Brevet : Polynésie française 2023

Cepremier exercice est un questionnaire à choix multiples : pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte, et aucune justification n'est demandée sur la copie. 1. On considère la fonction affine f définie par f(x) = -2x+3. Parmi trois représentations graphiques proposées, laquelle correspond à f ?

Le coefficient directeur de f est a=-2, un nombre négatif : la fonction f est donc décroissante, ce qui élimine toute droite croissante.
L'ordonnée à l'origine de f est f(0)=3 : la droite représentative de f coupe donc l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0~;~3).
La représentation correcte est celle qui est décroissante et qui passe par le point (0~;~3).

2.À l'aide d'un graphique donnant la représentation d'une fonction, on demande de lire l'image de 1 par cette fonction, parmi trois valeurs proposées.

Une lecture graphique de l'ordonnée du point d'abscisse 1 sur la courbe donne comme image 2.

3.On donne un extrait d'un tableur affichant des valeurs de la fonction h définie par h(x) = -x+1, avec les nombres x saisis en ligne 1 (à partir de la cellule B1) et les valeurs de h(x) calculées en ligne 2. Parmi trois formules proposées pour la cellule B2, laquelle est correcte ?

La formule à saisir en cellule B2 doit reproduire le calcul h(x) = -x+1 en utilisant la référence de la cellule qui contient la valeur de x, c'est-à-dire la cellule B1.
Seule la formule qui fait référence à la cellule B1 permet de calculer correctement h(x) pour la valeur de x saisie dans cette même colonne.
La formule correcte est donc celle qui utilise la cellule B1, par exemple = -B1+1.

4.Quelle est la forme développée et réduite de l'expression (3x-7)^2, parmi trois propositions ?

On utilise l'identité remarquable {(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2} avec a=3x et b=7.
\begin{aligned}(3x-7)^2 &= (3x)^2 - 2\times3x\times7 + 7^2 \\ &= 9x^2 - 42x + 49\end{aligned}
La forme développée et réduite est donc 9x^2-42x+49.

Pourincliner ses panneaux solaires et obtenir un fonctionnement optimal, une personne fabrique elle-même un support métallique. Ce support est constitué de trois équerres identiques, chacune formée d'un triangle rectangle HPS, rectangle en P, avec HP = 90 cm et PS = 140 cm, reliées par trois barres latérales de 4 m. 1.a Montrer que la longueur HS, arrondie au millimètre près, est égale à 166,4 cm.

Le triangle HPS est rectangle en P, donc d'après le théorème de Pythagore : \text{HS}^2 = \text{HP}^2+\text{PS}^2.
\text{HS}^2 = 90^2+140^2 = 8\,100+19\,600 = 27\,700.
Comme HS est une longueur positive, \text{HS} = \sqrt{27\,700} \approx 166{,}433, soit 166,4 cm au millimètre près.

1.bLe fabricant conseille que la distance HS mesure au moins 95 % de la longueur d'un panneau, cette longueur étant de 1 700 mm. Le support est-il conforme à ce conseil ?

La longueur du panneau est 1\,700 mm = 170 cm.
95 % de cette longueur représente \begin{aligned}\dfrac{95}{100}\times170 &= 0{,}95\times170 \\ &= 161{,}5\end{aligned} cm.
Or \text{HS} = 166{,}4 cm, et 166{,}4 > 161{,}5 : le support est donc bien conforme au conseil du fabricant.

2.L'angle d'inclinaison \widehat{\text{HSP}} du support doit être compris entre 30^{\circ} et 35^{\circ} pour un fonctionnement optimal. Est-ce le cas ici ?

Dans le triangle HPS rectangle en P, le côté [HP] est opposé à l'angle \widehat{\text{HSP}} et le côté [PS] lui est adjacent.
D'après SOH-CAH-TOA, \begin{aligned}\tan\widehat{\text{HSP}} &= \dfrac{\text{HP}}{\text{PS}} \\ &= \dfrac{90}{140} \\ &= \dfrac{9}{14} \\ &\approx 0{,}643\end{aligned}
On en déduit \widehat{\text{HSP}} \approx 32{,}7^{\circ}.
Comme {30 < 32{,}7 < 35}, l'angle d'inclinaison permet donc bien un fonctionnement optimal des panneaux.

