Brevet : Pays du groupe 1 2023

PartieA (QCM, Scratch) ; Un bloc « triangle équilatéral » fait avancer le lutin de 50 pas puis tourner à gauche d'un certain angle, le tout répété 3 fois, pour tracer un triangle équilatéral. Question 1. Quel angle de rotation faut-il saisir ?

Pour qu'un lutin qui avance en ligne droite revienne exactement à son point de départ en traçant un triangle équilatéral, il doit effectuer un tour complet de 360^{\circ} réparti en 3 rotations égales aux sommets, à l'extérieur de la figure. Chaque angle intérieur d'un triangle équilatéral mesurant 60^{\circ}, l'angle de rotation (extérieur) à saisir est 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}. C'est la réponse C.

Question 2. Le script principal trace deux fois le triangle (avec le bloc « triangle équilatéral »), en tournant de 60^{\circ} entre les deux tracés. Quelle figure obtient-on parmi les trois proposées ?

Le lutin trace un premier triangle équilatéral, relève son stylo, tourne de 60^{\circ}, rabaisse son stylo et trace un second triangle équilatéral identique, mais tourné de 60^{\circ} par rapport au premier autour du même point de départ. Les deux triangles se superposent partiellement en formant une étoile à six branches, ce qui correspond à la figure où le second triangle est pivoté de 60^{\circ} par rapport au premier (et non de 90^{\circ}, ni décalé sur le côté). C'est la réponse C.

Question 3. Que devient la figure si l'on remplace, dans le script principal, « répéter 2 fois » par « répéter 6 fois » ?

En répétant 6 fois la rotation de 60^{\circ} entre deux tracés du triangle équilatéral, on couvre un tour complet (6\times60^{\circ} = 360^{\circ}) : les 6 triangles tracés, tous partant du même point et régulièrement répartis autour de celui-ci, dessinent un polygone régulier à 6 côtés. On obtient donc un hexagone (réponse B).

PartieB (QCM) ; Question 1. Que vaut \left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\times\dfrac{7}{5}\right)\div\dfrac{4}{3}, parmi trois écritures proposées ?

En mettant \dfrac23 et \dfrac13\times\dfrac75 = \dfrac{7}{15} au même dénominateur 15 : \dfrac23 = \dfrac{10}{15}, donc \begin{aligned}\dfrac23-\dfrac{7}{15} &= \dfrac{10}{15}-\dfrac{7}{15} \\ &= \dfrac{3}{15}\end{aligned}
L'expression devient \dfrac{3}{15}\div\dfrac43, ce qui équivaut à \dfrac{3}{15}\times\dfrac34 (diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse). C'est la réponse C.

Question 2. Quelle est l'écriture scientifique de 302{,}4\times10^{18} ?

L'écriture scientifique exige un nombre entre 1 et 10 devant la puissance de 10 : 302{,}4 = 3{,}024\times10^{2}, donc \begin{aligned}302{,}4\times10^{18} &= 3{,}024\times10^{2}\times10^{18} \\ &= 3{,}024\times10^{20}\end{aligned} C'est la réponse B.

Question 3. Une série de 8 biscuits pèse 12 g ; 10 g ; 18 g ; 8 g ; 12 g ; 15 g ; 11 g ; 13 g. Le biscuit de 18 g pesait en réalité 16 g. Une fois cette correction faite, la médiane change-t-elle ?

En rangeant les masses dans l'ordre croissant avant correction : 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18. Avec 8 valeurs, la médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs, soit \dfrac{12+12}{2} = 12.
Après correction (18 devient 16), la valeur 16 reste supérieure à 13 et 15 : le classement ordonné devient 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 16, où les 4e et 5e valeurs sont toujours 12 et 12.
La médiane reste donc égale à 12 : la correction ne change pas le rang de ce biscuit dans le classement, donc la médiane reste la même (réponse B).

PartieA (toboggan) ; Une cabane comporte un toboggan modélisé par un triangle DEF rectangle en D, avec DF = 1,2 m et DE = 2,04 m. Le toboggan est sécurisé si l'angle \widehat{\text{DEF}} vaut 30^{\circ} à l'unité près. Le toboggan est-il sécurisé ?

