Brevet : Pays du groupe 1 2022

PartieA (QCM) ; On considère la fonction f définie par f(x) = 2x+3. Question 1. Quelle courbe (parmi trois propositions) représente cette fonction ?

La fonction f est affine avec un coefficient directeur 2 \neq 0 : sa représentation graphique est une droite oblique (ni horizontale, ni constante), qui coupe l'axe des ordonnées en f(0)=3. C'est la réponse A.

PartieA ; Question 2. Quelle est l'image de -2 par la fonction f ?

\begin{aligned}f(-2) &= 2\times(-2)+3 \\ &= -4+3 \\ &= -1\end{aligned} C'est la réponse B.

PartieA ; Question 3. Dans une feuille de calcul, la ligne 1 contient x (A1 = 2, B1 = -2, C1 = -1) et la ligne 2 doit calculer f(x). Quelle formule saisir en B2 avant de l'étirer vers la droite ?

La cellule B2 doit donner l'image de la valeur de B1 (ligne du dessus, même colonne) par la fonction f, soit 2\timesB1+3. C'est la réponse B : « =2*B1+3 ».

PartieB ; 1. Développer et réduire {(2x-1)(3x+4)-2x} pour montrer que cette expression est égale à 6x^2+3x-4.

\begin{aligned}(2x-1)(3x+4) &= 2x\times3x + 2x\times4 - 1\times3x - 1\times4 \\ &= 6x^2+8x-3x-4\end{aligned}
\begin{aligned}(2x-1)(3x+4)-2x &= 6x^2+8x-3x-4-2x \\ &= 6x^2+3x-4\end{aligned}

PartieB ; 2. Le triangle CDE a pour côtés CD = 3,6 cm, CE = 4,2 cm et DE = 5,5 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

Si le triangle CDE est rectangle, ce ne peut être qu'en C, puisque [DE] est le côté le plus long et serait alors l'hypoténuse.
\begin{aligned}CD^2+CE^2 &= 3{,}6^2+4{,}2^2 \\ &= 12{,}96+17{,}64 \\ &= 30{,}6\end{aligned} alors que \begin{aligned}DE^2 &= 5{,}5^2 \\ &= 30{,}25\end{aligned}
30{,}6 \neq 30{,}25 : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, donc le triangle CDE n'est pas rectangle.

Lacourse cycliste Paris-Nice (édition 2021) s'est déroulée en 7 étapes, de distances respectives 166 km, 188 km, 187,5 km, 200 km, 202,5 km, 119,5 km et 93 km. 1.a Calculer la distance moyenne parcourue par étape, arrondie au dixième de km.

\overline{d} = \dfrac{166+188+187{,}5+200+202{,}5+119{,}5+93}{7} = \dfrac{1156{,}5}{7} \approx 165,2 km.

1.bCalculer la médiane des distances parcourues par étape.

En rangeant les 7 distances dans l'ordre croissant : 93 ; 119,5 ; 166 ; 187,5 ; 188 ; 200 ; 202,5. La valeur du milieu (4e sur 7) est 187,5 km : c'est la médiane.

1.cCalculer l'étendue de la série formée par les distances parcourues par étape.

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite distance : 202{,}5-93 = 109,5 km.

2.Un journaliste affirme qu'environ 57 % du nombre total d'étapes de cette édition se sont déroulées sur un parcours accidenté. A-t-il raison ?

D'après le tableau des étapes, 4 étapes sur les 7 ont un profil accidenté (étapes 1, 3, 5 et 7).
\dfrac{4}{7}\times100 \approx 57{,}1, soit environ 57 % : le journaliste a raison.

3.Le vainqueur de la course a mis 28 h 50 min pour effectuer le parcours, et le dernier au classement général 30 h 12 min. Quel est le retard accumulé par le dernier par rapport au vainqueur ?

De 28 h 50 min à 29 h, il s'écoule 10 min ; de 29 h à 30 h 12 min, il s'écoule 1 h 12 min.
Au total, de 28 h 50 min à 30 h 12 min, il s'écoule 10\text{ min} + 1\text{ h }12\text{ min} = 1 h 22 min de retard.

