Brevet : Métropole 2022

1.Sur une roue de fête foraine partagée en 8 secteurs identiques (porte-clé, ballon ou peluche selon le secteur), une affirmation annonce que la probabilité de gagner une peluche vaut \dfrac12. Cette affirmation est-elle vraie ?

La roue comporte 8 secteurs de même mesure, donc chaque secteur a la même probabilité d'être obtenu.
Parmi ces 8 secteurs, 4 correspondent au lot « peluche ».
La probabilité de gagner une peluche est donc \dfrac{4}{8}=\dfrac12 : l'affirmation est vraie.

2.Un triangle ABC a pour longueurs de côtés AB = 4,5 cm, AC = 6 cm et BC = 7,5 cm. Une affirmation annonce que ce triangle est rectangle. Est-ce vrai ?

Le côté le plus long est [BC], on compare donc BC^{2} à AB^{2}+AC^{2}.
\begin{aligned}BC^{2} &= 7{,}5^{2} \\ &= 56{,}25\end{aligned} et \begin{aligned}AB^{2}+AC^{2} &= 4{,}5^{2}+6^{2} \\ &= 20{,}25+36 \\ &= 56{,}25\end{aligned}
Les deux quantités sont égales, donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est bien rectangle en A.

3.Pour l'anniversaire de Chloé, elle-même et ses deux invités Hakim et Manon indiquent la part de gâteau qu'ils souhaitent manger : Hakim \dfrac37, Manon \dfrac25 et Chloé \dfrac17. Une affirmation annonce qu'à eux trois, ils mangent la totalité du gâteau. Est-ce vrai ?

On additionne les trois fractions en les mettant au même dénominateur 35 : \dfrac{3}{7}=\dfrac{15}{35}, \dfrac{2}{5}=\dfrac{14}{35} et \dfrac{1}{7}=\dfrac{5}{35}.
La somme vaut \dfrac{15}{35}+\dfrac{14}{35}+\dfrac{5}{35}=\dfrac{34}{35}.
Comme \dfrac{34}{35}\neq 1, l'affirmation est fausse : à eux trois, ils ne mangent pas la totalité du gâteau (il en reste \dfrac{1}{35}).

4.Une affirmation annonce que (2x+3)(5x-4)-5(3x-2) = 10x^{2}-8x-2. Est-ce vrai ?

On développe d'abord le produit (2x+3)(5x-4) par double distributivité : 2x\times5x-2x\times4+3\times5x-3\times4 = 10x^{2}-8x+15x-12.
On développe ensuite {5(3x-2)=15x-10}.
L'expression devient 10x^{2}-8x+15x-12-(15x-10) = 10x^{2}-8x+15x-12-15x+10.
En réduisant, les termes en x se simplifient : 10x^{2}+(-8+15-15)x+(-12+10) = 10x^{2}-8x-2.
On retrouve exactement l'expression annoncée : l'affirmation est vraie.

5.Dans un triangle DEF, l'angle \widehat{DFE} mesure 30^{\circ} et l'angle \widehat{DEF} est le quadruple de l'angle \widehat{FDE}. Une affirmation annonce que ce triangle est isocèle. Est-ce vrai ?

La somme des angles d'un triangle vaut 180^{\circ}, donc \widehat{DFE}+\widehat{DEF}+\widehat{FDE}=180^{\circ}.
Comme \widehat{DFE}=30^{\circ}, on obtient {\widehat{DEF}+\widehat{FDE}=150^{\circ}}.
On sait aussi que \widehat{DEF}=4\times\widehat{FDE}, donc en remplaçant : {4\times\widehat{FDE}+\widehat{FDE}=150^{\circ}}, soit 5\times\widehat{FDE}=150^{\circ}.
On en déduit \widehat{FDE}=30^{\circ}, puis \begin{aligned}\widehat{DEF} &= 4\times30^{\circ} \\ &= 120^{\circ}\end{aligned}
Le triangle DEF possède deux angles de même mesure (\begin{aligned}\widehat{DFE} &= \widehat{FDE} \\ &= 30^{\circ}\end{aligned}) : l'affirmation est vraie, ce triangle est bien isocèle en E.

1.Un tableur recense les surfaces, en m^{2}, de dix tapisseries de Jean Lurçat exposées à Angers : 39,2 ; 12,8 ; 32,4 ; 10,2 ; 57,5 ; 27,2 ; 30,9 ; 45,9 ; 45,4 ; 45,4. Quelle tapisserie a la plus grande surface ?

La plus grande valeur de la série est 57{,}5 m^{2}, qui correspond à la tapisserie « L'Homme en gloire dans la paix ».

2.Vérifier que la surface médiane de ces dix tapisseries est égale à 35,8 m^{2}.

