Brevet : Nouvelle-Calédonie 2023 (série professionnelle)
Épreuve normale : série professionnelle du 7 décembre 2023 : série professionnelle, 5 exercices.
Exercice 1 : Devis d'une installation solaire 26 points
Partie1 ; 1. Olivier veut faire installer des panneaux solaires chez lui. Pourquoi souhaite-t-il investir dans une telle installation ?
Le prix de l'électricité ayant augmenté, Olivier souhaite installer des panneaux solaires afin de produire sa propre électricité et ainsi réduire ses factures.
Partie1 ; 2. Un premier commerçant propose un tarif proportionnel à la puissance de l'installation : 3 kW pour 500 000 F CFP, 6 kW pour 1 000 000 F CFP, 9 kW pour 1 500 000 F CFP et 36 kW pour 6 000 000 F CFP. Calculer le coefficient de proportionnalité, arrondi à l'unité.
- On vérifie d'abord que les couples sont proportionnels : \begin{aligned}\dfrac{1\,000\,000}{6} &= \dfrac{1\,500\,000}{9} \\ &= \dfrac{6\,000\,000}{36} \\ &\approx 166\,667\end{aligned} et \dfrac{500\,000}{3} \approx 166\,667 également.
- Le coefficient de proportionnalité, qui permet de passer de la puissance (en kW) au coût (en F CFP), est donc \dfrac{500\,000}{3} \approx 166 667 (arrondi à l'unité).
Partie1 ; 3. Représenter, dans un repère, le coût de l'installation en fonction de la puissance, pour ce premier commerçant.
Il s'agit de placer les quatre points de coordonnées (3~;~500\,000), (6~;~1\,000\,000), (9~;~1\,500\,000) et (36~;~6\,000\,000), l'axe des abscisses portant la puissance (en kW) et l'axe des ordonnées le coût (en F CFP). Ces quatre points sont alignés avec l'origine du repère, ce qui traduit la situation de proportionnalité.
Partie2 ; 4. Un deuxième commerçant facture 140 000 F CFP par kW installé, plus 100 000 F CFP de pose. En notant x le nombre de kW installés, laquelle des trois expressions 100\,000x+140\,000, {140\,000x+100\,000} ou 240\,000x donne le coût total ?
Le prix dépend du nombre de kW x à raison de 140 000 F CFP chacun, auquel s'ajoutent 100 000 F CFP fixes pour la pose : c'est donc l'expression {140\,000x + 100\,000} qui donne le coût total.
Partie2 ; 5. Calculer, avec ce deuxième commerçant, le coût total d'une installation de 6 kW avec la pose.
- Coût de l'installation (6 kW à 140 000 F CFP le kW) : 6 \times 140\,000 = 840\,000 (F CFP).
- En ajoutant la pose : {840\,000 + 100\,000 = 980\,000}.
- Le coût total chez le deuxième commerçant est donc de 980 000 F CFP.
Partie3 ; 6. Un troisième commerçant présente un devis à compléter : onduleur 150 000 F CFP (1 unité, 450 000 F CFP de panneaux photovoltaïques pour 18 unités), support métallique 15 000 F CFP l'unité (18 unités, 270 000 F CFP), câbles à 10 000 F CFP l'unité (montant 50 000 F CFP), pose 140 000 F CFP, CONSUEL 25 000 F CFP, remise de 10 % et prix à payer de 976 500 F CFP. Compléter les cases manquantes (prix unitaire des panneaux, quantité de câbles, total, remise).
- Prix unitaire d'un panneau photovoltaïque : 450\,000 \div 18 = 25 000 F CFP.
- Quantité de câbles : 50\,000 \div 10\,000 = 5 câbles.
- Montant total avant remise : 150\,000 + 450\,000 + 270\,000 + 50\,000 + 140\,000 + 25\,000 = 1 085 000 F CFP.
- Montant de la remise de 10 % : 1\,085\,000 \times 0{,}1 = 108 500 F CFP.
- Prix à payer : {1\,085\,000 - 108\,500 = 976\,500} F CFP, ce qui correspond bien à la valeur donnée.
Partie3 ; 7. En comparant les trois devis (1 000 000 F CFP, 980 000 F CFP et 976 500 F CFP pour 6 kW), quel commerçant Olivier devrait-il choisir pour payer le moins cher ?
Le premier commerçant demande 1 000 000 F CFP, le deuxième 980 000 F CFP et le troisième 976 500 F CFP. Comme 976\,500 < 980\,000 < 1\,000\,000, c'est le troisième commerçant qui propose le devis le moins cher : Olivier devrait donc choisir cette offre.
