Brevet : Nouvelle-Calédonie 2023

1.D'après des chercheurs, la probabilité qu'une personne subisse une attaque mortelle de requin au cours de sa vie est l'une des trois valeurs suivantes : 2,7\times10^{-7}, 2,7\times10^{0} ou {2,7\times10^{7}}. Laquelle ?

Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Or 2,7\times10^{0}=2,7 et {2,7\times10^{7}} sont bien supérieurs à 1 : seule 2,7\times10^{-7} (un nombre très petit, proche de 0) peut être une probabilité.

2.Calculer \dfrac35 - \dfrac25\times\dfrac74.

On commence par le produit : \begin{aligned}\dfrac25\times\dfrac74 &= \dfrac{2\times7}{5\times4} \\ &= \dfrac{14}{20} \\ &= \dfrac{7}{10}\end{aligned}
On met ensuite les deux fractions au même dénominateur : \dfrac35 = \dfrac{6}{10}, donc \begin{aligned}\dfrac35-\dfrac25\times\dfrac74 &= \dfrac{6}{10}-\dfrac{7}{10} \\ &= -\dfrac{1}{10}\end{aligned}

3.Un pantalon vendu 80 € est affiché à 60 € sur un site. Quel est le pourcentage de réduction ?

La réduction représente 80-60=20 € sur un prix de départ de 80 €.
Le taux de réduction est donc \begin{aligned}\dfrac{20}{80} &= \dfrac{1}{4} \\ &= \dfrac{25}{100}\end{aligned} soit 25 %.

4.ABCD est un parallélogramme de centre E. Que peut-on dire de l'homothétie de centre A qui transforme B en F, où F est le milieu de [AB] ?

Dans un parallélogramme ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu commun E : E est donc le milieu de [AC].
F étant le milieu de [AB], l'homothétie de centre A qui envoie B sur son milieu F a pour rapport \dfrac12 ; cette même homothétie envoie alors C, par le même rapport, sur le milieu de [AC], c'est-à-dire sur E.

5.Déterminer la médiane de la série de valeurs : 11 ; 17 ; 8 ; 14 ; 3 ; 20 ; 5 ; 10 ; 12.

On range d'abord les 9 valeurs par ordre croissant : 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14 ; 17 ; 20.
Comme il y a 9 valeurs (nombre impair), la médiane est la 5e valeur de cette liste triée, soit 11.

1.aJosé a récolté 39 salades, 78 carottes et 51 aubergines, sachant que {39 = 3\times13}. Décomposer 78 et 51 en produit de facteurs premiers.

Comme 78 = 2\times39, on obtient {78 = 2\times3\times13}.
Pour 51, on remarque que {51 = 3\times17}, et 17 est un nombre premier : {51 = 3\times17}.

1.bJosé veut préparer des paniers identiques en utilisant tous les légumes récoltés. Quel est le nombre maximum de paniers qu'il peut préparer ?

Le nombre maximum de paniers identiques correspond au plus grand diviseur commun de 39, 78 et 51.
Les décompositions 39=3\times13, \begin{aligned}78 &= 2\times3\times13 \\ &= 3\times26\end{aligned} et 51=3\times17 n'ont en commun que le facteur 3 : le PGCD est donc 3. José peut préparer 3 paniers.

1.cCombien de salades, de carottes et d'aubergines contiendrait chaque panier, avec ce nombre maximum de paniers ?

En répartissant équitablement dans les 3 paniers : 39\div3=13 salades, {78\div3=26} carottes et 51\div3=17 aubergines par panier.

2.aJosé décide finalement de préparer 13 paniers. Combien d'aubergines ne seront pas utilisées ?

On cherche le reste de la division de 51 par 13 : 51 = 13\times3+12 (puisque {13\times3=39} et 51-39=12).
Chaque panier recevra donc 3 aubergines (39 aubergines utilisées sur les 51), et il en restera 12 non utilisées.

2.bCombien doit-il cueillir d'aubergines supplémentaires au minimum pour pouvoir toutes les utiliser dans les 13 paniers ?

Il faut trouver le prochain multiple de 13 après 51 : 13\times4 = 52.
Il manque donc 52-51= 1 aubergine ; avec 52 aubergines, chacun des 13 paniers en recevrait 4.

3.José estime avoir entre 110 et 125 tomates prêtes à être récoltées et souhaite en mettre le même nombre dans chacun des 13 paniers, sans perte. Combien doit-il en cueillir au maximum ?

On cherche un multiple de 13 compris entre 110 et 125.
Or 13\times8=104 (trop petit), 13\times9=117 et 13\times10=130 (trop grand) : le seul multiple de 13 dans cet intervalle est 117=13\times9.
José doit donc cueillir 117 tomates, ce qui permettra d'en placer 9 dans chacun des 13 paniers.

