Brevet : Nouvelle-Calédonie 2022

1.Un avion vole à 1 200 km/h. La vitesse du son est de 340,29 m/s. L'avion vole-t-il plus vite que le son ?

On convertit la vitesse de l'avion en m/s : 1\,200 km/h = 1\,200\,000 m en 3\,600 s, soit \dfrac{1\,200\,000}{3\,600} \approx 333{,}33 m/s.
Comme 333{,}33 < 340{,}29, l'affirmation est fausse : l'avion vole moins vite que le son.

2.Pour tout nombre x, a-t-on {4(4x-4)+16 = 16x^2} ?

En développant : \begin{aligned}4(4x-4)+16 &= 16x-16+16 \\ &= 16x\end{aligned} Or 16x \neq 16x^2 en général (par exemple pour x=2, on obtient 32 contre 64) : l'affirmation est fausse.

3.A-t-on 33\times13 pour décomposition de 429 en produit de facteurs premiers ?

On vérifie d'abord le produit : {33\times13 = 429}, l'égalité est correcte.
Mais 33 = 3\times11 n'est pas un nombre premier : ce n'est donc pas une décomposition en produit de facteurs premiers. L'affirmation est fausse (la décomposition correcte est {429 = 3\times11\times13}).

1.Dans un tableur, les cellules A1, B1 et C1 contiennent des nombres. Quelle formule saisie en D1 affiche leur somme ?

C'est la formule « =SOMME(A1:C1) » qui additionne le contenu des cellules de A1 à C1.

2.Une série de six nombres est 15 ; 10 ; 13 ; 9 ; 10 ; x. Pour quelle valeur de x la moyenne de la série vaut-elle 11 ?

La moyenne s'écrit \dfrac{15+10+13+9+10+x}{6} = \dfrac{57+x}{6}.
On résout \dfrac{57+x}{6} = 11, soit 57+x = 66, d'où x = 9.

3.Sur la Terre, l'équateur est-il un méridien, un demi-cercle ou un parallèle ?

L'équateur est un cercle qui entoure la Terre perpendiculairement à l'axe des pôles : c'est un parallèle (les méridiens, eux, passent par les pôles).

4.Quel est le volume exact, en cm^{3}, d'une boule de 6 cm de diamètre ? (rappel : {V = \dfrac{4\pi R^3}{3}})

Un diamètre de 6 cm correspond à un rayon R = 3 cm.
V = \dfrac{4\pi\times3^3}{3} = \dfrac{4\pi\times27}{3} = 4\pi\times9 = 36\pi cm^{3}.

1.Un tableau donne la vitesse du vent (en nœuds) relevée à 13 h chaque jour du 1er au 15 novembre sur une plage de Nouvelle-Calédonie : 10 ; 15 ; 20 ; 20 ; 15 ; 10 ; 10 ; 20 ; 15 ; 25 ; 25 ; 25 ; 20 ; 15 ; 15. Compléter le tableau d'effectifs et de fréquences par vitesse (10, 15, 20, 25 nœuds).

En comptant les occurrences de chaque vitesse sur les 15 relevés : 10 nœuds apparaît 3 fois, 15 nœuds 5 fois, 20 nœuds 4 fois et 25 nœuds 3 fois (soit bien 3+5+4+3=15 jours au total).
Les fréquences (arrondies à l'unité) sont \dfrac{3}{15}\times100 = 20 %, \dfrac{5}{15}\times100 \approx 33 %, \dfrac{4}{15}\times100 \approx 27 % et \dfrac{3}{15}\times100 = 20 %.

2.Calculer le pourcentage de jours où la vitesse du vent est supérieure ou égale à 15 nœuds, entre le 1er et le 15 novembre.

Les jours à vitesse supérieure ou égale à 15 nœuds sont ceux à 15, 20 ou 25 nœuds, soit 5+4+3 = 12 jours sur 15.
Le pourcentage correspondant est \dfrac{12}{15}\times100 = \dfrac{4}{5}\times100 = 80 %.

3.Déterminer la vitesse médiane du vent sur la plage durant cette période.