3.Pour consolider chaque équerre, on ajoute une barre de renfort [UT], perpendiculaire à [PS], avec U sur [HS] et T sur [PS], sachant que le segment [AT] (confondu ici avec la barre de renfort) mesure 50 cm et que SU = 50 cm. Calculer la longueur ST, arrondie au millimètre.

Les droites (UT) et (HP) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (PS) : elles sont donc parallèles entre elles.
Les points S, U, H sont alignés et les points S, T, P sont alignés dans le même ordre.
Les droites (UT) et (HP) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{\text{ST}}{\text{SP}} &= \dfrac{\text{SU}}{\text{SH}} \\ &= \dfrac{\text{UT}}{\text{HP}}\end{aligned}
d'où \dfrac{\text{ST}}{\text{SP}} = \dfrac{\text{SU}}{\text{SH}}, soit \dfrac{\text{ST}}{140} = \dfrac{50}{90}.
donc \text{ST} = 140\times\dfrac{50}{90} = 140\times\dfrac{5}{9} \approx 77,8 cm au millimètre près.

4.Pour fabriquer le support (trois équerres avec leur barre de renfort, plus trois barres latérales de 4 m), on achète des tubes en acier inoxydable de 4,5 m de longueur, à 37 € l'unité. Montrer qu'il faut prévoir un budget minimum de 222 € pour ces tubes.

Chaque équerre, renfort compris, nécessite une longueur de tube égale à \text{PS}+\text{HP}+\text{HS}+\text{ST} = 140+90+166{,}4+50 = 446{,}4 cm, soit environ 4,464 m.
Il faut 3 équerres de ce type, ainsi que 3 barres latérales de 4 m chacune, soit une longueur totale de \begin{aligned}3\times4{,}464+3\times4 &= 13{,}392+12 \\ &= 25{,}392\end{aligned} m.
Un tube mesurant 4,5 m, il en faut \dfrac{25{,}392}{4{,}5} \approx 5{,}64, donc 6 tubes entiers au minimum.
Le budget minimum est donc de 6\times37 = 222 €.

PartieA. On dispose de deux jeux de hasard. Jeu 1 : un sac contient cinq boules indiscernables au toucher, une portant la lettre N, deux portant la lettre G et deux portant la lettre P ; on tire une boule au hasard et on gagne si l'on obtient la lettre G. 1. Montrer que la probabilité de gagner au jeu 1 est égale à \dfrac{2}{5}.

Le sac contient 5 boules indiscernables au toucher, dont 2 portent la lettre G.
Le tirage étant équiprobable, la probabilité de gagner (tirer une boule G) est le rapport entre le nombre de boules gagnantes et le nombre total de boules : P(\text{G}) = \dfrac{2}{5}.

Jeu2 : une roue comporte six secteurs angulaires identiques, numérotés de 1 à 6 ; on fait tourner la roue et on gagne si elle s'arrête sur un nombre premier. 2. Quelle est la probabilité de gagner au jeu 2 ?

Parmi les nombres de 1 à 6, les nombres premiers sont 2, 3 et 5 (le nombre 1 n'est pas premier), soit 3 cas favorables sur 6 issues équiprobables.
La probabilité de gagner au jeu 2 est donc \begin{aligned}P &= \dfrac{3}{6} \\ &= \dfrac{1}{2} \\ &= 0{,}5\end{aligned}

3.aQuel est le jeu qui offre la plus faible probabilité de gagner ?

La probabilité de gagner au jeu 1 est 0{,}4 et celle de gagner au jeu 2 est 0{,}5.
Comme 0{,}4 < 0{,}5, c'est le jeu 1 qui présente la plus faible probabilité de gagner.

3.bOn souhaite ajouter des boules au jeu 1 (sans en retirer) pour que la probabilité de gagner devienne exactement \dfrac{1}{4}. Proposer une composition de boules à ajouter permettant d'atteindre cet objectif.

On remarque que \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8} : il faudrait donc, au total, 2 boules G parmi 8 boules.
Le sac contient déjà 2 boules G (que l'on conserve) parmi ses 5 boules initiales : il faut donc atteindre un total de 8 boules sans ajouter de boule G supplémentaire.
Il suffit donc d'ajouter 3 boules qui ne portent pas la lettre G, par exemple 3 boules P, ou encore 2 boules P et 1 boule N.