4.Le vainqueur de la première étape (166 km) a mis 3 h 51 min. Déterminer sa vitesse moyenne en km/h, arrondie à l'unité.

La durée 3 h 51 min correspond à {3\times60+51 = 231} minutes.
La vitesse moyenne est v = \dfrac{166}{231}\times60 \approx 43 km/h.

Surune figure, les points C, A, E sont alignés et les points B, A, D sont alignés. Le triangle ABC est rectangle en B, avec \widehat{BAC} = 60^{\circ} et AC = 8 cm ; on donne aussi AD = 9,6 cm et AE = 19,2 cm (longueurs en cm). 1. Prouver que le segment [AB] mesure 4 cm.

Le triangle ABC est rectangle en B, donc \cos\left(\widehat{BAC}\right) = \dfrac{AB}{AC}.
Avec \widehat{BAC}=60^{\circ}, on a \cos(60^{\circ})=\dfrac12, d'où \dfrac12 = \dfrac{AB}{8}, donc AB = \dfrac{8}{2} = 4 cm.

2.En utilisant le résultat précédent, démontrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

Les points B, A, D sont alignés et les points C, A, E sont alignés, dans cet ordre autour de A.
D'une part, \begin{aligned}\dfrac{AC}{AB} &= \dfrac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}\dfrac{AE}{AD} &= \dfrac{19{,}2}{9{,}6} \\ &= 2\end{aligned}
donc \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AE}{AD} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

3.En déduire que la droite (DB) est perpendiculaire à la droite (DE).

La droite (DB) est perpendiculaire à la droite (BC) (triangle ABC rectangle en B, donc en particulier (AB), qui porte D, est perpendiculaire à (BC)).
Or (BC) et (DE) sont parallèles (question précédente) : toute droite perpendiculaire à l'une de deux droites parallèles est perpendiculaire à l'autre.
Donc la droite (DB) est perpendiculaire à la droite (DE).

4.Calculer l'aire du triangle ADE, arrondie à l'unité.

Le triangle ADE est rectangle en D (question précédente), donc son aire est \mathcal{A} = \dfrac{AD\times DE}{2} : il faut d'abord calculer DE.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ADE rectangle en D : {AE^2 = AD^2+DE^2}, soit 19{,}2^2 = 9{,}6^2+DE^2.
\begin{aligned}DE^2 &= 368{,}64-92{,}16 \\ &= 276{,}48\end{aligned} donc \begin{aligned}DE &= \sqrt{276{,}48} \\ &\approx 16{,}63\end{aligned} cm.
\mathcal{A} = \dfrac{9{,}6\times16{,}63}{2} \approx 80 cm^{2}.

PartieA ; Un motif en forme de parallélogramme se construit avec le script Scratch « définir motif : répéter 2 fois [avancer de 40] », qu'il faut compléter avec les blocs « avancer de 30 », « tourner à gauche de 40 degrés » et « tourner à gauche de 140 degrés », pour obtenir un parallélogramme de côtés 40 et 30 pixels et d'angles 40^{\circ} et 140^{\circ}. Compléter le script.

PartieB ; 1. Le programme de l'élève A se lance avec la touche « flèche droite », le programme de l'élève B avec une autre touche du clavier. Quelle touche permet de lancer le programme de l'élève B ?

Le bloc d'initialisation du programme de l'élève B est « quand la touche espace est cliquée » : c'est donc la barre d'espace qui permet de lancer ce programme.

2.aLe programme de l'élève A place 9 motifs côte à côte en avançant de 50 pixels entre chacun, sans changer d'orientation (orientation fixée à 90^{\circ}, donc vers la droite). Parmi 4 figures proposées (une bande de losanges serrés, une bande de losanges espacés, et deux rosaces), laquelle obtient-on ?

Le lutin part orienté vers la droite (90^{\circ}) et ne tourne jamais entre deux motifs : il avance seulement de 50 pixels après chaque motif, sans jamais changer de direction.
Les 9 motifs sont donc alignés côte à côte, dans le prolongement les uns des autres, avec un espace entre eux (avance de 50 pixels alors que le motif ne mesure que 40 pixels de large) : c'est la figure 1 (bande de losanges espacés).

