Brevet : Amérique du Nord 2023

Situation 1. Donner la décomposition de 780 en produit de facteurs premiers (aucune justification attendue).

On divise successivement par les plus petits nombres premiers : \begin{aligned}780 &= 2\times390 \\ &= 2\times2\times195 \\ &= 2\times2\times3\times65 \\ &= 2\times2\times3\times5\times13\end{aligned}
La décomposition en produit de facteurs premiers est donc {780 = 2^2\times3\times5\times13}.

Situation 2.a Dans un jeu de 32 cartes (quatre familles de huit cartes chacune : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as), on tire une carte au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir le 8 de pique (aucune justification attendue) ?

Le tirage est équiprobable sur les 32 cartes, et une seule carte correspond à l'évènement (le 8 de pique).
La probabilité d'obtenir le 8 de pique est donc \dfrac{1}{32}.

Situation 2.b Quelle est la probabilité d'obtenir un roi ou un cœur (aucune justification attendue) ?

Il y a 4 rois (un par famille) et 8 cœurs, mais le roi de cœur est compté dans les deux catégories : il ne faut donc le compter qu'une seule fois.
Le nombre d'issues favorables est {4+8-1 = 11}, sur un total de 32 issues équiprobables.
La probabilité d'obtenir un roi ou un cœur est donc \dfrac{11}{32}.

Situation 3. Développer et réduire l'expression A = (2x+5)(3x-4).

On développe chaque produit : \begin{aligned}A &= 2x\times3x + 2x\times(-4) + 5\times3x + 5\times(-4) \\ &= 6x^2-8x+15x-20\end{aligned}
En réduisant les termes de même degré : A = 6x^2+7x-20.

Situation 4.a Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés 60 cm et 80 cm (les deux côtés de l'angle droit), et pour hauteur 120 cm. Quel est le volume, en cm^{3}, de ce prisme droit ?

L'aire du triangle rectangle de base est \begin{aligned}\mathcal{A}_{\text{base}} &= \dfrac{60\times80}{2} \\ &= 2\,400\end{aligned} cm^{2}.
Le volume du prisme droit est \begin{aligned}\mathcal{V} &= \mathcal{A}_{\text{base}}\times h \\ &= 2\,400\times120 \\ &= 288\,000\end{aligned} cm^{3}.

Situation 4.b Convertir ce volume en litre (rappel : 1 L = 1 dm^{3}).

On convertit d'abord les cm^{3} en dm^{3}, sachant que 1 dm^{3} =1\,000 cm^{3} : 288\,000 cm^{3} = 288 dm^{3}.
Comme 1 dm^{3} =1 L, le volume du prisme est donc de 288 L.

Situation 5. Le polygone 2 est un agrandissement du polygone 1, de coefficient 3. L'aire du polygone 1 est 11 cm^{2}. Quelle est l'aire du polygone 2 ?

Lors d'un agrandissement de coefficient k, les aires sont multipliées par k^2 (et non par k).
Ici k=3, donc les aires sont multipliées par 3^2=9.
L'aire du polygone 2 est donc 9\times11 = 99 cm^{2}.

1.Sur une figure (non tracée à l'échelle), les points L, N, A forment un triangle avec AN = 13 cm, LN = 5 cm, AL = 12 cm ; le point O appartient au segment [LN] avec ON = 3 cm, et le point H appartient au segment [NA], avec (OH) perpendiculaire à (LN). Montrer que le triangle LNA est rectangle en L.

Dans le triangle LNA, le côté le plus long est [AN], avec \begin{aligned}AN^2 &= 13^2 \\ &= 169\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}LN^2+AL^2 &= 5^2+12^2 \\ &= 25+144 \\ &= 169\end{aligned}
On a bien AN^2 = LN^2+AL^2, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle LNA est rectangle en L.

2.Montrer que la longueur OH est égale à 7,2 cm.

Le triangle LNA est rectangle en L, donc (AL)\perp(LN). Or (OH)\perp(LN) d'après l'énoncé : les droites (AL) et (OH), toutes deux perpendiculaires à la droite (LN), sont donc parallèles entre elles.
Les points N, O, L sont alignés et les points N, H, A sont alignés dans le même ordre.
Les droites (OH) et (LA) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{NO}{NL} &= \dfrac{NH}{NA} \\ &= \dfrac{OH}{LA}\end{aligned}
d'où \dfrac{NO}{NL} = \dfrac{OH}{LA}, soit \dfrac{3}{5} = \dfrac{OH}{12}.
donc OH = \dfrac{3\times12}{5} = \dfrac{36}{5} = 7,2 cm.

3.Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{LNA}}, arrondie au degré.

Dans le triangle LNA rectangle en L, l'angle \widehat{\text{LNA}} a pour côté adjacent [LN] et pour hypoténuse [NA].
D'après SOH-CAH-TOA, \begin{aligned}\cos\widehat{\text{LNA}} &= \dfrac{LN}{NA} \\ &= \dfrac{5}{13}\end{aligned}
Donc \begin{aligned}\widehat{\text{LNA}} &= \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{13}\right) \\ &\approx 67{,}38^{\circ}\end{aligned} soit environ 67^{\circ}.

