Brevet : Polynésie française 2023 (série professionnelle)

1.Calculer \dfrac{4}{11}+\dfrac{2}{11}.

Les deux fractions ont le même dénominateur : \dfrac{4}{11}+\dfrac{2}{11} = \dfrac{4+2}{11} = \dfrac{6}{11}.

2.Résoudre l'équation 5x+7=-8.

\begin{aligned}5x+7 = -8 &\iff 5x = -8-7 \\ &\iff 5x = -15 \\ &\iff x =\end{aligned} -3.

3.On lance un dé à 6 faces non truqué. Quelle est la probabilité d'obtenir la face 6 ?

Le dé possède 6 faces également probables, dont une seule porte le 6 : la probabilité est \dfrac{1}{6}.

4.Soit f(x)=2x-1. Quelle est l'image de 3 par la fonction f ?

f(3) = 2\times3-1 = 6-1 = 5.

5.Dans le triangle GHK, B est un point de [GK], M est un point de [GH], et les droites (BM) et (KH) sont parallèles. On donne GM = 5 cm, GH = 15 cm et GK = 24 cm. Quelle est la longueur GB ?

Les points G, M, H sont alignés et les points G, B, K sont alignés dans le même ordre.
Les droites (BM) et (KH) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{GM}{GH} &= \dfrac{GB}{GK} \\ &= \dfrac{BM}{KH}\end{aligned}
d'où \dfrac{GM}{GH} = \dfrac{GB}{GK}, soit \dfrac{5}{15} = \dfrac{GB}{24}.
donc GB = \dfrac{24\times5}{15} = 8 cm.

PartieA ; 1. Hiro vient d'acheter un terrain qui se décompose en trois figures. La figure 1 est un rectangle de 60 m sur 80 m. Calculer son aire.

60\times80 = 4 800 m^{2}.

PartieA ; 2. La figure 2 est un triangle rectangle en D, de côtés BD = 80 m et DC. Indiquer la longueur DC et calculer l'aire de la figure 2.

Le rectangle de la figure 1 a pour largeur 60 m, donc DC = 60 m.
Aire = \dfrac{BD\times DC}{2} = \dfrac{80\times60}{2} = 2 400 m^{2}.

PartieA ; 3. La figure 3 est un triangle rectangle en D, de côtés FD = 60 m et DE. Sachant que BE = 150 m, calculer la longueur DE puis l'aire de la figure 3.

DE = BE-BD = 150-80 = 70 m.
Aire = \dfrac{FD\times DE}{2} = \dfrac{60\times70}{2} = 2 100 m^{2}.

PartieA ; 4. Vérifier que l'aire totale du terrain est de 9 300 m^{2}.

En additionnant les trois figures : 4\,800+2\,400+2\,100 = 9 300 m^{2}. L'aire annoncée est bien vérifiée.

PartieA ; 5.a Un sac de 12 kg de semences permet d'ensemencer 1 200 m^{2}. Calculer la masse de semences nécessaire pour ensemencer les 9 300 m^{2} du terrain.

Un sac de 12 kg couvre 1 200 m^{2}, donc 1 kg couvre 1\,200\div12=100 m^{2}. Pour 9 300 m^{2}, il faut 9\,300\div100 = 93 kg de semences.

PartieA ; 5.b Calculer le nombre de sacs de 12 kg qu'il devra acheter.

93\div12 = 7{,}75. Comme il ne peut acheter un sac incomplet, il devra acheter 8 sacs.

PartieB ; 1.a Dans le triangle BDC, rectangle en D, on veut calculer la longueur BC. Citer le théorème à utiliser.

On utilise le théorème de Pythagore, car BDC est un triangle rectangle en D et BC est l'hypoténuse.

PartieB ; 1.b Vérifier que BC = 100 m.

D'après le théorème de Pythagore : \begin{aligned}BC^2 &= BD^2+DC^2 \\ &= 80^2+60^2 \\ &= 6\,400+3\,600 \\ &= 10\,000\end{aligned} donc BC = \sqrt{10\,000} = 100 m.

PartieB ; 2. Sachant que EF = 92 m, calculer le périmètre du terrain.

Le contour du terrain est formé des segments AB, BC, CD, DE, EF et FA, de longueurs 60 m, 100 m, 60 m, 70 m, 92 m et 80 m : {60+100+60+70+92+80 =} 462 m.

PartieB ; 3. Hiro dispose de 460 m de grillage pour clôturer son terrain. Cette longueur est-elle suffisante ? Justifier.

Le périmètre du terrain est de 462 m. Comme 460<462, la longueur de grillage disponible n'est pas suffisante.

PartieA ; Terii a relevé, par ordre croissant, les 19 masses (en kg) de gingembre vendues en mai : 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12. Question 1 : calculer l'étendue de cette série.

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : 12-3 = 9 kg.

PartieA ; 2. Déterminer la médiane de cette série.

La série comporte 19 valeurs déjà rangées par ordre croissant, donc la médiane est la 10e valeur de la liste, soit 6 kg.

PartieA ; 3. Calculer la masse moyenne des ventes, arrondie au dixième.

La somme des 19 masses est 3+3+4+4+4+5+5+5+6+6+7+7+7+8+8+9+10+11+12 = 124. La moyenne vaut \dfrac{124}{19} \approx 6,5 kg.

PartieA ; 4. Terii considère qu'un mois est rentable lorsque la médiane et la moyenne des ventes sont toutes deux supérieures ou égales à 6 kg. Est-ce le cas pour mai ? Justifier.