Dans le triangle DEF rectangle en D, l'angle \widehat{\text{DEF}} est adjacent au côté DE et opposé au côté DF : on utilise donc la tangente, \begin{aligned}\tan\left(\widehat{\text{DEF}}\right) &= \dfrac{\text{DF}}{\text{DE}} \\ &= \dfrac{1{,}2}{2{,}04} \\ &\approx 0{,}588\end{aligned}
La calculatrice donne alors {\widehat{\text{DEF}} \approx 30{,}47^{\circ}}, soit 30^{\circ} à l'unité près : le toboggan est sécurisé.

Montrer que la rampe du toboggan EF mesure environ 2,37 m.

Le triangle DEF est rectangle en D, donc, d'après le théorème de Pythagore, \text{EF}^2 = \text{DF}^2+\text{DE}^2 = 1{,}2^2+2{,}04^2 = 1{,}44+4{,}1616 = 5{,}6016.
\text{EF} = \sqrt{5{,}6016} \approx 2{,}3667, soit environ 2,37 m au centième près.

PartieB (échelle) ; On ajoute une poutre [MN] à l'échelle, avec M sur [AB] et N sur [BC], les deux poutres [MN] et [AC] étant perpendiculaires à (BC). Démontrer que les droites (AC) et (MN) sont parallèles.

Les droites (AC) et (MN) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (BC). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. On en déduit que les droites (AC) et (MN) sont parallèles.

Onplace la poutre [MN] telle que BN = 0,84 m (avec BC = 1,2 m et AC = 0,5 m). Calculer MN.

Les points B, M, A sont alignés et les points B, N, C sont alignés dans le même ordre.
Les droites (MN) et (AC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{\text{BM}}{\text{BA}} &= \dfrac{\text{BN}}{\text{BC}} \\ &= \dfrac{\text{MN}}{\text{AC}}\end{aligned}
d'où \dfrac{\text{BN}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{AC}}, soit \dfrac{0{,}84}{1{,}2} = \dfrac{\text{MN}}{0{,}5}.
donc \text{MN} = 0{,}5\times\dfrac{0{,}84}{1{,}2} = 0{,}5\times0{,}7 = 0,35 m.

PartieC (bac à sable) ; Un bac à sable a la forme d'un pavé droit de longueur 200 cm, largeur 180 cm et hauteur 20 cm. Calculer son volume en cm^{3}.

Le volume d'un pavé droit est le produit des trois dimensions : {V = 200\times180\times20 =} 720 000 cm^{3}.

Cevolume vaut aussi 0,72 m^{3}. Le bac est rempli d'un mélange de sable à maçonner et de sable fin dans le ratio 3 pour 2. Vérifier que le volume de sable à maçonner est 0,432 m^{3} et celui de sable fin 0,288 m^{3}.

Le ratio 3 pour 2 partage le volume total en 3+2 = 5 parts égales : chaque part vaut \dfrac{0{,}72}{5} = 0{,}144 m^{3}.
Le sable à maçonner occupe 3 parts, soit 0{,}72\times\dfrac35 = 0{,}72\times0{,}6 = 0,432 m^{3}, ce qui vérifie bien la valeur annoncée.
Le sable fin occupe les 2 parts restantes, soit 0{,}72-0{,}432 = 0,288 m^{3} (ou 0{,}72\times\dfrac25 = 0{,}288), ce qui vérifie aussi la valeur annoncée.

Lesable à maçonner se vend en sacs de 0,022 m^{3} à 2,95 €, le sable fin en sacs de 0,016 m^{3} à 5,95 €. Quel est le coût total, sachant qu'on ne peut acheter que des sacs entiers ?

Nombre de sacs de sable à maçonner : \dfrac{0{,}432}{0{,}022} \approx 19{,}6, ce qui n'est pas un nombre entier : il faut donc acheter 20 sacs (arrondi à l'entier supérieur, car un sac entamé compte pour un sac entier).
Nombre de sacs de sable fin : {\dfrac{0{,}288}{0{,}016} = 18} exactement : il faut donc acheter 18 sacs.
Coût total : {20\times2{,}95 + 18\times5{,}95 = 59 + 107{,}10 =} 166,10 €.

Amiret Sonia inventent chacun un programme de calcul. Programme d'Amir : choisir un nombre, soustraire 5, prendre le double du résultat. Programme de Sonia : choisir un nombre, ajouter 3, multiplier le résultat par le nombre choisi au départ, soustraire 16. Montrer qu'en partant de 6, Amir obtient 2 et Sonia obtient 38.

