Brevet : Polynésie française 2022

1.Une affirmation propose que -\dfrac{7}{5} + \dfrac{6}{5}\times\dfrac{4}{7} est égal à \dfrac{5}{7}. Cette affirmation est-elle vraie ?

On réduit au même dénominateur : -\dfrac{7}{5} = -\dfrac{49}{35} et \dfrac{6}{5}\times\dfrac{4}{7} = \dfrac{24}{35}.
Donc \begin{aligned}-\dfrac{7}{5} + \dfrac{6}{5}\times\dfrac{4}{7} &= \dfrac{-49+24}{35} \\ &= \dfrac{-25}{35} \\ &= -\dfrac{5}{7}\end{aligned}
Le résultat obtenu est -\dfrac{5}{7} et non \dfrac{5}{7} : l'affirmation est fausse.

2.Sur une figure, les points G, A, R sont alignés et les points E, A, M sont alignés (dans cet ordre), avec AM = 3 cm, AE = 4,2 cm, AR = 7 cm et AG = 9,8 cm. Une affirmation annonce que les droites (MR) et (GE) sont parallèles. Est-ce exact ?

Les points G, A, R sont alignés et les points E, A, M sont alignés dans le même ordre.
D'une part, \begin{aligned}\dfrac{AM}{AE} &= \dfrac{3}{4{,}2} \\ &= \dfrac{30}{42} \\ &= \dfrac{5}{7}\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}\dfrac{AR}{AG} &= \dfrac{7}{9{,}8} \\ &= \dfrac{70}{98} \\ &= \dfrac{5}{7}\end{aligned}
donc \dfrac{AM}{AE} = \dfrac{AR}{AG} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (MR) et (GE) sont parallèles.
L'affirmation est vraie.

3.Une affirmation annonce que la décomposition de 126 en produit de facteurs premiers est 126 = 2\times9\times7. Est-ce correct ?

On décompose 126 : \begin{aligned}126 &= 2\times63 \\ &= 2\times3\times21 \\ &= 2\times3\times3\times7 \\ &= 2\times3^2\times7\end{aligned}
Le nombre 9 n'est pas un nombre premier (il est divisible par 3), donc l'écriture 2\times9\times7 n'est pas une décomposition en facteurs premiers.
L'affirmation est fausse : la bonne décomposition est 126 = 2\times3^2\times7.

4.Une recette de vinaigrette mélange l'huile, le vinaigre et la moutarde dans les proportions 7 : 3 : 1. Pour préparer 330 mL de sauce, une affirmation annonce qu'il faut 210 mL d'huile. Est-ce exact ?

Le total des parts est {7+3+1 = 11} portions, pour un volume total de 330 mL.
Le volume d'une portion est donc \dfrac{330}{11} = 30 mL.
Le volume d'huile correspond à 7 portions : 7\times30 = 210 mL.
L'affirmation est vraie.

1.Une salle de sport propose un tarif « liberté » : le prix payé est représenté par une droite (d_1) passant par l'origine du repère. Que peut-on en déduire sur ce tarif ?

Une droite passant par l'origine caractérise une situation de proportionnalité : le prix payé avec le tarif « liberté » est proportionnel au nombre d'heures passées dans la salle (la fonction associée est une fonction linéaire).

2.Un tarif « abonné » (droite (d_2)) et le tarif « liberté » (droite (d_1)) sont tracés sur un même graphique. On note f la fonction associée à (d_1) et g celle associée à (d_2). Déterminer l'image de 5 par f, puis l'antécédent de 10 par g.

Par lecture graphique sur (d_1) : au bout de 5 heures, le prix payé est de 25 €, donc f(5) = 25.
Par lecture graphique sur (d_2) : le prix de 10 € correspond à 1 heure, donc l'antécédent de 10 par g est 1.

3.Comparer les deux tarifs selon la durée passée dans la salle de sport, à partir de la position relative des deux droites.

4.La droite (d_1) passe par les points de coordonnées (0~;~0) et (3~;~15). Déterminer l'expression de f(x), puis calculer le prix payé pour 15 heures avec le tarif « liberté ».

(d_1) passe par l'origine : elle représente donc une fonction linéaire de la forme f(x) = ax.
Le coefficient directeur est \begin{aligned}a &= \dfrac{15-0}{3-0} \\ &= \dfrac{15}{3} \\ &= 5\end{aligned} donc f(x) = 5x.
\begin{aligned}f(15) &= 5\times15 \\ &= 75\end{aligned}
Le prix payé pour 15 heures avec le tarif « liberté » est de 75 €.

PartieA ; 1. Une brique de sauce salade est censée contenir 350 mL. Un contrôle qualité relève les volumes réels de 24 briques, avec un tableau d'effectifs cumulés croissants. Déterminer la médiane de cette série et interpréter le résultat.

La série comporte 24 valeurs (nombre pair), donc la médiane est la demi-somme de la 12e et de la 13e valeur, une fois les données rangées dans l'ordre croissant.
La lecture des effectifs cumulés croissants montre que la 12e et la 13e valeur sont toutes deux égales à 350 mL, donc la médiane vaut 350 mL.
Cela signifie que la moitié des briques contrôlées contiennent moins de 350 mL, et l'autre moitié en contiennent plus.