PartieB. On combine désormais les deux jeux : on tire une boule dans le sac du jeu 1, puis on fait tourner la roue du jeu 2. On gagne un lot si la boule tirée porte la lettre G et si la roue s'arrête sur un nombre premier. Quelle est la probabilité de gagner ce lot ?

Méthode 1 (principe multiplicatif). Le tirage de la boule et le tour de roue sont deux expériences indépendantes, donc \begin{aligned}P(\text{gagner}) &= P(\text{G})\times P(\text{nombre premier}) \\ &= \dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{2}{10} \\ &= \dfrac{1}{5} \\ &= 0{,}2\end{aligned}
Méthode 2 (dénombrement). On peut représenter les issues à l'aide d'un tableau à double entrée de 5 colonnes (une par boule) et 6 lignes (une par secteur de la roue), soit 5\times6 = 30 issues équiprobables au total.
Les issues favorables sont celles où la boule est une boule G (il y en a 2, notées G1 et G2) et où la roue indique un nombre premier (2, 3 ou 5) : cela fait 2\times3 = 6 issues favorables sur 30.
On retrouve \begin{aligned}P(\text{gagner}) &= \dfrac{6}{30} \\ &= \dfrac{1}{5} \\ &= 0{,}2\end{aligned}

Onconsidère le programme de calcul suivant, appliqué à un nombre choisi au départ : élever ce nombre au carré, multiplier le résultat par 2, ajouter le nombre choisi au départ, puis soustraire 66. 1.a Montrer que si le nombre choisi au départ est 4, le résultat obtenu est -30.

Avec 4 comme nombre de départ, on calcule d'abord son carré : 4^2 = 16.
On multiplie ce carré par 2 : 16\times2 = 32.
On ajoute le nombre de départ : {32+4 = 36}.
On soustrait enfin 66 : 36-66 = -30. On retrouve bien le résultat annoncé.

1.bQuel résultat obtient-on si le nombre choisi au départ est -3 ?

On calcule le carré de -3 : (-3)^2 = 9.
On multiplie par 2 : 2\times9 = 18.
On ajoute le nombre de départ : {18+(-3) = 15}.
On soustrait 66 : 15-66 = -51.

2.aCe programme de calcul est traduit par un bloc d'instructions dans un langage de programmation par blocs, à l'aide de deux variables : « nombre choisi » (le nombre de départ) et « Résultat ». Le bloc contient successivement : mettre Résultat à A \times nombre choisi ; mettre Résultat à B \times Résultat ; mettre Résultat à Résultat + nombre choisi ; mettre Résultat à Résultat - 66. Par quoi doit-on remplacer les emplacements A et B pour que ce bloc reproduise le programme de calcul (aucune justification attendue) ?

2.bUn script complet initialise « nombre choisi » à 0, puis répète 20 fois : exécuter le bloc du programme de calcul, et si Résultat est égal à 0, faire annoncer par le lutin la valeur courante de « nombre choisi » comme solution possible, puis augmenter « nombre choisi » de 0,5. En exécutant ce script, le lutin annonce la valeur 5,5 comme nombre de départ possible. Que représente cette valeur 5,5 ?

La valeur 5,5 est une des valeurs que peut prendre le nombre choisi au départ pour que le résultat final du programme de calcul soit égal à 0 : c'est une solution de l'équation associée au programme, trouvée par balayage de 0,5 en 0,5.

3.On note désormais x le nombre choisi au départ. 3.a Exprimer, en fonction de x, le résultat obtenu à l'issue du programme de calcul.

On applique successivement chaque étape du programme de calcul à x.
Le carré du nombre de départ est x^2, puis le double de ce carré est 2x^2.
On ajoute le nombre de départ : 2x^2+x, puis on soustrait 66.
L'expression du résultat en fonction de x est donc {2x^2+x-66}.

3.bOn admet que (2x-11)(x+6) est la forme factorisée de l'expression {2x^2+x-66}. Déterminer la ou les valeurs de x pour lesquelles le résultat du programme de calcul est égal à 0.

