Brevet : Asie 2023

1.Un centre de loisirs dispose d'un terrain extérieur en forme de triangle CDG (rectangle en D), partagé en un potager DEFG et une zone de jeux CEF. Les points C, E, D sont alignés, les points C, F, G sont alignés, les droites (EF) et (DG) sont parallèles, et les droites (DG) et (CD) sont perpendiculaires. On donne CE = 30 m, ED = 10 m et DG = 24 m. Calculer la longueur CD.

Les points C, E, D étant alignés avec E entre C et D, on a {\text{CD} = \text{CE} + \text{ED} = 30 + 10 =} 40 m.

2.Calculer la longueur CG, arrondie au dixième de mètre.

Le triangle CDG est rectangle en D, donc d'après le théorème de Pythagore :
\text{CG}^2 = \text{CD}^2 + \text{DG}^2 = 40^2 + 24^2 = 1\,600 + 576 = 2\,176.
Donc \text{CG} = \sqrt{2\,176} \approx 46,6 m (arrondi au dixième de mètre).

3.On sépare la zone de jeux du potager par une clôture représentée par le segment [EF]. Montrer que cette clôture mesure 18 m.

Les points C, E, D sont alignés et les points C, F, G sont alignés dans le même ordre.
Les droites (EF) et (DG) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{\text{CE}}{\text{CD}} &= \dfrac{\text{CF}}{\text{CG}} \\ &= \dfrac{\text{EF}}{\text{DG}}\end{aligned}
d'où \dfrac{\text{CE}}{\text{CD}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{DG}}, soit \dfrac{30}{40} = \dfrac{\text{EF}}{24}.
donc \text{EF} = 24\times\dfrac{30}{40} = 24\times\dfrac34 = 18 m.

4.Pour semer du gazon sur la zone de jeux, l'équipe achète des sacs de graines à 22,90 € l'unité, chaque sac couvrant environ 140 m^{2}. Quel budget prévoir pour semer la totalité de la zone de jeux CEF ?

Les droites (EF) et (DG) sont parallèles, et (CD) est perpendiculaire à (DG) : (CD) est donc aussi perpendiculaire à (EF). Le triangle CEF est donc rectangle en E.
Son aire est {\mathcal{A}(\text{CEF}) = \dfrac{\text{CE}\times\text{EF}}{2} = \dfrac{30\times18}{2} =} 270 m^{2}.
Un sac couvre 140 m^{2}, donc un seul sac ne suffit pas (270 > 140) : il faut 2 sacs, pour un budget de 2\times22,90 = 45,80 €.

5.La direction affirme que la surface du potager est plus grande que celle de la zone de jeux. A-t-elle raison ?

L'aire du triangle CDG est \begin{aligned}\mathcal{A}(\text{CDG}) &= \dfrac{\text{CD}\times\text{DG}}{2} \\ &= \dfrac{40\times24}{2} \\ &= 480\end{aligned} m^{2}.
L'aire du potager DEFG s'obtient par différence : \mathcal{A}(\text{DEFG}) = \mathcal{A}(\text{CDG}) - \mathcal{A}(\text{CEF}) = 480 - 270 = 210 m^{2}.
Or 210 < 270 : le potager (210 m^{2}) est plus petit que la zone de jeux (270 m^{2}). La direction a tort.

1.QCM (une seule réponse exacte, sans justification demandée). Un sac opaque contient 2 billes rouges, 3 billes vertes et 3 billes bleues. On tire au hasard une bille. Quelle est la probabilité d'obtenir une bille rouge ? Réponses proposées : A. \dfrac25 B. \dfrac14 C. \dfrac38

Le sac contient 2+3+3 = 8 billes en tout, dont 2 rouges.
La probabilité d'obtenir une bille rouge est donc \dfrac28 = \dfrac14. Réponse B.

2.Pour augmenter un prix de 25 %, par quel coefficient multiplicateur faut-il multiplier ce prix ? Réponses proposées : A. 1,25 B. 0,25 C. 0,75

Augmenter de 25 % revient à multiplier par 1+\dfrac{25}{100} = 1+0,25 = 1,25. Réponse A.

3.Sur une figure, un triangle est l'image d'un autre triangle par une transformation dont on donne la représentation graphique (un agrandissement avec changement de sens autour d'un point D). Quelle est cette transformation ? Réponses proposées : A. une translation B. une homothétie de centre D et de rapport -3 C. une homothétie de centre D et de rapport 3

D'après la figure, l'image est plus grande que l'objet de départ et le sens est inversé autour du point D : il s'agit d'une homothétie de centre D dont le rapport est négatif. Réponse B.

