Brevet : Métropole 2022 (série professionnelle)

1.Dans le triangle HMS, rectangle en H, on donne MH = 5 cm et MS = 13 cm. Calculer HS.

D'après le théorème de Pythagore, dans le triangle HMS rectangle en H, l'hypoténuse est [MS] : {\mathrm{MS}^2 = \mathrm{MH}^2 + \mathrm{HS}^2}. En remplaçant : 13^2 = 5^2 + \mathrm{HS}^2, donc \begin{aligned}\mathrm{HS}^2 &= 169 - 25 \\ &= 144\end{aligned} Une longueur étant positive : {\mathrm{HS} = \sqrt{144} =} 12 cm.

2.Les droites (HS) et (MT) sont parallèles, et les droites (AS) et (HT) se coupent en M, avec MT = 7 cm. Calculer AT.

Les droites (HS) et (MT) sont perpendiculaires à la même droite (HT), donc elles sont parallèles entre elles.
Les points M, H, A sont alignés et les points M, S, T sont alignés dans le même ordre.
Les droites (HS) et (MT) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{\mathrm{MH}}{\mathrm{MT}} &= \dfrac{\mathrm{MS}}{\mathrm{MA}} \\ &= \dfrac{\mathrm{HS}}{\mathrm{AT}}\end{aligned}
d'où \dfrac{\mathrm{MH}}{\mathrm{MT}} = \dfrac{\mathrm{HS}}{\mathrm{AT}}, soit \dfrac{5}{7} = \dfrac{12}{\mathrm{AT}}.
donc \mathrm{AT} = \dfrac{7\times12}{5} = \dfrac{84}{5} = 16,8 cm.

3.Calculer la mesure de l'angle HMS, arrondie au degré.

Dans le triangle HMS rectangle en H, les trois côtés sont connus : on peut utiliser indifféremment sinus, cosinus ou tangente. En choisissant le cosinus (côté adjacent HM sur hypoténuse MS) : \begin{aligned}\cos(\widehat{\mathrm{HMS}}) &= \dfrac{\mathrm{HM}}{\mathrm{MS}} \\ &= \dfrac{5}{13}\end{aligned} On en tire \widehat{\mathrm{HMS}} = \arccos\left(\dfrac{5}{13}\right) \approx 67^{\circ}, arrondi au degré près.

4.Quelle transformation géométrique permet de passer du triangle MHS au triangle MAT ?

Les triangles MHS et MAT sont semblables mais n'ont pas les mêmes dimensions : une symétrie, une rotation ou une translation conservent toutes les longueurs, ce qui exclurait un changement de taille : ces transformations ne conviennent donc pas ici. En revanche, une homothétie de centre M et de rapport -\dfrac{7}{5} transforme bien le triangle MHS en le triangle MAT (le rapport est négatif car H et A sont de part et d'autre de M).

5.Un élève affirme : « Comme les longueurs du triangle MAT sont 1,4 fois celles du triangle MHS, son aire est aussi 1,4 fois plus grande. » Cette affirmation est-elle vraie ?

L'affirmation est fausse. Le triangle MAT est un agrandissement du triangle MHS de rapport k = 1{,}4 : les longueurs sont bien multipliées par 1,4, mais les aires, elles, sont multipliées par \begin{aligned}k^2 &= 1{,}4^2 \\ &= 1{,}96\end{aligned} (le rapport des aires est le carré du rapport des longueurs, pas le rapport lui-même).

1.On lance un dé équilibré à 20 faces numérotées de 1 à 20. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 ?

Le dé étant équilibré, chacune des 20 faces a la même chance d'apparaître : on est en situation d'équiprobabilité. Les issues favorables sont 1, 2, 3, 4 et 5, soit 5 issues sur 20. La probabilité recherchée est \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4} : la bonne réponse est \dfrac{1}{4}.

2.Un sirop se dilue à raison d'un volume de sirop pour sept volumes d'eau, ce qui donne une boisson de 8 volumes en tout. Pour préparer 560 mL de boisson, quel volume d'eau faut-il utiliser ?