En rangeant les 15 valeurs par ordre croissant : 10, 10, 10, 15, 15, 15, 15, 15, 20, 20, 20, 20, 25, 25, 25.
La série comporte 15 valeurs (nombre impair), la médiane est donc la 8e valeur de la liste triée, qui vaut 15 nœuds.

1.Construire un triangle MWB tel que MB = 7,5 cm, WB = 4,5 cm et MW = 6 cm.

On trace le segment [MB] de 7,5 cm, puis on place le point W à l'intersection de l'arc de cercle de centre M et de rayon 6 cm avec l'arc de cercle de centre B et de rayon 4,5 cm.

2.Montrer que le triangle MWB est rectangle en W.

D'une part \text{MB}^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25.
D'autre part \text{MW}^2+\text{WB}^2 = 6^2+4{,}5^2 = 36+20{,}25 = 56{,}25.
Comme \text{MB}^2 = \text{MW}^2+\text{WB}^2, la réciproque du théorème de Pythagore permet de conclure que le triangle MWB est rectangle en W.

3.Calculer la mesure de l'angle BMW, arrondie au degré près.

Dans le triangle MWB rectangle en W, le côté [MW] est adjacent à l'angle \widehat{\text{BMW}} et [MB] est l'hypoténuse, donc \begin{aligned}\cos(\widehat{\text{BMW}}) &= \dfrac{\text{MW}}{\text{MB}} \\ &= \dfrac{6}{7{,}5} \\ &= 0{,}8\end{aligned}
La calculatrice donne \begin{aligned}\widehat{\text{BMW}} &= \cos^{-1}(0{,}8) \\ &\approx 36{,}87^{\circ}\end{aligned} soit environ 37^{\circ}.

4.aPlacer le point F sur le segment [WB] tel que WF = 3 cm.

F est le point du segment [WB] situé à 3 cm de W (et donc à 4{,}5-3=1{,}5 cm de B).

4.bTracer la parallèle à (MB) passant par F ; elle coupe (MW) en E. Placer le point E.

On trace, par le point F, la droite parallèle à (MB) ; son intersection avec la droite (MW) donne le point E.

4.cCalculer WE.

Les points W, E, M sont alignés et les points W, F, B sont alignés dans le même ordre.
Les droites (EF) et (MB) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{\text{WE}}{\text{WM}} &= \dfrac{\text{WF}}{\text{WB}} \\ &= \dfrac{\text{EF}}{\text{MB}}\end{aligned}
d'où \dfrac{\text{WE}}{\text{WM}} = \dfrac{\text{WF}}{\text{WB}}, soit \dfrac{\text{WE}}{6} = \dfrac{3}{4{,}5}.
donc \text{WE} = \dfrac{6\times3}{4{,}5} = \dfrac{18}{4{,}5} = 4 cm.

5.aPlacer le point T sur la demi-droite [MW) tel que MT = 10 cm.

T est situé sur la demi-droite [MW), au-delà de W puisque MT = 10 cm est supérieur à MW = 6 cm.

5.bTracer le segment [TB].

On relie les points T et B par un segment.

6.Calculer la longueur TE.

Comme M, W, T sont alignés dans cet ordre (T au-delà de W sur la demi-droite [MW)), on a \text{MT} = \text{MW}+\text{WT}, soit 10 = 6+\text{WT}, d'où \text{WT} = 4 cm.
Les points T, W, E : W et E sont du même côté par rapport à M sur (MW), et T est au-delà de W, donc {\text{TE} = \text{TW}+\text{WE} = 4+4 =} 8 cm.

1.Un club de planche à voile propose un tarif découverte à 1 600 F par heure de cours. Calculer le prix à payer pour 4 heures de cours avec ce tarif.

4 heures à 1\,600 F l'heure coûtent {4\times1\,600 =} 6 400 F.

2.aLe tarif personnalisé comprend une carte d'adhérent à 4 800 F puis 600 F par heure de cours. Montrer que 4 heures de cours avec ce tarif coûtent 7 200 F.

Le prix pour 4 heures avec le tarif personnalisé est {4\,800+4\times600 = 4\,800+2\,400 =} 7 200 F, ce qui confirme le résultat annoncé.