Il s'agit de résoudre l'équation {(2x-11)(x+6) = 0}.
Un produit de facteurs est nul si (et seulement si) l'un au moins de ses facteurs est nul, donc soit 2x-11=0, soit x+6=0.
Si 2x-11=0 alors 2x=11 donc \begin{aligned}x &= \dfrac{11}{2} \\ &= 5{,}5\end{aligned}
Si x+6=0 alors x=-6.
Les deux nombres de départ qui donnent un résultat final égal à 0 sont donc 5{,}5 (valeur déjà repérée à la question 2.b) et -6.

Unprofessionnel et un amateur de karting font une séance sur un circuit constitué de segments, de demi-cercles et de quarts de cercle. Les parties rectilignes du circuit ont pour longueurs respectives 120 m, 60 m, 60 m, 90 m, 60 m et 90 m ; le circuit comporte également deux demi-cercles de rayon 60 m et quatre quarts de cercle de rayon 30 m. Le professionnel effectue un tour de piste en 60 secondes, l'amateur en 72 secondes. 1. Montrer que la longueur totale de la piste est d'environ 1 045 m, arrondie à l'unité.

La longueur des parties rectilignes est la somme des six segments : {120+60+60+90+60+90 = 480} m.
Les deux demi-cercles de rayon 60 m mis bout à bout forment un cercle complet de rayon 60 m, de longueur 2\times\pi\times60 = 120\pi m.
Les quatre quarts de cercle de rayon 30 m mis bout à bout forment également un cercle complet, de rayon 30 m cette fois, de longueur 2\times\pi\times30 = 60\pi m.
La longueur totale de la piste est donc \begin{aligned}480+120\pi+60\pi &= 480+180\pi \\ &\approx 480+565{,}487 \\ &\approx 1\,045{,}49\end{aligned} soit environ 1 045 m à l'unité près.

2.Le professionnel effectue un tour de piste en 60 secondes. Calculer sa vitesse moyenne en m/s, arrondie au centième.

La vitesse moyenne est le rapport de la distance parcourue sur la durée du trajet.
v = \dfrac{1\,045}{60} \approx 17{,}42 m/s (arrondi au centième).

3.Sur ce circuit, la vitesse moyenne des amateurs ne doit pas dépasser 60 km/h pour des raisons de sécurité. L'amateur, qui effectue un tour de piste en 72 secondes, respecte-t-il cette limite ?

En une heure (3\,600 s), l'amateur parcourt une distance de {\dfrac{1\,045}{72}\times3\,600 = 52\,250} m, soit 52{,}25 km.
Sa vitesse moyenne est donc de 52{,}25 km/h.
Comme 52{,}25 < 60, l'amateur respecte bien la limite de vitesse imposée pour des raisons de sécurité.

4.On rappelle que le professionnel effectue un tour de piste en 60 s et l'amateur en 72 s. 4.a Décomposer 60 et 72 en produits de facteurs premiers.

Pour 60 : \begin{aligned}60 &= 2\times30 \\ &= 2\times2\times15 \\ &= 2\times2\times3\times5\end{aligned} soit 60 = 2^2\times3\times5.
Pour 72 : \begin{aligned}72 &= 2\times36 \\ &= 2\times2\times18 \\ &= 2\times2\times2\times9 \\ &= 2\times2\times2\times3\times3\end{aligned} soit 72 = 2^3\times3^2.

4.bLe professionnel et l'amateur partent ensemble de la ligne de départ. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils ensemble sur cette ligne pour la première fois ?

Les deux coureurs se retrouvent ensemble sur la ligne de départ au bout d'une durée qui doit être un multiple commun de 60 s et de 72 s.
La première fois qu'ils se retrouvent correspond au plus petit commun multiple de 60 et 72, obtenu en prenant chaque facteur premier commun au plus grand exposant : \begin{aligned}2^3\times3^2\times5 &= 8\times9\times5 \\ &= 360\end{aligned}
Ils se retrouvent donc ensemble au bout de 360 s, soit \dfrac{360}{60} = 6 minutes.

4.cCombien de tours chacun aura-t-il alors parcouru ?

Au bout de 360 s, le professionnel (qui met 60 s par tour) aura effectué \dfrac{360}{60} = 6 tours.
Au bout de 360 s, l'amateur (qui met 72 s par tour) aura effectué \dfrac{360}{72} = 5 tours.