3.
Comme 1 L = 1 dm^3 = 1\,000 cm^3, ce volume correspond à \dfrac{22\,000}{1\,000} = 22 L.
Puisque 22 > 20, le volume de cette pyramide dépasse bien 20 litres : l'affirmation du fabricant est vraie.

1.Sur une figure, deux droites (AB) et (CD) sont parallèles, et les droites (AD) et (BC) sont sécantes en un point E, avec E situé entre A et D d'une part, entre B et C d'autre part. On donne AB = 9 cm, DC = 6 cm, EB = 7,2 cm et ED = 3,6 cm. Calculer la longueur EC.

Les droites (AD) et (BC) sont sécantes en E, avec E situé entre A et D d'une part, entre B et C d'autre part.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{\text{EA}}{\text{ED}} &= \dfrac{\text{EB}}{\text{EC}} \\ &= \dfrac{\text{AB}}{\text{DC}}\end{aligned}
d'où \dfrac{\text{EB}}{\text{EC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{DC}}, soit \dfrac{7,2}{\text{EC}} = \dfrac{9}{6}.
donc \text{EC} = \dfrac{6\times7,2}{9} = 6\times0,8 = 4,8 cm.

2.Montrer que le triangle EDC est rectangle en E.

D'une part, \text{DC}^2 = 6^2 = 36.
D'autre part, \text{ED}^2+\text{EC}^2 = 3,6^2+4,8^2 = 12,96+23,04 = 36.
On constate que \text{DC}^2 = \text{ED}^2+\text{EC}^2 : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EDC est rectangle en E.

3.Le triangle ABE est-il l'image du triangle EDC par une transformation particulière ? Préciser laquelle.

Les points A, E, D sont alignés et les points B, E, C sont alignés, avec E situé entre A et D, et entre B et C : le triangle ABE est donc l'image du triangle EDC par une homothétie de centre E.
Le rapport de cette homothétie est -\dfrac{\text{EB}}{\text{EC}} = -\dfrac{7,2}{4,8} = -1,5 (le signe négatif traduisant le fait que E se trouve entre les deux triangles).

4.Un élève affirme : « L'aire du triangle ABE est 1,5 fois plus grande que l'aire du triangle EDC. » Cette affirmation est-elle vraie ?

Dans une homothétie de rapport k, les longueurs sont multipliées par |k| mais les aires sont multipliées par k^2.
Ici |k| = 1,5, donc l'aire du triangle ABE est 1,5^2 = 2,25 fois plus grande que l'aire du triangle EDC, et non 1,5 fois.
L'affirmation est fausse : il fallait élever le coefficient d'agrandissement au carré pour obtenir le rapport des aires.

1.Un tableur récapitule, pour plusieurs pays, le nombre de médailles d'or, d'argent et de bronze obtenues lors d'une compétition sportive, ainsi que le total des médailles. Pour l'Australie, on lit un total de 69 médailles dont 14 en or et 26 en bronze. Combien de médailles d'argent l'Australie a-t-elle obtenues ?

Le nombre de médailles d'argent s'obtient en retranchant au total les médailles d'or et de bronze : {69-14-26 = 55-26 =} 29 médailles d'argent.

2.Pour l'Italie, le tableau indique un total de 69 médailles également, dont 14 en or et 29 en argent. Combien de médailles de bronze l'Italie a-t-elle obtenues ?

De même, 69-29-14 = 40-14 = 26 médailles de bronze.

3.Dans ce tableur, la colonne A contient les noms des pays, les colonnes C, D et E contiennent respectivement les nombres de médailles d'or, d'argent et de bronze, et la colonne F doit afficher le total des médailles. Quelle formule saisir en cellule F2 pour calculer automatiquement ce total ?

La formule à saisir en F2 est = somme(C2:E2), qui additionne automatiquement les médailles d'or, d'argent et de bronze de la ligne 2.

4.Deux affirmations portent sur une série statistique de 15 valeurs (des temps ou des scores, rangés en ordre croissant : 1 ; 11 ; 12 ; 15 ; 15 ; 15 ; 17 ; 20 ; 20 ; 20 ; 21 ; 25 ; 27 ; 28 ; 29). Affirmation 1 : « La proportion de valeurs égales à 15 est d'environ 20 %, à l'unité près. » Affirmation 2 : « La médiane de cette série est 21. » Ces deux affirmations sont-elles vraies ?

Affirmation 1 : la valeur 15 apparaît 3 fois sur les 15 valeurs de la série, ce qui représente une proportion de {\dfrac{3}{15}\times100 = 20\,\%} exactement, donc bien environ 20 % à l'unité près. L'affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2 : la série comporte 15 valeurs rangées dans l'ordre croissant, donc la médiane est la 8e valeur, ici égale à 20 (et non 21). L'affirmation 2 est fausse.

5.Une prime versée aux athlètes médaillés était de 50 000 € en 2016 ; elle est passée à 65 000 € en 2021. Déterminer le pourcentage d'augmentation de cette prime entre 2016 et 2021.

Le coefficient multiplicateur entre les deux primes est \dfrac{65\,000}{50\,000} = 1,30.
Un coefficient multiplicateur de 1,30 correspond à une augmentation de 30 %.
La prime a augmenté de 30 % entre 2016 et 2021.