2.bCalculer le prix à payer pour 10 heures de cours avec le tarif personnalisé.

Pour 10 heures : {4\,800+10\times600 = 4\,800+6\,000 =} 10 800 F.

2.cOn note P(x) le prix à payer, en francs, avec le tarif personnalisé pour x heures de cours. Exprimer P(x) en fonction de x.

Le prix comprend un montant fixe de 4 800 F et 600 F par heure, donc {P(x) = 600x+4\,800}.

3.aLe tarif renforcé coûte 9 600 F pour un nombre illimité d'heures de cours. Pour combien d'heures de cours les tarifs découverte et renforcé sont-ils égaux ?

Le prix du tarif découverte pour x heures est 1\,600x ; il est égal au tarif renforcé (9 600 F, fixe) lorsque {1\,600x = 9\,600}.
Soit \begin{aligned}x &= \dfrac{9\,600}{1\,600} \\ &= 6\end{aligned} Les deux tarifs sont donc égaux pour 6 heures de cours.

3.bTracer la représentation graphique de la fonction P définie par P(x) = 600x + 4 800.

La fonction P est affine : sa représentation graphique est une droite. On peut la tracer à partir des points (4~;~7\,200) et (10~;~10\,800) obtenus aux questions 2.a et 2.b.

3.cQuel est le tarif le plus économique pour Juliette si elle décide de prendre 7 heures de cours ? Justifier la réponse.

Comparons les trois tarifs pour 7 heures : découverte = 7\times1\,600 = 11\,200 F ; personnalisé = P(7) = 600\times7+4\,800 = 4\,200+4\,800 = 9\,000 F ; renforcé = 9\,600 F (fixe).
Comme 9\,000 est le plus petit des trois montants, le tarif personnalisé est le plus économique pour 7 heures de cours.

4.Pour combien d'heures de cours Juliette paie-t-elle le même prix avec le tarif personnalisé et le tarif renforcé ?

Il faut résoudre P(x) = 9\,600, soit 600x+4\,800 = 9\,600.
D'où 600x = 4\,800, soit x = \dfrac{4\,800}{600} = 8 heures de cours.

1.Gabriel lance deux fois de suite un dé équilibré à quatre faces numérotées de 1 à 4, et note le couple (résultat du premier lancer ; résultat du second lancer). Il a noté (3 ; 2). Quel numéro a-t-il obtenu au premier lancer, puis au second lancer ?

Par définition du couple noté, Gabriel a obtenu 3 au premier lancer, puis 2 au second lancer.

2.Quelles sont les 16 issues possibles de ce jeu ?

Il y a 4\times4=16 issues possibles, en associant chacun des 4 résultats du premier lancer à chacun des 4 résultats du second lancer : (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (4;1), (4;2), (4;3), (4;4).

3.Que dire de l'événement A : « obtenir 1 en additionnant les deux numéros obtenus » ?

La plus petite somme possible est {1+1=2} (obtenue avec l'issue (1;1)) : il est donc impossible d'obtenir une somme de 1. L'événement A est impossible.

4.Donner les issues possibles qui réalisent l'événement C : « obtenir 5 en additionnant les deux numéros obtenus ».

Les couples dont la somme vaut 5 sont (1;4), (2;3), (3;2) et (4;1), soit 4 issues.

5.Quelle est la probabilité que l'événement C se réalise ?

Il y a 4 issues favorables sur les 16 issues possibles (équiprobables), donc p(C) = \dfrac{4}{16} = \dfrac14 = 0,25.

1.Un script Scratch définit un « motif de base » : avancer de 60 pas, puis répéter 4 fois {avancer de 40 pas, attendre 0,5 seconde, tourner à droite de 90^{\circ}}, le stylo étant en position d'écriture (1 cm pour 10 pas). Décrire la figure obtenue.

2.Un script 2 répète ce motif de base plusieurs fois : à chaque répétition, le curseur revient au point de départ (0 ; 0) puis tourne d'un même angle avant de retracer le motif, afin d'obtenir une rosace de 8 drapeaux identiques régulièrement répartis autour du point d'origine. Compléter les informations manquantes du script (nombre de répétitions, coordonnées de retour, angle de rotation).