La boisson totale représente 8 volumes identiques pour 560 mL : un volume vaut donc 560 \div 8 = 70 mL. L'eau représente 7 de ces volumes, soit {7 \times 70 =} 490 mL.

3.Une fonction linéaire f vérifie {f\left(\dfrac{4}{5}\right) = 1}. Quel est le coefficient de f ?

Une fonction linéaire de coefficient a s'écrit f(x) = ax. La condition {f\left(\dfrac{4}{5}\right) = 1} donne a \times \dfrac{4}{5} = 1, donc a = 1 \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{4}.

4.Parmi plusieurs écritures, laquelle correspond à la décomposition de 195 en produit de facteurs premiers ?

On vérifie que 3 \times 5 \times 13 = 195, et que 3, 5 et 13 sont bien trois nombres premiers : 195 = 3 \times 5 \times 13 est bien la décomposition recherchée. (Les autres écritures proposées font intervenir des facteurs non premiers, comme 39 ou 65, ou ne sont pas des produits.)

5.Un prisme droit a une base triangulaire d'aire 7,5 cm^{2} et une hauteur de 8 cm. Quel est son volume ?

Le volume d'un prisme droit est égal à l'aire de sa base multipliée par sa hauteur : \mathcal{V} = 7{,}5 \times 8 = 60 cm^{3}.

1.Un communiqué indique que 81 % des 1,6 million d'adolescents interrogés ne suivent pas les recommandations d'activité physique. Combien d'adolescents cela représente-t-il ?

Il faut calculer 81 % de 1,6 million : 0{,}81 \times 1{,}6 \times 10^6 = 1\,296\,000, soit environ 1,296 million d'adolescents.

2.aSur un calendrier de 14 jours, la durée quotidienne d'activité varie entre 0 min (jour le plus faible) et 1 h 40 min (jour le plus élevé). Déterminer l'étendue de cette série.

L'étendue d'une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur : ici, entre 1 h 40 min et 0 min, ce qui donne directement une étendue de 1 h 40 min.

2.bDéterminer la médiane des 14 durées quotidiennes relevées.

Il faut d'abord ranger les 14 durées dans l'ordre croissant : 0 min ; 15 min ; 15 min ; 30 min ; 30 min ; 40 min ; 50 min ; 1 h ; 1 h ; 1 h ; 1 h ; 1 h 30 min ; 1 h 30 min ; 1 h 40 min. Avec 14 valeurs (nombre pair), la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, ici la 7e valeur (50 min) et la 8e valeur (1 h, soit 60 min) : \dfrac{50+60}{2} = 55, soit une médiane de 55 min.

3.aCalculer la durée moyenne quotidienne d'activité physique de cet adolescent sur les 14 jours.

En convertissant toutes les durées en minutes, on peut dresser le tableau des effectifs suivant : 0 min (1 jour), 15 min (2 jours), 30 min (2 jours), 40 min (1 jour), 50 min (1 jour), 60 min (4 jours), 90 min (2 jours), 100 min (1 jour), soit bien 1+2+2+1+1+4+2+1 = 14 jours au total. La moyenne vaut \begin{aligned}\dfrac{0\times1 + 15\times2 + 30\times2 + 40\times1 + 50\times1 + 60\times4 + 90\times2 + 100\times1}{14} &= \dfrac{700}{14} \\ &= 50\end{aligned} La durée moyenne est donc de 50 minutes par jour : l'objectif d'une heure quotidienne n'est pas atteint sur cette période.

3.bSachant que l'objectif est une moyenne d'une heure par jour sur 21 jours, combien de minutes par jour, en moyenne, doit encore effectuer l'adolescent pendant les 7 jours restants ?

Sur 21 jours, atteindre une moyenne de 60 min par jour suppose un total de 21 \times 60 = 1\,260 minutes. Les 14 premiers jours ont déjà fourni 700 minutes (question précédente), il reste donc 1\,260 - 700 = 560 minutes à répartir sur les 7 jours suivants, soit 560 \div 7 = 80 minutes par jour, en moyenne.

