Brevet : Métropole 2023 (série professionnelle)

1.Un rectangle est partagé en une grille de 30 petits carrés identiques, dont 8 sont grisés. Quelle fraction du rectangle est grisée ?

Il y a 8 carrés grisés sur un total de 30 carrés identiques : la part grisée est donc \dfrac{8}{30}.

2.Compléter l'égalité \dfrac{7}{28} = \dfrac{\ldots}{100} : par quel calcul obtient-on le nombre manquant ?

On cherche un nombre N tel que {\dfrac{7}{28} = \dfrac{N}{100}}. Par produit en croix, {N \times 28 = 7 \times 100}, donc N = 7 \times 100 \div 28. C'est bien ce calcul, 7 \times 100 \div 28, qui donne la valeur manquante (et l'on vérifie que 7\times100\div28 = 25, ce qui redonne bien \dfrac{25}{100}=\dfrac{7}{28} après simplification).

3.Un petit cube plein a une arête de 1 cm. Quel est son volume ?

Le volume d'un cube d'arête a est a^3. Ici a = 1 cm, donc V = 1^3 = 1 cm^{3}.

4.Un dé à 12 faces est lancé 10 fois ; la série obtenue est : 4 ; 8 ; 10 ; 5 ; 3 ; 8 ; 1 ; 8 ; 7 ; 6. Quelle est la fréquence d'apparition de la face 8 ?

La face 8 apparaît 3 fois (aux lancers n^{\circ}2, n^{\circ}6 et n^{\circ}8) sur 10 lancers au total. La fréquence est donc \dfrac{3}{10} = 0,30.

5.Dans un triangle ABC rectangle en B, quelle expression donne le cosinus de l'angle \widehat{\mathrm{ACB}} ?

Dans le triangle ABC rectangle en B, l'hypoténuse est [AC]. Pour l'angle \widehat{\mathrm{ACB}}, le côté adjacent est [BC]. D'après la formule du cosinus (côté adjacent sur hypoténuse) : \cos(\widehat{\mathrm{ACB}}) = \dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}.

Lepetit pot (pot 1) a un diamètre D_1 = 10 cm et une hauteur h_1 = 15 cm. Le grand pot (pot 2) est un agrandissement de coefficient 3 du petit pot : son diamètre et sa hauteur sont donc 3 fois plus grands. On rappelle que le volume d'un cylindre de rayon R et de hauteur h est V = \pi \times R^2 \times h, avec \pi \approx 3,14. ; 1. Donner le rayon R_1 du petit pot.

Le rayon est la moitié du diamètre : R_1 = D_1 \div 2 = 10 \div 2 = 5 cm.

2.Calculer le volume V_1 du petit pot, arrondi au dixième de cm^{3}.

V_1 = \pi \times R_1^2 \times h_1 \approx 3,14 \times 5^2 \times 15 = 3,14 \times 25 \times 15 = 1\,177,5. Le volume du petit pot est donc environ 1 177,5 cm^{3}.

3.Donner le rayon R_2 du grand pot.

Le grand pot est un agrandissement de coefficient 3 du petit pot, donc {R_2 = 3 \times R_1 = 3 \times 5 =} 15 cm.

4.Donner la hauteur h_2 du grand pot.

De même, h_2 = 3 \times h_1 = 3 \times 15 = 45 cm.

5.Calculer le volume V_2 du grand pot, arrondi au dixième de cm^{3}.

V_2 = \pi \times R_2^2 \times h_2 \approx 3,14 \times 15^2 \times 45 = 3,14 \times 225 \times 45 = 31\,792,5. Le volume du grand pot est donc environ 31 792,5 cm^{3}.

6.Un client affirme : « Quand on agrandit un cylindre avec un coefficient 3, son volume est multiplié par 27. » Cette affirmation est-elle vraie ?

En reprenant les expressions générales, \begin{aligned}V_2 &= \pi \times R_2^2 \times h_2 \\ &= \pi \times (3R_1)^2 \times (3h_1) \\ &= \pi \times 9R_1^2 \times 3h_1 \\ &= 27 \times (\pi \times R_1^2 \times h_1) \\ &= 27 \times V_1\end{aligned} On peut aussi le vérifier numériquement : \dfrac{31\,792,5}{1\,177,5} = 27. L'affirmation est donc vraie : agrandir un cylindre avec un coefficient 3 multiplie bien son volume par 3^3 = 27.

Uneassociation de jardins partagés compte 60 membres, répartis selon 5 objectifs d'adhésion (être autosuffisant, profiter d'un loisir, agir pour l'environnement, partager avec les autres, être en contact avec la nature). Un diagramme en bâtons donne l'effectif de membres correspondant à chacun de ces cinq objectifs, le total des cinq effectifs représentant l'ensemble des 60 membres de l'association. ; 1. Combien de membres ont adhéré pour l'objectif 3 (agir pour l'environnement) ?

D'après le diagramme, la hauteur de la barre associée à l'objectif 3 indique 12 membres.

2.Combien de membres ont adhéré pour l'objectif 5 (être en contact avec la nature), et quel pourcentage cela représente-t-il ?

D'après le diagramme, 30 membres ont adhéré pour l'objectif 5. Sur un total de 60 membres, cela représente {\dfrac{30}{60} \times 100 = 50}. Le pourcentage de membres ayant adhéré pour l'objectif 5 est donc de 50 %.