1.a.Un site propose deux façons de commander des tirages photo. Offre 1 : chaque photo coûte 0,17 €, sans frais fixe. Calculer le prix de 35 photos avec l'offre 1.

Avec l'offre 1, le prix de n photos est 0,17\times n euros.
Pour 35 photos : 35\times0,17 = 5,95 €.

1.b.Offre 2 : un forfait fixe de 17 € permet d'obtenir un tarif de 0,13 € par photo. Calculer le prix de 50 photos avec l'offre 2.

Avec l'offre 2, le prix de n photos est 17+0,13\times n euros.
Pour 50 photos : {17+50\times0,13 = 17+6,5 =} 23,50 €.

1.c.Avec un budget de 10 €, combien de photos peut-on commander au maximum avec l'offre 1 ?

Il s'agit de déterminer combien de fois 0,17 € est contenu dans 10 €, par une division euclidienne : {10 = 0,17\times58+0,14}.
Avec un budget de 10 €, on peut donc commander au maximum 58 photos (58 photos coûtent 9,86 €, et 59 photos dépasseraient les 10 €).

2.Un programme calcule le prix à payer pour un nombre de photos saisi par l'utilisateur, en appliquant l'offre la plus avantageuse. Voici un extrait à compléter : ligne 4, la variable « nombre_photos » est initialisée à 101 ; ligne 5, la variable « prix_unitaire » est initialisée à 0,17 ; ligne 8, la variable « forfait » est initialisée à 17. Compléter ces trois lignes.

3.a.Pendant une période de soldes, l'offre 2 bénéficie d'une réduction de 30 %. Calculer le nouveau prix de 150 photos (dont le prix plein, avec l'offre 2, était de 23,50 € comme trouvé plus haut avec les mêmes paramètres).

Retrancher 30 % revient à multiplier par 1-0,3 = 0,7.
Le nouveau prix est 23,50\times0,7 = 16,45 € pendant la période de soldes.

3.b.Parmi plusieurs propositions de calcul (multiplier par 0,3 ; multiplier par 0,7 ; multiplier par 1-\dfrac{30}{100} ; soustraire 30 % du prix initial), lesquelles permettent de calculer correctement un prix après une réduction de 30 % ?

Retrancher 30 % d'un prix P, c'est calculer {P-0,3\,P = P\times(1-0,3) = P\times0,7}.
Les calculs « multiplier par 0,7 » et « multiplier par 1-\dfrac{30}{100} » donnent donc bien le prix soldé, de même que « soustraire 30 % du prix initial » qui décrit la même opération.
Multiplier par 0,3 ne donne pas le bon résultat (cela ne donnerait que le montant de la réduction, pas le prix restant).

1.Sur un planisphère gradué en longitude et latitude, on lit les coordonnées géographiques approximatives de deux villes : Miami et Canberra. Donner ces coordonnées.

En lisant les graduations du planisphère : Miami se situe à environ 80^{\circ} de longitude Ouest et 25^{\circ} de latitude Nord, et Canberra se situe à environ 150^{\circ} de longitude Est et 35^{\circ} de latitude Sud.

2.La Station spatiale internationale (ISS) orbite à une altitude d'environ 380 km au-dessus de la surface terrestre. En prenant pour rayon de la Terre 6 371 km, calculer la longueur de l'orbite parcourue par l'ISS, arrondie à la centaine de km près.

Le rayon de l'orbite de l'ISS est {6\,371+380 = 6\,751} km.
La longueur de cette orbite (un cercle) est p = 2\times\pi\times r = 2\times\pi\times6\,751 \approx 42 400 km, arrondie à la centaine de km près.

3.a.Sachant que l'ISS parcourt 27 600 km en 60 minutes, utiliser un tableau de proportionnalité pour déterminer la durée nécessaire à l'ISS pour parcourir la totalité de son orbite d'environ 42 400 km.

On établit un tableau de proportionnalité entre la distance parcourue (en km) et la durée (en minutes) :
27\,600 km correspond à 60 min, et 42\,400 km correspond à une durée x inconnue.
Par produit en croix, {x\times27\,600 = 60\times42\,400}, d'où {x = \dfrac{60\times42\,400}{27\,600} \approx 92,17} minutes.
Cela représente 92 minutes et {0,17\times60\approx10} secondes, soit environ 1 h 32 min pour effectuer un tour complet de la Terre.

3.b.Lors d'une sortie extravéhiculaire restée attachée à l'ISS, un astronaute est sorti de 14 h 30 à 21 h 45. Sachant qu'un tour complet de l'ISS autour de la Terre dure environ 92 minutes, combien de tours complets l'ISS a-t-elle effectués pendant cette sortie ?

La durée de la sortie est {21\text{ h }45-14\text{ h }30 = 7\text{ h }15\text{ min}}, soit \begin{aligned}7\times60+15 &= 420+15 \\ &= 435\end{aligned} minutes.
On effectue la division euclidienne de 435 par 92 : 435 = 92\times4+67.
L'ISS a donc effectué 4 tours complets de la Terre pendant cette sortie extravéhiculaire (le reste de 67 minutes correspondant à un tour supplémentaire non terminé).