Avec le programme d'Amir en partant de 6 : (6-5)\times2 = 1\times2 = 2.
Avec le programme de Sonia en partant de 6 : (6+3)\times6-16 = 9\times6-16 = 54-16 = 38.

Unefeuille de calcul, dans laquelle la ligne 1 contient le nombre choisi et la ligne 2 le résultat d'Amir, permet d'étirer une formule saisie en B2 vers la droite. Parmi trois formules proposées, laquelle est saisie en B2 ?

La cellule B2 doit reproduire le calcul du programme d'Amir appliqué à la valeur de la cellule juste au-dessus (B1) : soustraire 5 puis doubler le résultat, soit (B1-5)\times2. En s'étirant vers la droite, chaque cellule de la ligne 2 applique alors ce même calcul à la cellule de la ligne 1 située juste au-dessus d'elle. C'est donc la formule =(B1-5)*2.

Ens'aidant de la feuille de calcul (qui affiche les résultats pour un nombre choisi variant de -2 à 4), quel nombre permet d'obtenir des résultats égaux avec les deux programmes ?

Parmi les valeurs testées dans la feuille de calcul, les deux programmes donnent le même résultat (-6) lorsque le nombre choisi au départ est 2.

Onnote x le nombre choisi au départ. Montrer que le résultat du programme de Sonia s'écrit x^2+3x-16.

Le programme de Sonia donne {(x+3)\times x - 16}. En développant : \begin{aligned}(x+3)\times x &= x\times x + 3\times x \\ &= x^2+3x\end{aligned} donc le résultat s'écrit bien x^2+3x-16.

Onadmet que les deux programmes donnent le même résultat pour les solutions de l'équation (x-2)(x+3)=0. Résoudre cette équation et conclure.

Le résultat du programme d'Amir s'écrit (x-5)\times2 = 2x-10. Les deux programmes donnent le même résultat lorsque 2x-10 = x^2+3x-16, soit, en réunissant tous les termes d'un même côté, x^2+3x-16-2x+10 = 0, c'est-à-dire x^2+x-6=0.
En développant \begin{aligned}(x-2)(x+3) &= x^2+3x-2x-6 \\ &= x^2+x-6\end{aligned} on retrouve bien l'équation précédente : les deux écritures sont équivalentes.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul : x-2=0 donne x=2, et {x+3=0} donne x=-3.
Les deux programmes de calcul renvoient donc le même résultat pour un nombre choisi au départ égal à 2 (ce qui confirme la valeur lue dans le tableur) ou à -3.

PartieA ; Une urne contient trois boules noires numérotées 1 à 3 et quatre boules rouges numérotées 1 à 4, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

L'urne contient 3+4 = 7 boules en tout, dont 4 rouges. La probabilité de tirer une boule rouge est donc \dfrac{4}{7}.

Quelleest la probabilité de tirer une boule dont le numéro est pair ?

Les numéros pairs possibles sont 2 et 4. Il y a une boule noire n^{\circ}2, une boule rouge n^{\circ}2 et une boule rouge n^{\circ}4, soit 3 boules à numéro pair sur les 7 boules de l'urne. La probabilité est donc \dfrac{3}{7}.

Ontire une première boule, on la remet dans l'urne, puis on en tire une seconde. Pour gagner un lot, il faut tirer la boule rouge n^{\circ}1 et une boule noire (dans un ordre quelconque). Quelle est la probabilité de gagner ?

Il y a en tout 7\times7 = 49 tirages possibles à deux boules avec remise (7 choix pour la première boule, 7 pour la seconde, indépendamment).
Les tirages gagnants sont ceux qui associent la boule rouge n^{\circ}1 et une boule noire, dans un ordre quelconque : soit « rouge n^{\circ}1 puis une boule noire » (3 issues, une par boule noire), soit « une boule noire puis rouge n^{\circ}1 » (3 issues), ce qui fait 3+3 = 6 issues favorables.
La probabilité de gagner est donc \dfrac{6}{49}.

PartieB ; Pour constituer des lots identiques, on dispose de 195 figurines et 234 autocollants, à répartir intégralement. Peut-on constituer 3 lots identiques ?