4.On considère la fonction f définie par f(x) = -9-7x. Quelle affirmation est correcte ? Réponses proposées : A. f est une fonction affine B. f est une fonction linéaire C. f n'est ni affine ni linéaire

L'expression f(x) = -9-7x est de la forme ax+b avec a=-7 et b=-9 : f est une fonction affine (et non linéaire, puisque b\neq0). Réponse A.

5.Une année-lumière est une unité de longueur valant environ 9 461 milliards de kilomètres. À quelle distance en mètres cela correspond-il ? Réponses proposées : A. 9,461\times10^{15} m B. 9,461\times10^{12} m C. {9,461\times10^{9}} m

9\,461 milliards de km {= 9,461\times10^{3}\times10^{9}} km = 9,461\times10^{12} km.
Il faut ensuite convertir en mètres, en multipliant par 1\,000 = 10^3 : {9,461\times10^{12}\times10^3 = 9,461\times10^{15}} m. Réponse A.

6.Sur une figure, un triangle ABC rectangle en A est représenté, avec un angle de 30^{\circ} en C, et le côté BC mesurant 5 cm. Quelle expression donne la longueur AB en centimètres ? Réponses proposées : A. 5\times\sin30\degres B. 5\times\cos30\degres C. \dfrac{5}{\cos30\degres}

Dans le triangle ABC rectangle en A, le côté [AB] est adjacent à l'angle en C et [BC] est l'hypoténuse, donc, par définition du cosinus,
\cos\widehat{\text{ACB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}, d'où \text{AB} = \text{BC}\times\cos30\degres = 5\times\cos30\degres. Réponse B.

PARTIEA. On considère le programme de calcul suivant : choisir un nombre de départ, calculer son carré, multiplier le résultat par 5, ajouter 4, multiplier par 2, puis enlever 8. 1. Montrer que si l'on choisit 3 comme nombre de départ, le programme donne un résultat égal à 90.

En appliquant chaque étape à 3 : 3^2 = 9, puis 9\times5 = 45, puis 45+4 = 49, puis 49\times2 = 98, puis 98-8 = 90.

2.Un élève choisit 2 comme nombre de départ, un autre choisit -2. Montrer qu'ils obtiennent le même résultat.

Avec 2 comme nombre de départ : {2^2 = 4}, puis 4\times5 = 20, puis {20+4 = 24}, puis 24\times2 = 48, puis 48-8 = 40.
Avec -2 comme nombre de départ : (-2)^2 = 4, puis 4\times5 = 20, puis {20+4 = 24}, puis 24\times2 = 48, puis 48-8 = 40.
Les deux élèves obtiennent bien le même résultat, 40, car 2 et -2 ont le même carré.

3.En notant x le nombre de départ, montrer que le résultat du programme peut s'écrire 10x^2.

En suivant le programme avec x pour nombre de départ : x^2, puis 5x^2, puis 5x^2+4, puis 2\times(5x^2+4) = 10x^2+8, puis 10x^2+8-8 = 10x^2.
Le résultat du programme s'écrit donc bien 10x^2.

PARTIEB. Un élève cherche le ou les nombres de départ donnant 30 comme résultat. Il trace la représentation graphique de la fonction f définie par f(x) = 10x^2 et lit sur le graphique les antécédents de 30. 4. À l'aide d'un graphique (non reproduit ici), donner une valeur approchée des deux antécédents de 30 par la fonction f, sans justifier.

D'après la lecture graphique, les deux antécédents de 30 par f sont environ -1,7 et 1,7.

5.L'élève souhaite affiner la valeur de l'antécédent positif à l'aide d'un tableur, en calculant f(x) pour des valeurs de x allant de 1,60 à 1,80 de 0,01 en 0,01 (colonne A : nombre de départ, colonne B : résultat). 5.a. Quelle formule a-t-il pu saisir dans la cellule B2 avant de l'étirer vers le bas ?

La formule saisie en B2 est =10*A2*A2 (qui calcule 10\times x^2 à partir de la valeur de la cellule A2).

5.b.D'après les valeurs obtenues dans ce tableau, quel nombre de départ donne le résultat le plus proche de 30 ?

Parmi les résultats du tableau, la valeur la plus proche de 30 est 29,929, obtenue pour un nombre de départ de 1,73.

6.Déterminer la valeur exacte du nombre positif cherché par l'élève.

On cherche le nombre positif x tel que 10x^2 = 30.
En divisant les deux membres par 10, on obtient x^2 = 3.
Comme x est positif, x = \sqrt3.

Uneélève programme, avec un logiciel de programmation par blocs, le déplacement d'un lutin pour dessiner des frises faites de carrés et de rectangles. Elle définit trois blocs : le bloc « initialisation » place le lutin en x = -220, y = 0 puis l'oriente à 90^{\circ} (vers la droite) ; le bloc « carré » répète un certain nombre de fois « avancer d'un certain nombre de pas puis tourner d'un certain angle » ; le bloc « rectangle » répète 2 fois « avancer de 100 pas, tourner de 90^{\circ}, avancer de 50 pas, tourner de 90^{\circ} ». 1. Quelles sont les coordonnées du lutin juste après l'exécution du bloc « initialisation » ?