4.Pourquoi les triangles LNA et ONH sont-ils semblables ?

Les triangles LNA et ONH ont en commun l'angle \widehat{\text{LNA}}=\widehat{\text{ONH}} (même sommet N).
De plus, le triangle LNA est rectangle en L et, d'après la question 2, (OH)\perp(LN) donc le triangle ONH est rectangle en O : \begin{aligned}\widehat{\text{NLA}} &= \widehat{\text{NOH}} \\ &= 90^{\circ}\end{aligned}
Les triangles LNA et ONH ont donc deux paires d'angles de même mesure : ils sont semblables.

5.aQuelle est l'aire du quadrilatère LOHA ?

On calcule d'abord l'aire du triangle LNA, rectangle en L : \begin{aligned}\mathcal{A}_{\text{LNA}} &= \dfrac{LN\times LA}{2} \\ &= \dfrac{5\times12}{2} \\ &= 30\end{aligned} cm^{2}.
On calcule ensuite l'aire du triangle ONH, rectangle en O : \begin{aligned}\mathcal{A}_{\text{ONH}} &= \dfrac{ON\times OH}{2} \\ &= \dfrac{3\times7{,}2}{2} \\ &= 10{,}8\end{aligned} cm^{2}.
Le quadrilatère LOHA s'obtient en retirant le triangle ONH du triangle LNA : \mathcal{A}_{\text{LOHA}} = \mathcal{A}_{\text{LNA}} - \mathcal{A}_{\text{ONH}} = 30-10{,}8 = 19,2 cm^{2}.

5.bQuelle proportion de l'aire du triangle LNA représente l'aire du quadrilatère LOHA ?

On calcule le quotient des deux aires : \begin{aligned}\dfrac{\mathcal{A}_{\text{LOHA}}}{\mathcal{A}_{\text{LNA}}} &= \dfrac{19{,}2}{30} \\ &= 0{,}64\end{aligned}
L'aire du quadrilatère LOHA représente donc 0{,}64 = \dfrac{64}{100}, soit 64 % de l'aire du triangle LNA.

PartieA (évolution du nombre de visiteurs). 1.a D'après le diagramme en barres du nombre de visiteurs annuels sur un site touristique entre 2010 et 2021, quel a été le nombre de visiteurs en 2010 (aucune justification attendue) ?

D'après la hauteur de la première barre du diagramme, le nombre de visiteurs en 2010 était de 300 000.

1.bEn quelle année le nombre de visiteurs a-t-il été le plus élevé (aucune justification attendue) ?

La barre la plus haute du diagramme, avant la baisse marquée des deux dernières années, correspond à l'année 2019.

2.En 2020, le site a compté 187 216 visiteurs, puis 219 042 en 2021. Le maire de la ville souhaitait une progression d'au moins 15 % entre 2020 et 2021. Cet objectif a-t-il été atteint ?

Une progression de 15 % correspond à un nombre de visiteurs multiplié par {1+\dfrac{15}{100}=1{,}15}.
Le nombre de visiteurs qu'il aurait fallu atteindre est donc {1{,}15\times187\,216 = 215\,298{,}4}.
Or le nombre de visiteurs réellement observé en 2021, 219\,042, est supérieur à 215\,298{,}4 : l'objectif du maire a bien été atteint.

PartieB (prix des hôtels). Le tableau des prix facturés pour une nuit (en euro) et de leurs effectifs est : 60 € (1 200 nuits), 80 € (1 350), 85 € (1 000), 90 € (1 100), 110 € (1 200), 120 € (1 300), 350 € (900), 500 € (300). 3. Déterminer l'étendue des prix facturés.

L'étendue d'une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.
Ici, le prix maximal est 500 € et le prix minimal est 60 €, donc l'étendue vaut 500-60 = 440 euros.

4.Quelle est la moyenne des prix facturés pour une nuit, arrondie à l'euro près ?

Le nombre total de nuits facturées est 1\,200+1\,350+1\,000+1\,100+1\,200+1\,300+900+300 = 8\,350.
La somme totale facturée est 60\times1\,200+80\times1\,350+85\times1\,000+90\times1\,100+110\times1\,200+120\times1\,300+350\times900+500\times300 = 1\,117\,000 euros.
La moyenne est donc \dfrac{1\,117\,000}{8\,350}\approx133{,}77, soit environ 134 euros.

5.L'association des hôteliers affirme : « dans les hôtels de cette ville, au moins la moitié des nuits est facturée à moins de 100 € ». Cette affirmation est-elle vraie ?