Exercice 2 : Production solaire 18 points
1.Un graphique donne la puissance produite (en W) par l'installation d'Olivier au cours d'une journée. Sur quel intervalle horaire peut-on observer une production d'électricité par les panneaux ?
La courbe n'est non nulle qu'entre les deux graduations où elle décolle de l'axe et y revient : la production est observée de 5 h à 18 h.
2.aLire graphiquement la puissance produite à 7 h.
En lisant l'ordonnée du point de la courbe correspondant à l'abscisse 7 h, on trouve une puissance d'environ 1 600 W.
2.bLire graphiquement la puissance produite à 16 h 30.
En lisant l'ordonnée du point de la courbe correspondant à l'abscisse 16 h 30, on trouve une puissance d'environ 1 000 W.
3.À partir de quelle heure la puissance produite dépasse-t-elle 4 600 W ?
En cherchant sur le graphique les instants où la courbe franchit l'horizontale de niveau 4 600 W, on lit que la puissance dépasse 4 600 W entre 10 h et 13 h environ.
4.Lire graphiquement la puissance maximale atteinte, et l'intervalle de temps durant lequel cette puissance maximale est atteinte.
Le sommet de la courbe correspond à une puissance maximale d'environ 5 000 W, atteinte entre 11 h et 12 h environ.
5.La courbe présente un creux marqué en milieu de journée. Donner la durée de ce passage nuageux.
Le creux se situe environ entre 13 h et 14 h 30 : le passage nuageux dure donc environ 1 h 30 min.
Exercice 3 : Loterie 20 points
Partie1 ; 1. Une roue de la fortune (roulette) comporte 16 secteurs identiques répartis ainsi : 4 secteurs « PERDU », 4 secteurs « porte-clé », 2 secteurs « 1 panneau », 2 secteurs « 2 panneaux », 2 secteurs « remise 5 % » et 2 secteurs « remise 10 % ». Citer les issues qui permettent de gagner un lot.
Sur les 16 secteurs de la roue, seuls les 4 secteurs « PERDU » ne rapportent rien. Les issues gagnantes sont donc « porte-clé », « 1 panneau », « 2 panneaux », « remise 5 % » et « remise 10 % », soit 16-4= 12 secteurs gagnants au total.
Partie1 ; 2. Quelle est la probabilité de gagner « 2 panneaux » lors d'un lancer ?
Il y a 2 secteurs « 2 panneaux » sur 16 secteurs équiprobables : la probabilité recherchée est \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8} = 0,125.
Partie1 ; 3. Quelle(s) issue(s) ont une probabilité de gagner de 25 % lors d'un lancer ?
- \begin{aligned}25\,\% &= \dfrac{25}{100} \\ &= \dfrac{1}{4}\end{aligned} ce qui correspond, sur une roue à 16 secteurs, à \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{16} secteurs.
- Il faut donc une issue représentée par 4 secteurs identiques : c'est le cas des 4 secteurs « porte-clé ».
Partie2 ; 4. Un tableau relève les 25 résultats obtenus par les clients ayant tourné la roue lors du salon de l'habitat. Compléter le tableau des effectifs et des fréquences pour chaque gain possible (PERDU, porte-clé, 1 panneau, 2 panneaux, remise 5 %, remise 10 %).
- En comptant les 25 résultats donnés, on obtient : PERDU : 10 ; porte-clé : 6 ; 1 panneau : 3 ; 2 panneaux : 2 ; remise 5 % : 2 ; remise 10 % : 2 (soit bien 10+6+3+2+2+2=25 au total).
- Les fréquences correspondantes sont : \dfrac{10}{25} ; \dfrac{6}{25} ; \dfrac{3}{25} ; \dfrac{2}{25} ; \dfrac{2}{25} ; \dfrac{2}{25} (de somme \dfrac{25}{25}=1).
Exercice 4 : Vrai ou faux : fixation de panneaux solaires 18 points
Affirmation 1. Un tableau de rendement selon l'orientation et l'inclinaison indique, entre autres, 95 % pour Sud-Ouest/35^{\circ} et 100 % pour Sud/35^{\circ}. Affirmation : « Pour un rendement optimal, les panneaux doivent être orientés Sud-Ouest et inclinés de 35^{\circ}. » Vrai ou faux ?
Faux. Le tableau indique un rendement de 95 % pour l'orientation Sud-Ouest inclinée à 35^{\circ}, alors que l'orientation Sud à la même inclinaison de 35^{\circ} atteint 100 %, qui est la meilleure valeur du tableau. Le rendement optimal est donc obtenu avec une orientation Sud, et non Sud-Ouest.
