Brevet : Métropole 2023

1.Un opticien a vendu cinq modèles de lunettes de soleil en 2022. Le tableur indique, pour chaque modèle, le nombre de paires vendues (1200, 950, 875, 250, 300) et le prix unitaire en euros (75, 100, 110, 140, 160). Montrer que l'étendue des prix de ces paires de lunettes est de 85 €.

L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
Le prix le plus élevé est 160 € (modèle 5) et le prix le plus bas est 75 € (modèle 1).
L'étendue vaut donc 160 - 75 = 85 €.

2.aQuelle formule saisir dans la cellule G2 pour obtenir le nombre total de paires vendues en 2022 ?

Il faut saisir dans la cellule G2 la formule =SOMME(B2:F2), qui additionne le contenu des cellules B2 à F2.

2.bCalculer le nombre total de paires de lunettes vendues en 2022.

Le nombre total de paires vendues est 1200 + 950 + 875 + 250 + 300 = 3 575 paires.

3.aCalculer le montant total, en euros, des ventes de paires de lunettes en 2022.

Pour chaque modèle, la recette est le nombre de paires vendues multiplié par le prix unitaire.
Le montant total des ventes est 1200 \times 75 + 950 \times 100 + 875 \times 110 + 250 \times 140 + 300 \times 160.
Soit 90~000 + 95~000 + 96~250 + 35~000 + 48~000 = 364 250 €.

3.bCalculer le prix moyen d'une paire de lunettes vendue en 2022, arrondi au centime près.

Le prix moyen s'obtient en divisant le montant total des ventes par le nombre total de paires vendues.
On calcule \dfrac{364~250}{3~575} \approx 101{,}888.
En arrondissant au centime, le prix moyen d'une paire de lunettes vendue en 2022 est donc d'environ 101,89 €.

1.La figure représente un rectangle BCDE et un triangle rectangle en A, BAE, avec AB = BC = 4,2 cm et EB = EF = 7 cm ; la perpendiculaire à (CD) passant par A coupe cette droite en H, et les droites (AE) et (CD) se coupent en F. Montrer que l'aire du rectangle BCDE est égale à 29,4 cm^{2}.

BCDE est un rectangle, donc son aire est le produit de deux côtés consécutifs : \mathcal{A} = BC \times EB.
On calcule \mathcal{A} = 4{,}2 \times 7 = 29,4 cm^{2}.

2.aMontrer que la longueur AE est égale à 5,6 cm.

Le triangle ABE est rectangle en A, donc, d'après le théorème de Pythagore : BE^{2} = AB^{2} + AE^{2}.
On en tire \begin{aligned}AE^{2} &= BE^{2} - AB^{2} \\ &= 7^{2} - 4{,}2^{2} \\ &= 49 - 17{,}64 \\ &= 31{,}36\end{aligned}
Comme AE est une longueur positive, AE = \sqrt{31{,}36} = 5,6 cm.

2.bCalculer l'aire du triangle rectangle ABE.

Le triangle ABE est rectangle en A, donc son aire vaut la moitié du produit des deux côtés de l'angle droit.
\mathcal{A}(ABE) = \dfrac{AB \times AE}{2} = \dfrac{4{,}2 \times 5{,}6}{2} = 11,76 cm^{2}.

3.aMontrer que les droites (ED) et (HA) sont parallèles.

D'après les données de la figure, (HA) est perpendiculaire à (CD), c'est-à-dire à la droite (FH).
De même, (ED) est perpendiculaire à (CD), donc à la droite (FH), puisque BCDE est un rectangle.
Or deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles.
Donc les droites (ED) et (HA) sont parallèles.

3.bCalculer la longueur AH.

On calcule d'abord \begin{aligned}FA &= FE + EA \\ &= 7 + 5{,}6 \\ &= 12{,}6\end{aligned} cm.
Les points F, E, A sont alignés et les points F, D, H sont alignés dans le même ordre.
Les droites (ED) et (HA) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{FE}{FA} &= \dfrac{FD}{FH} \\ &= \dfrac{ED}{AH}\end{aligned}
d'où \dfrac{FE}{FA} = \dfrac{ED}{AH}, soit \dfrac{7}{12{,}6} = \dfrac{4{,}2}{AH} (car ED = BC = 4,2 cm, côtés opposés du rectangle BCDE).
donc AH = \dfrac{4{,}2 \times 12{,}6}{7} = 7,56 cm.

1.Dans une classe de 25 élèves, 60 % des élèves sont des filles. Combien y a-t-il de filles dans cette classe ?

On calcule 60 % de 25 : \begin{aligned}25 \times \dfrac{60}{100} &= 25 \times 0{,}6 \\ &= 15\end{aligned}
Il y a donc 15 filles dans cette classe : réponse B.

2.Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 126 ?

On décompose progressivement : \begin{aligned}126 &= 2 \times 63 \\ &= 2 \times 9 \times 7 \\ &= 2 \times 3^{2} \times 7\end{aligned}
La décomposition en facteurs premiers de 126 est donc 2 \times 3^{2} \times 7 : réponse C.

3.Un sac contient 17 jetons rouges, 23 jetons jaunes et 20 jetons bleus, tous indiscernables au toucher. Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton rouge ou un jeton jaune ?

Le sac contient au total {17 + 23 + 20 = 60} jetons.
Les tirages favorables (rouge ou jaune) sont au nombre de 17 + 23 = 40.
La probabilité cherchée est donc {\dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}} : réponse A.

4.Sur un octogone régulier de centre O, quelle est l'image du segment [DC] par la rotation de centre O qui transforme A en D ?