On range les dix surfaces dans l'ordre croissant : 10{,}2~;~12{,}8~;~27{,}2~;~30{,}9~;~32{,}4~;~39{,}2~;~45{,}4~;~45{,}4~;~45{,}9~;~57{,}5.
Comme il y a un nombre pair de valeurs (10), la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, ici la 5e et la 6e : 32{,}4 et 39{,}2.
La médiane vaut donc \begin{aligned}\dfrac{32{,}4+39{,}2}{2} &= \dfrac{71{,}6}{2} \\ &= 35{,}8\end{aligned} ce qui confirme bien la valeur annoncée.

3.Dans la feuille de calcul, les surfaces sont saisies dans les cellules B2 à B11 et la cellule B12 doit donner la surface totale. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B12 ?

On peut saisir la formule =SOMME(B2:B11), qui additionne automatiquement le contenu des dix cellules concernées.

4.Calculer la surface moyenne de ces tapisseries.

La moyenne s'obtient en divisant la somme des dix surfaces par leur nombre.
La somme des dix valeurs est 39{,}2+12{,}8+32{,}4+10{,}2+57{,}5+27{,}2+30{,}9+45{,}9+45{,}4+45{,}4 = 346{,}9.
La surface moyenne est donc \dfrac{346{,}9}{10}= 34,69 m^{2}.

5.Sara affirme que 40 % de ces tapisseries ont une surface supérieure à 45 m^{2}. A-t-elle raison ?

On repère les tapisseries dont la surface dépasse 45 m^{2} : 57{,}5, 45{,}9, 45{,}4 et 45{,}4, soit 4 tapisseries sur les 10.
Cela représente une proportion de \begin{aligned}\dfrac{4}{10} &= \dfrac{40}{100} \\ &= 40~\%\end{aligned}
Sara a raison : 40 % des tapisseries ont bien une surface supérieure à 45 m^{2}.

1.Un club de sport propose une carte d'adhésion annuelle à 32 € donnant droit à un tarif de 4,50 € par séance. Déterminer le coût total pour dix séances dans l'année.

Le coût pour dix séances est la carte d'adhésion plus le prix des séances : 4{,}50\times10+32 = 45+32 = 77 €.

2.Noé dispose d'un budget annuel de 95 € pour cette salle de sport. Combien de séances pourrait-il effectuer ?

On cherche le nombre n de séances tel que le coût total ne dépasse pas 95 €, soit 4{,}50n+32=95.
En isolant n : \begin{aligned}4{,}50n &= 95-32 \\ &= 63\end{aligned} donc \begin{aligned}n &= \dfrac{63}{4{,}50} \\ &= 14\end{aligned}
Avec un budget de 95 €, Noé pourrait donc effectuer 14 séances.

3.aOn note p(x) le prix à payer dans l'année pour x séances pratiquées. Donner l'expression de p(x).

Le prix payé est la carte d'adhésion (32 €, un coût fixe) plus 4,50 € par séance, donc p(x)=4{,}5x+32.

3.bVérifier que p(27) = 153,5.

p(27) = 4{,}5\times27+32 = 121{,}5+32 = 153,5, ce qui confirme la valeur annoncée.

3.cInterpréter par une phrase l'égalité p(27) = 153,5.

Cette égalité signifie que pour un adhérent pratiquant 27 séances dans l'année, le prix total à payer s'élève à 153,50 €.

4.Un script Scratch doit calculer le prix à payer : il demande le nombre de séances et le stocke dans la variable « nombre de séances », puis deux lignes doivent mettre à jour la variable « résultat » pour aboutir au prix final, avant de l'afficher. Compléter ces deux lignes.

1.Un graphique donne, pour le contre-la-montre de 27,2 km de l'étape 5 du Tour de France 2021, la durée en fonction de la distance parcourue par le coureur Tadej Pogačar. D'après ce graphique, quelle distance a-t-il parcourue en 20 minutes ?

D'après une lecture graphique, en 20 minutes, Tadej Pogačar a parcouru environ 17 km.

2.Toujours d'après ce graphique, en combien de temps environ Tadej Pogačar a-t-il parcouru les 27,2 km du contre-la-montre ?

D'après une lecture graphique, Tadej Pogačar a parcouru les 27,2 km du parcours en environ 32 minutes.

3.aLe temps mis par un autre coureur, Bryan Coquard, pour parcourir une distance x (en km) est donné par la fonction linéaire f(x)=1,4x. Représenter cette fonction sur le graphique.