La médiane vaut 6 kg, avec 6\geqslant6, et la moyenne vaut environ 6,5 kg, avec 6{,}5\geqslant6. Les deux conditions sont réunies, donc le mois de mai est rentable.

PartieB ; Terii vend 500 g de gingembre pour 1 270 F, et le prix est proportionnel à la masse. Question 1 : calculer le prix de 1 000 g de gingembre.

1\,000 g représente le double de 500 g, donc le prix double aussi : 2\times1\,270 = 2 540 F.

PartieB ; 2. Compléter le tableau de proportionnalité pour les masses de 100 g, 500 g, 900 g, 1 000 g, et pour un prix de 9 906 F.

Le prix de 500 g étant 1 270 F, le prix d'un gramme vaut 1\,270\div500 = 2{,}54 F.
Pour 100 g : 100\times2{,}54 = 254 F.
Pour 900 g : 900\times2{,}54 = 2 286 F.
Pour 1 000 g : 2 540 F (déjà calculé).
Pour un prix de 9 906 F, la masse correspondante est 9\,906\div2{,}54 = 3 900 g.

PartieB ; 3. Calculer la masse de gingembre qu'un client peut acheter avec 15 500 F, arrondie au gramme.

Avec 1 270 F on obtient 500 g, donc avec 15 500 F on obtient \dfrac{15\,500\times500}{1\,270} \approx 6 102 g.

1.Un agriculteur hésite entre deux entreprises de location de camion : l'entreprise A facture 450 F par kilomètre, l'entreprise B facture un forfait de 8 400 F plus 250 F par kilomètre. Calculer le prix à payer pour un trajet de 100 km avec chacune des deux entreprises.

Entreprise A : 450\times100 = 45 000 F.
Entreprise B : 250\times100+8\,400 = 33 400 F.

2.On note x la distance en kilomètres, avec f(x)=450x le tarif de l'entreprise A et g(x)=250x+8\,400 le tarif de l'entreprise B, pour x dans l'intervalle [0 ; 150]. Ces deux fonctions sont représentées graphiquement : indiquer quelle courbe correspond à quelle fonction.

La fonction f ne comporte aucun terme constant : sa représentation est une droite qui passe par l'origine du repère. La fonction g comporte un terme constant de 8 400 : sa représentation est une droite qui coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 8 400, au-dessus de l'origine. On identifie ainsi chacune des deux droites du graphique.

3.aÀ l'aide du graphique, déterminer le tarif pour lequel le prix payé est proportionnel à la distance parcourue. Justifier.

Un tarif proportionnel à la distance correspond forcément à un prix nul pour une distance nulle, donc à une droite passant par l'origine : c'est le tarif de l'entreprise A, représenté par f.

3.bDéterminer, à l'aide du graphique, quelle entreprise propose le tarif le moins cher pour une distance de 30 km.

Pour \begin{aligned}x &= 450\times30 \\ &= 13\,500\end{aligned} F avec l'entreprise A et \begin{aligned}g(30) &= 250\times30+8\,400 \\ &= 15\,900\end{aligned} F avec l'entreprise B, on lit sur le graphique que la droite de f est en dessous de celle de g en x=30 : l'entreprise A est la moins chère pour 30 km.

3.cDéterminer la distance pour laquelle les deux tarifs sont égaux.

On cherche x tel que f(x)=g(x) : 450x = 250x+8\,400 \iff 450x-250x=8\,400 \iff 200x=8\,400 \iff x=\dfrac{8\,400}{200} = 42 km. Pour une distance de 42 km, les deux tarifs sont identiques.

3.dIndiquer, selon la distance parcourue, quel est le tarif le moins cher.

Puisque l'entreprise A a un tarif proportionnel qui part de 0 alors que l'entreprise B part avec un forfait plus élevé, l'entreprise A est la moins chère pour une distance inférieure à 42 km, et l'entreprise B devient la moins chère au-delà de 42 km.

1.Trois figures (un triangle rectangle, un grand rectangle et un rectangle plus petit) sont chacune associées à l'un de trois programmes Scratch. Le programme 1 répète 4 fois la séquence « avancer de 60 pas, tourner à droite de 90^{\circ} ». Le programme 2 avance de 50 pas, tourne de 90^{\circ}, avance de 90 pas, puis retourne au point de départ. Le programme 3 répète 2 fois la séquence « avancer de 60 pas, tourner de 90^{\circ}, avancer de 90 pas, tourner de 90^{\circ} ». Associer chaque figure à son programme.

Le programme 1 répète 4 fois un même déplacement de 60 pas avec des virages à angle droit : il trace un carré de 60 pas de côté.
Le programme 2 trace deux segments de longueurs différentes (50 et 90 pas) avant de revenir au départ : combiné au retour direct, il dessine un triangle rectangle.
Le programme 3 répète 2 fois une séquence de deux longueurs différentes (60 et 90 pas) : il trace un rectangle de 60 pas sur 90 pas.
En comparant les dimensions des trois figures proposées, le programme 1 correspond à la figure carrée, le programme 2 à la figure triangulaire et le programme 3 à la figure rectangulaire la plus grande.

2.Le bloc « Tracer carré » dessine un carré de 60 pas de côté. Compléter le programme afin d'obtenir une figure formée de trois carrés identiques alignés côte à côte, chacun de 60 pas de côté.