Il y a 8 350 nuits au total, dont la moitié représente \dfrac{8\,350}{2} = 4\,175 nuits.
Les nuits facturées strictement en dessous de 100 € correspondent aux prix 60 €, 80 €, 85 € et 90 €, soit {1\,200+1\,350+1\,000+1\,100 = 4\,650} nuits.
Comme 4\,650 > 4\,175, plus de la moitié des nuits sont bien facturées à moins de 100 € : l'affirmation de l'association est vraie.

1.aLe motif « Fleur » est composé de cinq pétales, chaque pétale ayant la forme d'un parallélogramme KLMN construit avec 35 pas de côté [KL], un angle de 120^{\circ} en L et un côté [LM] de 20 pas. Décrire les étapes de construction de ce parallélogramme à la règle graduée et au rapporteur (1 cm représentant 5 pas).

1.bLe bloc « Pétale » construit ce parallélogramme en partant du point K, orienté vers la droite, à l'aide d'une boucle « répéter 2 fois » contenant : avancer de … pas (ligne 4), tourner à gauche de … degrés (ligne 5), avancer de … pas (ligne 6), tourner à gauche de … degrés (ligne 7). Compléter ces quatre valeurs (aucune justification attendue).

2.aLe bloc « Fleur » construit le motif complet à partir de son centre, en répétant un certain nombre de fois le bloc « Pétale » suivi d'une rotation vers la droite de 72^{\circ}. Par quelle valeur doit-on compléter la ligne 2 (nombre de répétitions), sachant que le motif comporte cinq pétales (aucune justification attendue) ?

On complète la ligne 2 par la valeur 5, puisque le motif « Fleur » comporte cinq pétales, chacun tracé par une exécution du bloc « Pétale ».

2.bExpliquer le choix de la valeur 72^{\circ} dans la ligne 4 du bloc « Fleur ».

Le motif comporte 5 pétales répartis régulièrement tout autour du centre, ce qui correspond à un tour complet de 360^{\circ}.
Entre deux pétales consécutifs, le lutin doit donc tourner de 360\div5 = 72^{\circ} : c'est la raison du choix de cette valeur.

2.cOn modifie le motif « Fleur » pour obtenir 12 pétales identiques répartis régulièrement. Quelles modifications apporter aux lignes 2 et 4 du bloc « Fleur » (aucune justification attendue) ?

Avec 12 pétales à répartir sur un tour complet, la rotation entre deux pétales devient 360\div12 = 30^{\circ}.
Ligne 2 : répéter 12 fois.
Ligne 4 : tourner de 30 degrés.

1.La piste d'un hippodrome est composée de deux lignes droites de 850 m chacune et de deux virages en demi-cercle de rayon 40 m. Montrer que la longueur d'un tour de piste est d'environ 1 951 m.

Les deux virages en demi-cercle, mis bout à bout, forment un cercle complet de rayon 40 m, de périmètre {2\times\pi\times40\approx251{,}33} m.
La longueur d'un tour de piste est la somme des deux lignes droites et de ce cercle complet : {850\times2+251{,}33 = 1\,951{,}33} m.
La longueur d'un tour de piste est donc bien d'environ 1 951 m.

2.aUn cheval parcourt un tour de piste (1 951 m) en 2 min 9 s. Calculer sa vitesse moyenne en mètre par seconde, arrondie à l'unité.

On convertit d'abord la durée en secondes : {2\ \text{min}\ 9\ \text{s} = 2\times60+9 = 129} s.
La vitesse moyenne est \begin{aligned}v &= \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}} \\ &= \dfrac{1\,951}{129} \\ &\approx 15{,}13\end{aligned} soit environ 15 m/s.

2.bConvertir cette vitesse moyenne en kilomètre par heure.

Pour convertir une vitesse de m/s en km/h, on multiplie par 3,6 (puisque 1 m/s = \dfrac{3\,600}{1\,000} km/h =3{,}6 km/h).
En reprenant la valeur exacte, \begin{aligned}v &= \dfrac{1\,951}{129}\times3{,}6 \\ &\approx 54{,}5\end{aligned} soit environ 54 km/h (à comparer à l'arrondi de la question précédente, 15\times3{,}6=54 km/h).

3.La surface de la piste a une aire d'environ 73 027 m^{2} et on souhaite y semer du gazon en totalité. Trois marques de sacs sont disponibles : marque A (500 m^{2} par sac, 141,95 €), marque B (400 m^{2} par sac, 87,90 €), marque C (300 m^{2} par sac, 66,50 €). Quelle marque doit-on choisir pour dépenser le moins possible ?

Marque A : 73\,027\div500\approx146{,}05, il faut donc 147 sacs entiers, pour un coût de 147\times141{,}95 = 20\,866{,}65 €.
Marque B : 73\,027\div400\approx182{,}57, il faut donc 183 sacs entiers, pour un coût de 183\times87{,}90 = 16\,085{,}70 €.
Marque C : 73\,027\div300\approx243{,}42, il faut donc 244 sacs entiers, pour un coût de 244\times66{,}50 = 16\,226 €.
Le coût le plus faible est celui de la marque B, avec 16 085,70 € : il faut choisir la marque B.