Une fonction linéaire se représente par une droite passant par l'origine du repère : il suffit donc de placer un second point.
Pour x=20 : \begin{aligned}f(20) &= 1{,}4\times20 \\ &= 28\end{aligned} ce qui donne le point de coordonnées (20~;~28).
La représentation graphique de f est la droite passant par les points (0~;~0) et (20~;~28).

3.bLequel des deux coureurs, Pogačar ou Coquard, a été classé avant l'autre sur cette étape ?

Pogačar a mis environ 32 minutes pour parcourir les 27,2 km, d'après la lecture graphique de la question 2.
Coquard, lui, aurait mis \begin{aligned}f(27{,}2) &= 1{,}4\times27{,}2 \\ &= 38{,}08\end{aligned} minutes pour parcourir la même distance.
Comme 32<38{,}08, Pogačar a mis moins de temps : Pogačar a été classé avant Coquard.

4.La vitesse moyenne de Tadej Pogačar sur l'ensemble du parcours est-elle supérieure à 50 km/h ?

D'après la question 1, Pogačar parcourt environ 17 km en 20 minutes, soit un tiers d'heure.
Sa vitesse moyenne est donc environ 17\times3 = 51 km en une heure, soit 51 km/h.
Comme 51>50, l'affirmation est vraie : sa vitesse moyenne dépasse bien 50 km/h.

1.aLa tour de la Vade, à Carcassonne, est un monument cylindrique. Pour en mesurer la hauteur, Maël se positionne en un point M et vise le sommet A de la tour ainsi que le sommet F d'une canne tenue verticalement par Romane en un point G, de sorte que M, F et A soient alignés (de même que M, G et B, B étant le pied de la tour). Montrer que les droites (FG) et (AB) sont parallèles.

La canne [FG] tenue par Romane est verticale, tout comme la tour [AB] : les deux segments sont donc perpendiculaires au sol, c'est-à-dire à la droite (MB) qui représente le sol.
Deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles.
Donc les droites (FG) et (AB) sont parallèles.

1.bSachant que MG = 3 m, FG = 1,4 m et GB = 51 m, vérifier que la hauteur AB de la tour est de 25,2 m.

Les points M, F, A sont alignés et les points M, G, B sont alignés dans le même ordre.
Les droites (FG) et (AB) sont parallèles (question précédente).
On calcule d'abord \begin{aligned}MB &= MG+GB \\ &= 3+51 \\ &= 54\end{aligned} m.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{MF}{MA} &= \dfrac{MG}{MB} \\ &= \dfrac{GF}{BA}\end{aligned}
d'où \dfrac{MG}{MB} = \dfrac{GF}{BA}, soit \dfrac{3}{54}=\dfrac{1{,}4}{AB}.
donc AB=\dfrac{54\times1{,}4}{3}=\dfrac{75{,}6}{3}= 25,2 m, ce qui confirme la valeur annoncée.

2.La base circulaire de la tour a un diamètre proche de 14 m. Montrer que le volume de la tour est d'environ 3 880 m^{3}.

Le diamètre de la base valant 14 m, le rayon de la base est \begin{aligned}R &= \dfrac{14}{2} \\ &= 7\end{aligned} m.
Le volume d'un cylindre se calcule par V=\text{aire de la base}\times\text{hauteur}=\pi\times R^{2}\times AB.
En utilisant AB=25{,}2 m trouvé précédemment : \begin{aligned}V &= \pi\times7^{2}\times25{,}2 \\ &= \pi\times49\times25{,}2 \\ &\approx 3~879{,}2\end{aligned} m^{3}.
En arrondissant, on obtient bien un volume d'environ 3 880 m^{3}.

3.Romane a acheté une maquette de cette tour à l'échelle \dfrac{1}{20}. Quel est le volume de cette maquette ?

Dans une réduction à l'échelle \dfrac{1}{20}, toutes les longueurs de la maquette sont 20 fois plus petites que celles de la tour réelle.
Les volumes, eux, sont réduits selon le cube du rapport de longueurs, soit un facteur \begin{aligned}20^{3} &= 20\times20\times20 \\ &= 8~000\end{aligned}
Le volume de la maquette est donc \dfrac{3~880}{8~000}= 0,485 m^{3}.

4.Un traitement contre la moisissure doit être appliqué sur toute la surface latérale de la tour, au coût de 39 € par m^{2}. Combien va coûter ce traitement ?

La surface latérale d'un cylindre se déroule en un rectangle, dont la longueur est le périmètre de la base (2\times\pi\times R) et la largeur est la hauteur de la tour.
Le périmètre de la base vaut {2\times\pi\times7\approx44} m.
La surface latérale est donc d'environ 44\times25{,}2=1~108{,}8 m^{2}, soit environ 1 109 m^{2} en arrondissant à l'unité.
Le coût du traitement est alors {39\times1~109=} 43 251 €.