3.aUn tableau donne la répartition des adhérents par tranche d'âge : moins de 20 ans \rightarrow 12 ; de 20 à 60 ans inclus \rightarrow 29 ; plus de 60 ans \rightarrow cellule à compléter (notée B4) ; total \rightarrow 60. Quelle valeur doit apparaître en cellule B4 ?

Le total des trois tranches d'âge doit être égal à 60. Les deux premières tranches comptent 12+29=41 membres, donc la tranche « plus de 60 ans » compte 60-41= 19 membres.

3.bSachant que B2 contient 12, B3 contient 29 et B5 contient le total 60, quelle formule permet de calculer automatiquement la valeur de B4 dans un tableur ?

Il faut retrancher du total (B5) les effectifs déjà connus des deux autres tranches (B2 et B3) : la formule à saisir en B4 est = B5 - (B2 + B3).

3.cSur un diagramme circulaire représentant les trois tranches d'âge, comment se répartissent les trois secteurs en termes de taille relative ?

3.dUn adhérent affirme : « Plus d'un quart des membres a moins de 20 ans. » Cette affirmation est-elle exacte ?

Un quart des 60 membres correspond à 60 \div 4 = 15 membres. Or seuls 12 membres ont moins de 20 ans, et {12 < 15}. L'affirmation est donc fausse : moins d'un quart des membres (et non plus d'un quart) a moins de 20 ans.

L'association souhaite installer un poulailler sur un terrain rectangulaire de 7 m de longueur sur 4 m de largeur. Le poulailler est construit à partir de plusieurs cadres (un cadre latéral en forme de maison, un cadre posé au sol). Le cadre latéral, schématisé par un triangle isocèle PLT posé sur un rectangle, a pour dimensions : PR = 1,6 m (hauteur du triangle) et PL = PT = 1,75 m (les deux côtés obliques égaux), où R est le pied de la hauteur issue de P, milieu de [TL], et le triangle PRL est rectangle en R. ; 1. Parmi les figures planes qui composent la vue éclatée du poulailler (rectangles et triangles), quelles formes reconnaît-on ?

La vue éclatée du poulailler fait apparaître trois rectangles et deux triangles isocèles, correspondant aux faces latérales, à la base et aux deux pans du toit du poulailler.

2.aEn utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle PRL rectangle en R, calculer RL, arrondie au centième de mètre.

Dans le triangle PRL rectangle en R, l'hypoténuse est [PL] : \mathrm{PL}^2 = \mathrm{PR}^2 + \mathrm{RL}^2. On en déduit \mathrm{RL}^2 = \mathrm{PL}^2 - \mathrm{PR}^2 = 1,75^2 - 1,6^2 = 3,0625 - 2,56 = 0,5025. Une longueur étant positive : {\mathrm{RL} = \sqrt{0,5025} \approx 0,70887}, soit, arrondi au centième, RL \approx 0,71 m.

2.bR étant le milieu de [TL], en déduire la largeur TL du cadre posé au sol, arrondie au centième de mètre.

Puisque R est le milieu de [TL], on a \mathrm{TL} = 2 \times \mathrm{RL} \approx 2 \times 0,71 = 1,42 m.

2.cEn déduire l'aire, en m^{2}, de la surface au sol délimitée par le cadre du poulailler, sachant que sa longueur est de 2,50 m.

L'emprise au sol du poulailler est un rectangle de longueur 2,50 m et de largeur 1,42 m : son aire est donc {2,50 \times 1,42 =} 3,55 m^{2} environ.

3.Le modèle acheté a pour emprise au sol un rectangle de longueur 2,50 m et de largeur 1,42 m. Un adhérent affirme qu'il est possible de placer six poulaillers sur le terrain de 7 m sur 4 m. A-t-il raison ?

Deuxprogrammes sont réalisés avec le logiciel Scratch. Le programme A demande une valeur, la stocke dans la variable x, puis calcule « x = x \times 6 » et affiche le résultat. Le programme B demande une valeur, la stocke dans x, calcule « x = x \times 2 », puis « x = x + 26 », et affiche le résultat. ; 1. Quel résultat affiche le programme A si la valeur saisie est 5 ?

Le programme A multiplie la valeur saisie par 6 : 5 \times 6 = 30. C'est le résultat affiché.

2.Quel résultat affiche le programme B si la valeur saisie est 4 ?

3.Comment regrouper en une seule instruction les deux étapes de calcul du programme B (multiplier par 2, puis ajouter 26) ?

Les deux étapes peuvent être combinées en une seule instruction imbriquée : mettre x à (x \times 2) + 26, qui effectue la multiplication puis l'addition en une seule fois.

4.En notant x le nombre saisi au départ, donner l'expression algébrique de chacun des deux programmes.

5.Existe-t-il un nombre de départ pour lequel les deux programmes affichent le même résultat ? Si oui, lequel ?

On cherche x tel que les deux expressions soient égales : 6x = 2x+26. En soustrayant 2x aux deux membres : 6x-2x=26, soit 4x=26, donc {x = \dfrac{26}{4} =} 6,5. Il existe donc bien un unique nombre de départ, 6,5, pour lequel les deux programmes affichent le même résultat (on peut vérifier : 6\times6,5=39 et 2\times6,5+26=13+26=39).