D'après les instructions du bloc, le lutin se retrouve aux coordonnées (-220~;~0).

2.Le bloc « carré » contient une boucle « répéter ... fois » avec, à chaque tour, « avancer de 50 pas » puis « tourner de ... degrés ». Par quelles valeurs faut-il compléter le nombre de répétitions et l'angle de rotation pour que ce bloc dessine bien un carré ?

3.Le bloc « rectangle » fait avancer le lutin de 100 pas, tourner de 90^{\circ}, avancer de 50 pas, tourner de 90^{\circ}, deux fois de suite. Sachant que l'on prend 1 cm pour 20 pas, quelles sont les dimensions du rectangle obtenu, en centimètres ?

Le lutin trace un rectangle dont les côtés mesurent 100 pas et 50 pas.
En convertissant avec 1 cm pour 20 pas : \dfrac{100}{20} = 5 cm et \dfrac{50}{20} = 2,5 cm.
Le bloc « rectangle » dessine donc un rectangle de 5 cm sur 2,5 cm.

4.L'élève écrit un script principal qui, au clic sur le drapeau vert, exécute le bloc « initialisation », puis répète 3 fois le bloc « carré » suivi d'un déplacement de 50 pas, puis répète 3 fois le bloc « rectangle » suivi d'un déplacement de 100 pas. 4.a. Ce script permet-il de tracer une frise faite uniquement de carrés, uniquement de rectangles, ou une frise alternant les deux formes ?

Le script exécute d'abord trois carrés espacés de 50 pas, puis trois rectangles espacés de 100 pas : il dessine donc une frise composée d'abord de 3 carrés, puis de 3 rectangles, et non une alternance des deux formes à chaque motif.

4.b.Écrire, à l'aide des blocs déjà définis, un script permettant de dessiner une frise qui alterne un carré, puis un rectangle, trois fois de suite.

Unmarchand de glaces prépare ses ventes pour l'été suivant à partir des données de juillet et août 2022 : le prix de vente est 2,80 € pour un pot à 1 boule et 3,50 € pour un pot à 2 boules ; la cuillère utilisée forme des boules de 4,2 cm de diamètre. Le tableau des ventes hebdomadaires donne, pour juillet : 453, 649, 786 et 854 pots vendus sur les 4 semaines, et pour août : 860, 1 003, 957 et 838 pots. On rappelle que le volume d'une boule de rayon r est V = \dfrac43\times\pi\times r^3 et que 1 dm^{3} = 1 L. 1. Calculer le nombre moyen de pots de glace vendus par semaine sur l'ensemble de la période (les 8 semaines de juillet et août 2022).

Le nombre total de pots vendus sur les 8 semaines est 453+649+786+854+860+1\,003+957+838 = 6\,400.
Le nombre moyen de pots vendus par semaine est donc \dfrac{6\,400}{8} = 800 pots par semaine.

2.Parmi tous les pots vendus sur cette période, 67 % sont des pots à une boule (les autres étant des pots à deux boules). Calculer la somme totale rapportée par la vente de ces 6 400 pots.

Le nombre de pots à une boule est 6\,400\times\dfrac{67}{100} = 4\,288, et le nombre de pots à deux boules est {6\,400-4\,288 = 2\,112}.
La recette totale est donc 4\,288\times2,80 + 2\,112\times3,50 = 12\,006,40 + 7\,392 = 19 398,40 €.

3.On modélise chaque boule de glace formée par la cuillère par une boule de 4,2 cm de diamètre. 3.a. Montrer que le volume d'une telle boule de glace est d'environ 39 cm^{3}.

Le diamètre étant 4,2 cm, le rayon est r = \dfrac{4,2}{2} = 2,1 cm.
Le volume est V = \dfrac43\times\pi\times2,1^3 = \dfrac43\times\pi\times9,261 \approx 38,79 cm^{3}, soit environ 39 cm^{3} (arrondi à l'unité).

3.b.Le vendeur utilise des bacs de glace de 10 L chacun. En utilisant le volume approché de 39 cm^{3} par boule, combien de boules de glace peut-il fabriquer au maximum avec un bac ?

Comme 1 L = 1 dm^3 = 1\,000 cm^{3}, un bac de 10 L contient 10\times1\,000 = 10\,000 cm^{3} de glace.
Le nombre de boules réalisables est \dfrac{10\,000}{39} \approx 256,4, donc au maximum 256 boules (256 boules complètes, la 257e ne pouvant pas être terminée avec la glace restante).