PartieA ; 2. Le volume le plus faible relevé est 344 mL et le plus élevé est 357 mL. Calculer l'étendue de la série.

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : {357-344 =} 13 mL.

PartieA ; 3. Exactement 2 briques parmi les 24 contiennent 350 mL. Quelle est la probabilité, en choisissant une brique au hasard, qu'elle contienne exactement 350 mL ?

La probabilité est \dfrac{2}{24} = \dfrac{1}{12} \approx 8,3 %.

PartieA ; 4. Une brique n'est pas commercialisée si son volume s'écarte de plus de 5 mL des 350 mL attendus (donc si le volume est inférieur à 345 mL ou supérieur à 355 mL). Le contrôle relève qu'il y a 3 briques dans ce cas parmi les 24. Quel pourcentage de briques peut être vendu ?

Le nombre de briques vendables (volume entre 345 mL et 355 mL) est 24-3 = 21.
Le pourcentage correspondant est \dfrac{21}{24}\times100 = \dfrac{7}{8}\times100 = 87,5 %.

PartieB ; 1. Chaque brique de sauce a la forme d'un pavé droit dont la base rectangulaire mesure 6,4 cm sur 5 cm. Calculer l'aire de cette base.

Aire de la base = 6{,}4\times5 = 32 cm^{2}.

PartieB ; 2. On souhaite qu'une brique ait un volume de 400 cm^{3}. Quelle hauteur h faut-il donner au pavé ?

Le volume d'un pavé droit est {V = \text{aire de la base}\times h}, soit 400 = 32\times h.
D'où h = \dfrac{400}{32} = 12,5 cm.

1.aUn programme de calcul consiste à : choisir un nombre, lui ajouter 5, calculer aussi la différence entre ce nombre et 5, multiplier les deux résultats obtenus, puis ajouter 25. Vérifier qu'en partant de 7, le programme donne 49.

(7+5)\times(7-5)+25 = 12\times2+25 = 24+25 = 49. On obtient bien 49 en partant de 7.

1.bVérifier qu'en partant de -4, le programme donne 16.

(-4+5)\times(-4-5)+25 = 1\times(-9)+25 = -9+25 = 16. On obtient bien 16 en partant de -4.

2.aEn notant x le nombre choisi au départ, exprimer le résultat du programme en fonction de x.

En suivant les étapes du programme avec un nombre de départ x, le résultat s'écrit : (x+5)(x-5)+25.

2.bDévelopper et réduire l'expression (x+5)(x-5).

(x+5)(x-5) = x^2 - 5^2 = x^2-25 (identité remarquable {(a+b)(a-b)=a^2-b^2}).

2.cSarah affirme que le programme de calcul donne toujours le carré du nombre de départ, quel que soit ce nombre. A-t-elle raison ?

D'après la question précédente, le résultat du programme vaut \begin{aligned}(x+5)(x-5)+25 &= x^2-25+25 \\ &= x^2\end{aligned}
Le résultat est donc toujours égal au carré du nombre de départ, quel que soit x choisi.
Sarah a raison.

1.aUn escalier mécanique (escalator) est composé de 6 marches identiques de hauteur h pour une hauteur totale à franchir de 32 m au premier étage. Un second escalator relie le sol au premier étage avec un profil différent : sa longueur au sol totalise 135 m, répartie en un palier horizontal de longueur p et 5 segments inclinés de 12,5 m chacun. Déterminer la longueur p du palier.

La longueur totale au sol donne l'équation 135 = 6\times12{,}5 + 5p, soit 135 = 75+5p.
En soustrayant 75 aux deux membres : 135-75 = 5p, soit 60 = 5p.
D'où p = \dfrac{60}{5} = 12 m.

1.bCe second escalator est constitué de 5 marches de même hauteur h, pour une hauteur totale de 32 m. Calculer h.

On a 5\times h = 32, d'où h = \dfrac{32}{5} = 6,4 m.

2.aDans le triangle RST, rectangle en R, on donne SR = 12 m et RT = 6,4 m (la hauteur trouvée précédemment). Calculer la longueur ST, arrondie au dixième.

Le triangle RST est rectangle en R : d'après le théorème de Pythagore, ST^2 = SR^2+RT^2.
\begin{aligned}ST^2 &= 12^2+6{,}4^2 \\ &= 144+40{,}96 \\ &= 184{,}96\end{aligned}
ST = \sqrt{184{,}96} \approx 13,6 m.

2.bCalculer la mesure de l'angle \widehat{RST}, arrondie au degré près.

Le triangle RST est rectangle en R : SR est le côté adjacent à l'angle \widehat{RST} et ST est l'hypoténuse (SOH-CAH-TOA : CAH).
\begin{aligned}\cos(\widehat{RST}) &= \dfrac{SR}{ST} \\ &= \dfrac{12}{13{,}6} \\ &\approx 0{,}882\end{aligned}
À la calculatrice : \widehat{RST} \approx 28^{\circ} au degré près.

3.Un script Scratch doit tracer, à l'écran, le profil en escalier de 5 marches identiques (un segment incliné de 13,6 vers le haut suivi d'un segment horizontal de 12,5, répété 5 fois, avec un virage de 28^{\circ} à chaque changement de direction). Décrire les instructions à compléter dans la boucle du script.