1.Sur le schéma, D, E, B sont alignés ainsi que A, B, G ; on donne AC = 2,5 m, AB = 8 m, BD = 4,3 m et le point E est tel que AEFC est un rectangle (avec BE = AC). Justifier que DE = 1,8 m.

Comme AEFC est un rectangle, BE = AC = 2,5 m.
Sur le segment [BD], on a {\text{DE} = \text{BD}-\text{BE} = 4,3-2,5=} 1,8 m.

2.Sachant que le triangle DEF est rectangle en E et que l'angle \widehat{\text{DFE}} mesure 30^{\circ}, montrer que la longueur DF du toit de la terrasse est égale à 3,6 m.

3.Le toit de la terrasse est un rectangle de longueur 12 m et de largeur 3,6 m. Sachant qu'un rouleau de laine de roche couvre 6 m^{2}, combien de rouleaux Matthieu doit-il acheter ?

L'aire du toit de la terrasse est {12\times3,6=43,2} m^{2}.
Le nombre de rouleaux nécessaires est \dfrac{43,2}{6}=7,2 : comme on ne peut acheter qu'un nombre entier de rouleaux, il faut arrondir à l'entier supérieur, soit 8 rouleaux.

4.Le triangle CDE est rectangle en E, avec DE = 1,8 m et EC = 8 m. Montrer que la longueur CD du toit de la partie habitable est égale à 8,2 m.

5.Le toit de la partie habitable est un rectangle de longueur 12 m et de largeur 8,2 m. Matthieu veut y poser 10 cm de ouate de cellulose, de densité 40 kg/m^{3}. Quelle masse de ouate doit-il acheter ?

L'aire du toit est 12\times8,2=98,4 m^{2}.
L'épaisseur de 10 cm correspond à 0,1 m, donc le volume de ouate nécessaire est 98,4\times0,1=9,84 m^{3}.
Avec une densité de 40 kg par m^{3}, la masse totale est 9,84\times40= 393,6 kg.

1.Le parcours de la randonnée est schématisé par le triangle DMV, avec N sur [DM] et P sur [DV] tels que (NP) et (VM) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (DM). Justifier que (PN) et (VM) sont parallèles.

Les droites (PN) et (VM) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (DM) : deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles, donc (PN) et (VM) sont parallèles.

2.On donne DM = 3,8 km (distance totale de la randonnée), MV = 741 m (altitude maximale) et Fabienne, partie de D, atteint le panneau P après avoir parcouru DP = 3 km. Déterminer l'altitude de Fabienne au panneau P.

Les points D, P, V sont alignés et les points D, N, M sont alignés dans le même ordre.
Les droites (PN) et (VM) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{\text{DP}}{\text{DV}} &= \dfrac{\text{DN}}{\text{DM}} \\ &= \dfrac{\text{PN}}{\text{VM}}\end{aligned}
d'où \dfrac{\text{DP}}{\text{DV}} = \dfrac{\text{PN}}{\text{VM}}, soit \dfrac{3}{3,8} = \dfrac{\text{PN}}{741}.
donc \text{PN} = \dfrac{3\times741}{3,8} = \dfrac{2223}{3,8} \approx 585 m. Fabienne se trouve donc à 585 m d'altitude au panneau P.

3.Fabienne a parcouru les 3 km du trajet [DP] en 2 heures. Quelle est sa vitesse moyenne, en km/h, sur ce trajet ?

La vitesse moyenne est la distance parcourue divisée par la durée : \dfrac{3}{2}= 1,5 km/h.

4.Sur la fin du parcours [PV], Fabienne marche à une vitesse moyenne de 1,2 km/h. La durée totale estimée de la randonnée est de 2 h 30 min. A-t-elle dépassé cette durée ?

1.aUne fonction f est représentée graphiquement par une courbe donnée en annexe. Cette fonction f est-elle une fonction affine ?

Une fonction affine est toujours représentée par une droite. Or la courbe donnée en annexe n'est pas une droite (c'est une courbe, une parabole) : f n'est donc pas une fonction affine.

1.bLe tableau de valeurs de f, lu sur le graphique, donne notamment f(-3) = 0 et f(-2) = -3. Compléter les valeurs de f(-1), f(0), f(1) et f(2).

En lisant les coordonnées des points de la courbe sur le graphique, on obtient f(-1)= -4, f(0)= -3, f(1)= 0 et f(2)= 5.