On peut répartir 195 figurines en 3 lots identiques car 195 \div 3 = 65 est un nombre entier, et de même 234 \div 3 = 78 est un nombre entier pour les autocollants. On peut donc constituer 3 lots, contenant chacun 65 figurines et 78 autocollants.

Décomposer 195 en produit de facteurs premiers.

\begin{aligned}195 &= 5\times39 \\ &= 5\times3\times13\end{aligned} donc 195 = 3\times5\times13 (les trois facteurs 3, 5 et 13 sont premiers).

Sachant que 234 = 2\times3^2\times13, quel est le nombre maximal de lots que l'on peut constituer ?

Le nombre maximal de lots identiques correspond au plus grand diviseur commun de 195 et 234, c'est-à-dire au produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions, chacun affecté de son plus petit exposant.
Le seul facteur premier commun à {3\times5\times13} et 2\times3^2\times13 est 3 (exposant 1 dans les deux cas) et 13 (exposant 1 dans les deux cas) : le PGCD est donc 3\times13 = 39.
On peut donc constituer au maximum 39 lots.

Dansce cas, de combien de figurines et d'autocollants sera composé chaque lot ?

Chaque lot contiendra \dfrac{195}{39} = 5 figurines et \dfrac{234}{39} = 6 autocollants.

Deuxsociétés A et B proposent la location de bateaux électriques pour un nombre entier d'heures. Un graphique en annexe donne le prix de la société A en fonction de la durée : on lit que la droite passe par l'origine et par le point (2 ; 60). Quel prix paie-t-on pour louer 2 heures avec la société A ?

D'après le graphique, pour une durée de location de 2 heures, le prix payé avec la société A est de 60 €.

Avecun budget de 100 €, combien d'heures entières peut-on louer un bateau chez la société A ?

Le tarif A étant proportionnel au temps (droite passant par l'origine) avec 60 € pour 2 heures, le prix pour 1 heure est 60\div2 = 30 €.
Pour 3 heures, le prix est {3\times30 = 90} € (accessible avec 100 € de budget) ; pour 4 heures, le prix serait 4\times30 = 120 € (trop cher).
On peut donc louer un bateau pendant 3 heures entières au maximum avec 100 €.

Expliquer pourquoi le prix chez la société A est proportionnel à la durée de location.

La représentation graphique du tarif de la société A est une droite qui passe par l'origine du repère (à durée nulle, prix nul) : cela signifie que le prix est obtenu en multipliant la durée par un même nombre (le prix à l'heure), ce qui caractérise une situation de proportionnalité.

Endéduire, par un calcul, le prix à payer pour une location de 10 heures chez la société A.

Le tarif A correspond à la fonction linéaire f(x) = 30x (30 € par heure). Pour x=10 heures, f(10) = 30\times10 = 300 €.

Lasociété B propose 60 € de frais de dossier plus 15 € par heure de location. Montrer qu'une location de 2 heures coûte 90 € chez la société B.

Le prix chez la société B pour 2 heures est 60 + 2\times15 = 60+30 = 90 €, ce qui correspond bien au montant annoncé.

Onnote g(x) = 15x+60 le prix chez la société B pour x heures de location. Sur le graphique donné en annexe, tracer la représentation de g.

Leprix payé chez la société B est-il proportionnel à la durée de location ?

Non : la représentation graphique de la société B est une droite qui ne passe pas par l'origine (à cause des 60 € de frais de dossier fixes), ce qui exclut une situation de proportionnalité.

Pourune location de 3 heures, quelle société est la moins chère, et quel prix paie-t-on alors ?

Chez la société A, pour 3 heures : {3\times30 = 90} €.
Chez la société B, pour 3 heures : \begin{aligned}3\times15+60 &= 45+60 \\ &= 105\end{aligned} €.
90 < 105 : la société A est la moins chère, avec un prix de 90 € pour 3 heures de location.

Pourquelle durée de location le prix payé est-il identique dans les deux sociétés ?

On cherche x tel que 30x = 15x+60, soit 30x-15x = 60, c'est-à-dire {15x = 60}, d'où \begin{aligned}x &= \dfrac{60}{15} \\ &= 4\end{aligned}
Graphiquement, cela correspond au point d'intersection des deux droites, d'abscisse 4.
Pour une durée de location de 4 heures, le prix payé est le même dans les deux sociétés (soit 30\times4 = 120 €).