Affirmation 2. Un panneau solaire rectangulaire mesure 200 cm de longueur et 100 cm de largeur. Affirmation : « Son aire est de 600 cm^{2}. » Vrai ou faux ?
Faux. L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur : 200 \times 100 = 20 000 cm^{2}, ce qui est très différent des 600 cm^{2} annoncés.
Affirmation 3. Un schéma représente un support de fixation formant un triangle ABC, avec AB = 160 cm, BC = 120 cm et AC = 200 cm. Affirmation : « Le triangle ABC est rectangle en B. » Vrai ou faux ?
- On compare \text{AB}^2+\text{BC}^2 et \text{AC}^2 : \begin{aligned}160^2+120^2 &= 25\,600+14\,400 \\ &= 40\,000\end{aligned} et 200^2 = 40\,000.
- Comme \text{AB}^2+\text{BC}^2 = \text{AC}^2, la réciproque du théorème de Pythagore permet d'affirmer que le triangle ABC est rectangle, l'hypoténuse étant le côté [AC] opposé au sommet B.
- L'affirmation est donc vraie : le triangle ABC est bien rectangle en B.
Affirmation 4. Dans ce même triangle ABC rectangle en B (AB = 160 cm, BC = 120 cm, AC = 200 cm), un angle \alpha en A est formé entre le support et le toit. Affirmation : « L'angle \alpha mesure 37^{\circ} arrondi à l'unité. » Vrai ou faux ?
- Dans le triangle ABC rectangle en B, le côté [AB] est adjacent à l'angle \alpha (en A) et [AC] est l'hypoténuse : \begin{aligned}\cos(\alpha) &= \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} \\ &= \dfrac{160}{200} \\ &= 0{,}8\end{aligned}
- Attention : parmi les longueurs disponibles, c'est bien AB = 160 (le côté du toit) qui est adjacent à l'angle en A, et non BC.
- La calculatrice donne \begin{aligned}\alpha &= \arccos(0{,}8) \\ &\approx 36{,}9^{\circ}\end{aligned} soit 37^{\circ} arrondi à l'unité : l'affirmation est donc vraie.
Exercice 5 : Stickers auto (Scratch) 18 points
1.Un autocollant en forme d'étoile a été dessiné sur Scratch. Combien de branches possède cette étoile ?
En comptant les pointes visibles sur le dessin de l'étoile, on trouve que celle-ci possède 5 branches.
2.Trois scripts Scratch sont proposés : programme A (répéter 5 fois : avancer 50 pas, tourner à droite de 144^{\circ}, avancer 50 pas, tourner à gauche de 72^{\circ}), programme B (répéter 6 fois : avancer 50 pas, tourner à droite de 120^{\circ}, avancer 50 pas, tourner à gauche de 60^{\circ}), programme C (répéter 8 fois : avancer 30 pas, tourner à droite de 90^{\circ}, avancer 30 pas, tourner à gauche de 45^{\circ}). Trois figures étoilées à 5, 6 et 8 branches sont proposées : associer chaque programme à la figure qu'il permet de dessiner.
- Le nombre de répétitions de la boucle correspond au nombre de branches de l'étoile dessinée : le programme A répète 5 fois (étoile à 5 branches), le programme B répète 6 fois (étoile à 6 branches), et le programme C répète 8 fois (étoile à 8 branches).
- Le programme A correspond à la figure à 5 branches, le programme B à la figure à 6 branches, et le programme C à la figure à 8 branches.
3.Sébastien a écrit un script pour tracer un « S » (une moitié noire à 5 segments partant du point de départ, puis une moitié grise à 6 segments), mais des taches de café cachent certaines valeurs : la couleur A, le nombre de répétitions B (tourner à gauche de 45^{\circ}), la couleur C, le nombre de répétitions D (tourner à droite de E degrés). Retrouver les valeurs de A, B, C, D et E.
- En comptant les segments du dessin final : la première moitié tracée (à partir du point de DÉPART) compte 5 segments, la seconde en compte 6 ; les deux forment ensemble le « S » avec un virage de 45^{\circ} à chaque segment.
- A = noir (couleur de la première moitié tracée), B = 5 (nombre de répétitions de la première boucle).
- C = gris clair (couleur de la seconde moitié tracée), D = 6 (nombre de répétitions de la seconde boucle), E = 45 (l'angle de virage, identique dans les deux boucles pour prolonger régulièrement le tracé du « S »).
Corrigé rédigé par Logimaths à partir du sujet officiel du Ministère de l'Éducation nationale (éduscol.education.gouv.fr).