1.Un lutin, orienté vers la droite, trace un rectangle en avançant de 60 pas puis de 80 pas (chaque pas valant 0,05 cm). Donner les dimensions réelles de ce rectangle.

60 pas de largeur correspondent à {60 \times 0{,}05 = 3} cm, et 80 pas de hauteur correspondent à 80 \times 0{,}05 = 4 cm. Le rectangle tracé mesure donc 3 cm sur 4 cm.

2.Après avoir tracé un motif (rectangle de largeur 60 pas ou croix), le lutin avance de 100 pas avant de recommencer, en revenant à son orientation de départ. Quelle est la distance, en pas, entre deux motifs consécutifs ?

Le lutin revient à son point de départ (coin inférieur gauche du motif, orientation d'origine) après avoir tracé un motif de largeur 60 pas, puis avance de 100 pas avant de tracer le suivant. La distance entre deux motifs est donc 100 - 60 = 40 pas.

3.Le script tire un nombre aléatoire entre 1 et 2 pour décider si le premier motif est une croix (tirage = 2) ou un rectangle (tirage = 1). Quelle est la probabilité que le premier motif soit une croix ?

Le tirage d'un nombre aléatoire entre 1 et 2 donne deux issues équiprobables. La probabilité que ce nombre vaille 2 (motif croix) est donc \dfrac{1}{2} = 0,5.

4.Le programme trace ainsi trois motifs de suite, chacun étant un rectangle ou une croix. Combien de figures différentes (combinaisons ordonnées des trois motifs) sont-elles possibles ?

Pour chacun des 3 motifs, il y a 2 choix possibles (rectangle ou croix), donc le nombre total de combinaisons ordonnées est 2 \times 2 \times 2 = 8 possibilités.

5.Le joueur gagne si les trois motifs sont identiques (trois rectangles ou trois croix). En supposant les 8 combinaisons équiprobables, quelle est la probabilité de gagner ?

Sur les 8 combinaisons possibles, seules deux sont gagnantes : trois rectangles, ou trois croix. La probabilité de gagner est donc \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 0,25.

6.Comment modifier le script pour que la probabilité de tracer un rectangle devienne le double de celle de tracer une croix ?

PartieA ; 1. Un programme de calcul consiste à élever le nombre choisi au carré, puis à lui ajouter le nombre de départ. Appliquer ce programme au nombre de départ 15.

PartieA ; 2. Dans un tableur, la colonne A contient les nombres de départ et la colonne B doit afficher le résultat du programme. Donner la formule à saisir en cellule B2 pour un nombre de départ situé en A2.

Il faut reproduire dans la formule les deux étapes du programme (mettre au carré, puis ajouter le nombre de départ) appliquées à la cellule A2 : on saisit =A2^{2}+A2.

PartieA ; 3. En notant x le nombre choisi au départ, donner l'expression, en fonction de x, du résultat obtenu par ce programme.

PartieB ; 4. On avance l'affirmation suivante : « Pour obtenir le résultat du programme, il suffit de multiplier le nombre de départ par le nombre entier qui le suit directement. » Vérifier cette affirmation pour un nombre de départ égal à 9.

Avec un nombre de départ égal à 9, le programme donne un résultat de 90 (on retrouve cette valeur en poursuivant le tableau de la partie A). Or le nombre entier qui suit 9 est 10, et 9 \times 10 = 90. L'affirmation est vérifiée pour le nombre 9.

PartieB ; 5. Démontrer que cette affirmation est vraie pour tout nombre entier de départ.

D'après la question A.3, si x désigne le nombre entier choisi au départ, le résultat du programme est x^2 + x. En factorisant par x : x^2 + x = x(x+1). Or x+1 est justement le nombre entier qui suit x : le résultat du programme est donc bien, dans tous les cas, le produit du nombre de départ par le nombre entier qui le suit, ce qui démontre l'affirmation pour tout entier x.

PartieB ; 6. Montrer que le résultat de ce programme est toujours un nombre pair, quel que soit le nombre entier choisi au départ.