2.bLe programme de l'élève B répète 9 fois le motif en tournant de 40^{\circ} à gauche entre chaque motif, sans jamais avancer. Quelle figure obtient-on ?

Le lutin reste sur place (aucun bloc « avancer ») et tourne de 40^{\circ} avant chaque nouveau motif, en répétant l'opération 9 fois : 9\times40^{\circ} = 360^{\circ}, soit un tour complet.
Les 9 motifs partent donc tous du même point et sont répartis régulièrement tout autour de celui-ci, formant la figure 4 (rosace complète à motifs serrés, sans espace entre les losanges puisqu'ils partent tous du même sommet).

Unchocolatier, pour ses 25 ans, a confectionné 300 truffes : 125 parfumées au café et 175 enrobées de noix de coco. Il veut répartir toutes les truffes dans des boîtes contenant chacune le même nombre de truffes au café et le même nombre de truffes à la noix de coco. 1.a Décomposer 125 et 175 en produit de facteurs premiers.

\begin{aligned}125 &= 5\times5\times5 \\ &= 5^3\end{aligned} \begin{aligned}175 &= 5\times5\times7 \\ &= 5^2\times7\end{aligned}

1.bEn déduire la liste des diviseurs communs à 125 et 175.

Les facteurs premiers communs à 5^3 et 5^2\times7 sont uniquement des puissances de 5, jusqu'à 5^2 (le plus petit exposant de 5 dans les deux décompositions) : le PGCD de 125 et 175 est donc 5\times5=25.
Les diviseurs communs à 125 et 175 sont donc les diviseurs de 25, c'est-à-dire 1, 5 et 25.

1.cQuel nombre maximal de boîtes le chocolatier pourra-t-il réaliser ?

Le nombre de boîtes doit diviser à la fois 125 et 175 : le nombre maximal de boîtes correspond donc au plus grand diviseur commun, soit 25 boîtes.

1.dDans ce cas, combien y aura-t-il de truffes de chaque sorte dans chaque boîte ?

\dfrac{125}{25} = 5 truffes au café par boîte, et \dfrac{175}{25} = 7 truffes à la noix de coco par boîte. Chaque boîte contient donc 5 truffes au café et 7 truffes à la noix de coco.

2.Le chocolatier veut désormais fabriquer des boîtes de 12 truffes (assimilées à des boules de diamètre 1,5 cm), en choisissant entre une boîte pyramidale (base carrée de côté 4,8 cm, hauteur 5 cm) et une boîte parallélépipédique (5 cm \times 3,5 cm \times 3,5 cm). Une boîte convient si le volume occupé par les truffes dépasse le volume restant vide. Quel(s) type(s) de boîte conviennent ?

Chaque truffe est une boule de rayon \begin{aligned}r &= \dfrac{1{,}5}{2} \\ &= 0{,}75\end{aligned} cm, de volume \dfrac{4}{3}\times\pi\times0{,}75^3 cm^{3} ; pour 12 truffes, le volume total occupé est 12\times\dfrac{4}{3}\times\pi\times0{,}75^3 \approx 21,2 cm^{3}.
Volume de la pyramide à base carrée : \mathcal{V} = \dfrac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3} = \dfrac{(4{,}8\times4{,}8)\times5}{3} = \dfrac{23{,}04\times5}{3} = 38,4 cm^{3}.
Volume vide dans la pyramide : {38{,}4 - 21{,}2 \approx 17{,}2} cm^{3}, qui est inférieur au volume occupé (21,2 cm^{3}) : cette boîte convient.
Volume du pavé droit : {\mathcal{V} = 5\times3{,}5\times3{,}5 =} 61,25 cm^{3}.
Volume vide dans le pavé droit : {61{,}25 - 21{,}2 \approx 40{,}05} cm^{3}, qui est supérieur au volume occupé (21,2 cm^{3}) : cette boîte ne convient pas.
Le chocolatier doit donc choisir la boîte pyramidale (type A).