Les sommets de l'octogone régulier sont régulièrement espacés autour de O, chaque angle au centre entre deux sommets consécutifs mesurant {\dfrac{360}{8} = 45^{\circ}}.
Pour transformer A en D, il faut tourner de 3 sommets dans le sens direct de la figure, soit un angle de 3 \times 45 = 135^{\circ}.
Cette même rotation transforme alors D en G, et C en F : le segment [DC] a donc pour image le segment [GF] : réponse B.

5.Quel est le volume d'un pavé droit de hauteur 1,5 m et de base rectangulaire de 2 m de longueur et 1,3 m de largeur (on rappelle que 1 m^{3} = 1 000 L) ?

Le volume d'un pavé droit est le produit longueur \times largeur \times hauteur.
V = 2 \times 1{,}3 \times 1{,}5 = 3,9 m^{3}.
En convertissant en litres : 3{,}9 \times 1~000 = 3 900 L : réponse B.

1.aOn veut fabriquer un escalier en bois de hauteur totale 272 cm, chaque marche ayant une hauteur de 17 cm et une profondeur de 27 cm. Montrer qu'il faut prévoir 16 marches.

Le nombre de marches s'obtient en divisant la hauteur totale de l'escalier par la hauteur d'une marche.
\dfrac{272}{17} = 16 marches.

1.bMontrer que la longueur AB est égale à 432 cm.

La longueur AB (la base de l'escalier) correspond à la somme des profondeurs des 16 marches.
AB = 16 \times 27 = 432 cm.

2.aPour permettre une montée agréable, l'angle \widehat{BAC} doit être compris entre 25^{\circ} et 40^{\circ}. Calculer la mesure de l'angle \widehat{BAC}, arrondie au degré près.

Le triangle ABC est rectangle en B, avec BC = 272 cm (hauteur totale) et AB = 432 cm (longueur totale).
D'après la trigonométrie dans le triangle rectangle (SOH-CAH-TOA), le côté BC est opposé à l'angle \widehat{BAC} et AB lui est adjacent, donc \begin{aligned}\tan(\widehat{BAC}) &= \dfrac{BC}{AB} \\ &= \dfrac{272}{432} \\ &\approx 0{,}6296\end{aligned}
À la calculatrice, on trouve \widehat{BAC} \approx 32{,}2^{\circ}, soit, au degré près, \widehat{BAC} \approx 32^{\circ}.

2.bL'escalier permet-il une montée agréable ?

Comme {25 < 32 < 40}, l'angle \widehat{BAC} est bien compris entre 25^{\circ} et 40^{\circ} : l'escalier permet une montée agréable.

3.Un programme Scratch, où 1 cm dans la réalité correspond à 1 pas dans le programme, doit dessiner cet escalier vu de profil (une marche étant tracée en avançant d'une hauteur, en tournant, puis en avançant d'une profondeur). Compléter les lignes du programme qui répète la construction d'une marche.

1.aDeux programmes de calcul sont proposés : le programme A consiste à choisir un nombre, le multiplier par -2, puis ajouter 5 au résultat. Montrer que, si on choisit -3 comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est 11.

On applique les étapes du programme A à -3 : on multiplie d'abord par -2, ce qui donne (-2) \times (-3) = 6.
On ajoute ensuite 5 au résultat : 6 + 5 = 11, ce qui confirme la valeur annoncée.

1.bLe programme B consiste à choisir un nombre, lui soustraire 5, multiplier le résultat par 3, puis ajouter 11 au résultat. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit 5,5 comme nombre de départ ?

On applique les étapes du programme B à 5{,}5 : on soustrait d'abord 5, ce qui donne 5{,}5 - 5 = 0{,}5.
On multiplie ensuite par 3 : 3 \times 0{,}5 = 1{,}5.
On ajoute enfin 11 : 1{,}5 + 11 = 12,5.

2.En désignant par x le nombre de départ, on obtient -2x+5 comme résultat avec le programme A. Montrer qu'avec le même nombre de départ, le résultat du programme B est égal à 3x-4.

Avec le nombre de départ x, le programme B donne d'abord x - 5.
En multipliant par 3 : 3(x-5) = 3x - 15.
En ajoutant enfin 11 : {3x - 15 + 11 =} 3x - 4, ce qui est bien le résultat annoncé.

3.aLes fonctions f et g sont définies par f(x) = -2x+5 et g(x) = 3x-4 (ce sont les résultats des programmes A et B en fonction du nombre de départ x). Ces deux fonctions sont représentées par deux droites sur un graphique. Associer, en justifiant, chaque droite à la fonction qui lui correspond.

Les fonctions f et g sont des fonctions affines, donc représentées chacune par une droite.
La fonction g a un coefficient directeur 3 > 0 : elle est croissante, donc représentée par la droite croissante du graphique.
La fonction f a un coefficient directeur -2 < 0 : elle est décroissante, donc représentée par la droite décroissante du graphique.
Chaque droite est ainsi identifiée par le sens de variation de la fonction qu'elle représente.

3.bPar lecture graphique, donner, le plus précisément possible, le nombre dont l'image est la même par la fonction f et la fonction g.

Le nombre cherché est l'abscisse du point d'intersection des deux droites représentant f et g.
Par lecture graphique, ce point a pour abscisse environ x \approx 1,8.

4.Déterminer par le calcul le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat.

On cherche x tel que f(x) = g(x), c'est-à-dire -2x + 5 = 3x - 4.
En regroupant les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre : {5 + 4 = 3x + 2x}, soit 9 = 5x.
On en déduit x = \dfrac{9}{5} = 1,8, ce qui confirme la lecture graphique précédente.