1.cUne formule saisie dans la cellule B2 d'un tableur, puis étendue en C2, permet de retrouver les valeurs de f à partir de celles de x en ligne 1. Parmi « =B1+3 », « =(B1+3)*(B1-1) » et « =SOMME(B1:G1) », laquelle correspond à f ?

On teste la formule « =B1+3 » avec {x=-3} : elle donnerait -3+3=0, ce qui correspond à f(-3)=0... mais avec x=-2 elle donnerait -2+3=1, alors que f(-2)=-3 : cette formule ne convient pas.
On teste « =(B1+3)*(B1-1) » : avec {x=-3}, \begin{aligned}(-3+3)\times(-3-1) &= 0\times(-4) \\ &= 0\end{aligned} et avec x=-2, \begin{aligned}(-2+3)\times(-2-1) &= 1\times(-3) \\ &= -3\end{aligned} Les deux valeurs correspondent.
La bonne formule est donc « =(B1+3)*(B1-1) ».

2.aOn considère la fonction affine g définie par g(x)=2x+1. Calculer l'image de -2 par g.

g(-2) = 2\times(-2)+1 = -4+1 = -3.

2.bCalculer g(3).

g(3) = 2\times3+1 = 6+1 = 7.

2.cDéterminer l'antécédent de 2 par la fonction g.

On cherche x tel que g(x)=2, c'est-à-dire 2x+1=2.
D'où 2x=1, soit x= \dfrac12.

2.dTracer, sur le graphique de l'annexe, la représentation graphique de la fonction g.

La fonction g étant affine, sa représentation est une droite : il suffit de placer deux de ses points, par exemple (0~;~1) et (3~;~7) (trouvés aux questions précédentes), puis de tracer la droite qui les relie.

3.aOn admet que f(x) = (x+3)(x-1). Développer et réduire cette expression.

En développant : (x+3)(x-1) = x\times x - x\times1 + 3\times x - 3\times1 = x^2-x+3x-3 = x^2+2x-3.

3.bPour quelle(s) valeur(s) de x a-t-on f(x) = g(x) ?

On résout l'équation {x^2+2x-3 = 2x+1}.
En simplifiant (les termes en 2x s'annulent) : x^2-3=1, soit x^2=4.
Cette équation équivaut à x^2-4=0, soit (x-2)(x+2)=0 (identité remarquable).
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul : x-2=0 soit x=2, ou x+2=0 soit x=-2.
Les solutions sont donc x=2 et x=-2.

1.aUn hexagone régulier ABCDEF a tous ses angles internes égaux à 120^{\circ}. Les points A, B et X sont alignés (X extérieur à l'hexagone, du côté de B). Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{XBC}}.

Les angles \widehat{\text{ABC}} (angle intérieur de l'hexagone en B) et \widehat{\text{XBC}} sont supplémentaires, car A, B, X sont alignés : \widehat{\text{ABC}}+\widehat{\text{XBC}}=180^{\circ}.
Comme \widehat{\text{ABC}}=120^{\circ} (angle d'un hexagone régulier), on obtient \widehat{\text{XBC}} = 180-120 = 60^{\circ}.

1.bEn Scratch, un bloc « Hexagone » doit répéter un motif (avancer, puis tourner d'un certain angle) un certain nombre de fois pour tracer un hexagone régulier. Compléter les deux valeurs manquantes (nombre de répétitions et angle de rotation).

2.aUn script utilise le bloc Hexagone dans une boucle « répéter 5 fois », en partant d'une longueur de 32 et en multipliant cette longueur par 1,5 à chaque tour de boucle. Combien d'hexagones réguliers ce script trace-t-il ?

La boucle principale s'exécute 5 fois et trace un hexagone à chaque tour : le script trace donc 5 hexagones réguliers.

2.bQuelle est la longueur des côtés du premier hexagone tracé ?

La variable « longueur » vaut 32 au départ, avant le premier passage dans le bloc Hexagone : les côtés du premier hexagone mesurent donc 32 (unités du lutin).

2.cQuelle est la longueur des côtés du deuxième hexagone tracé ?

Après le premier tour de boucle, la longueur est multipliée par 1,5 : {32\times1,5=} 48 (unités) pour les côtés du deuxième hexagone.

2.dParmi trois dessins proposés (une rangée d'hexagones identiques, une rosace d'hexagones concentriques de même centre, et une spirale d'hexagones de tailles croissantes tournant autour d'un point), lequel correspond à ce script ?

Puisque chaque nouvel hexagone est plus grand que le précédent (la longueur du côté est multipliée par 1,5 à chaque tour) et que le lutin change d'orientation entre deux hexagones, la figure obtenue est une spirale d'hexagones de tailles croissantes : c'est le dessin représentant cette spirale (le troisième des trois dessins proposés).