Brevet : Métropole 2023 (remplacement, série professionnelle)

1.Un sac contient 64 dossards de rugby répartis en 4 couleurs : 12 rouges, 28 bleus, 6 noirs et 18 jaunes. On tire au hasard un dossard dans le sac. Quelle est la probabilité qu'il soit bleu ?

Le sac contient 64 dossards en tout, dont 28 bleus. La probabilité de tirer un dossard bleu est donc le quotient du nombre de cas favorables sur le nombre total de dossards : \dfrac{28}{64}.

2.Dans l'égalité \dfrac{17}{8} = \dfrac{5}{x}, quel calcul permet d'obtenir la valeur de x ?

Par produit en croix, 17 \times x = 8 \times 5, donc x = \dfrac{8\times 5}{17}, c'est-à-dire {x = 8 \times 5 \div 17}. C'est bien ce calcul qui donne la valeur de x.

3.Un club de rugby compte 40 joueurs : 7 argentins, 6 sud-africains, 10 % d'anglais, un cinquième d'écossais, le reste étant français. Combien de joueurs écossais compte l'équipe ?

Le nombre de joueurs écossais est un cinquième de l'effectif total : 40 \div 5 = 8. L'équipe compte donc 8 joueurs écossais (on peut vérifier que le compte est cohérent : 10 % de 40 anglais font 4 joueurs, et il reste {40-7-6-4-8=15} joueurs français, ce qui est possible).

4.Un ballon de rugby a pour caractéristiques a = 15 cm et b = 9,3 cm. Son volume, en cm^{3}, est donné par la formule V = 4,2 \times a \times b^2. Calculer ce volume arrondi à l'unité.

On remplace a et b par leurs valeurs : V = 4,2 \times 15 \times 9,3^2 = 4,2 \times 15 \times 86,49. Or 4,2 \times 15 = 63, donc {V = 63 \times 86,49 = 5\,448,87}. Arrondi à l'unité, le volume du ballon est donc d'environ 5 449 cm^{3}.

5.Un club de rugby propose des places à 38 € plein tarif, avec une remise de 20 % pour l'achat de deux places lors du dernier match de la saison. Quel est le prix payé pour deux places après remise ?

Le prix plein tarif de deux places est {2 \times 38 = 76} €. Une remise de 20 % laisse à payer 80 % de ce prix : {76 \times \dfrac{80}{100} = 76 \times 0,8 = 60,80}. Le prix payé pour les deux places après remise est donc de 60,80 €.

Untableau donne le nombre de licenciés, en 2021, dans les fédérations des sept principaux sports pratiqués en France : football 1 900 000, tennis 950 000, équitation 664 000, basketball 515 000, judo 512 000, handball 335 000 et rugby 286 000. 1. Combien de licenciés compte la fédération d'équitation ?

D'après le tableau, la fédération d'équitation compte 664 000 licenciés.

2.Vérifier, par un calcul, que le nombre total de licenciés des sept fédérations est 5 162 000.

On additionne les sept effectifs donnés dans le tableau : 1\,900\,000 + 950\,000 + 664\,000 + 515\,000 + 512\,000 + 335\,000 + 286\,000 = 5\,162\,000. On retrouve bien le total annoncé, 5 162 000 licenciés.

3.Un adhérent affirme : « Le nombre moyen de licenciés des sept fédérations est de 737 429. » Cette affirmation est-elle exacte ?

La moyenne des sept effectifs est le total divisé par 7 : {\dfrac{5\,162\,000}{7} \approx 737\,428,57}. Arrondi à l'unité, ce nombre moyen de licenciés vaut bien 737 429. L'affirmation est donc exacte.

4.Quel pourcentage représentent les licenciés de la fédération de rugby par rapport à l'ensemble des licenciés des sept fédérations ?

Ce pourcentage est le quotient de l'effectif du rugby par le total, multiplié par 100 : \dfrac{286\,000}{5\,162\,000} \times 100 \approx 5,54. Les licenciés de rugby représentent donc environ 5,54 % de l'ensemble des licenciés des sept fédérations.

5.En supposant que le nombre total de licenciés des sept fédérations reste constant, la fédération de rugby souhaite faire passer sa part à 8 % du total. Combien de nouveaux licenciés doit-elle accueillir pour atteindre cet objectif ?

On calcule d'abord ce que représentent 8 % du total constant de 5 162 000 licenciés : 5\,162\,000 \times \dfrac{8}{100} = 412\,960. La fédération de rugby compte actuellement 286 000 licenciés ; il lui manque donc {412\,960 - 286\,000 = 126\,960} licenciés supplémentaires pour atteindre son objectif de 8 %.

Deuxentreprises proposent d'imprimer des maillots pour un club de rugby. L'entreprise A facture chaque maillot 80 € sans frais supplémentaires. L'entreprise B facture chaque maillot 50 €, avec en plus 900 € de frais fixes d'impression pour l'ensemble de la commande, quelle que soit sa taille. 1. Quel est le prix de 20 maillots imprimés fournis par l'entreprise A ?

L'entreprise A facture 80 € par maillot, sans frais fixes : le prix de 20 maillots est donc 20 \times 80 = 1\,600. Le prix de 20 maillots fournis par l'entreprise A est donc de 1 600 €.

2.Sur un graphique représentant le tarif de l'entreprise B en fonction du nombre de maillots commandés, quel est, par lecture graphique, le prix de 20 maillots imprimés fournis par l'entreprise B ?

Le tarif de l'entreprise B se calcule par 900 + 50 \times x où x est le nombre de maillots. Pour x = 20 : \begin{aligned}900 + 50 \times 20 &= 900 + 1\,000 \\ &= 1\,900\end{aligned} Le prix de 20 maillots fournis par l'entreprise B, que l'on retrouve aussi par lecture graphique, est donc de 1 900 €.

3.Pour une commande de 20 maillots, quelle entreprise propose le tarif le plus avantageux ?

Pour 20 maillots, l'entreprise A facture 1 600 € tandis que l'entreprise B facture 1 900 €. Comme 1\,600 < 1\,900, c'est l'entreprise A qui propose le tarif le plus avantageux pour cette quantité.

4.aEn notant x le nombre de maillots commandés, quelle expression donne le tarif de l'entreprise A en fonction de x ?

L'entreprise A facture 80 € par maillot sans frais fixes : son tarif en fonction du nombre de maillots x s'exprime donc par 80 \times x.

4.bCompléter un tableau de valeurs du tarif de l'entreprise A pour x = 0, x = 20, x = 30 et x = 60 maillots.

4.cComment obtient-on la représentation graphique du tarif de l'entreprise A à partir de ce tableau de valeurs ?

En plaçant, dans le repère, les points de coordonnées (0~;~0), (20~;~1\,600), (30~;~2\,400) et (60~;~4\,800), puis en traçant la droite qui passe par ces quatre points, on obtient la représentation graphique du tarif de l'entreprise A en fonction du nombre de maillots commandés (les points sont bien alignés car le tarif de l'entreprise A est proportionnel au nombre de maillots).

5.Pour une commande comprise entre 35 et 50 maillots, quelle entreprise propose le tarif le plus avantageux ?

Comparons les deux tarifs pour x compris entre 35 et 50 : le tarif de l'entreprise A vaut 80x et celui de l'entreprise B vaut 900+50x. Les deux tarifs sont égaux lorsque {80x = 900+50x}, soit 30x=900, donc x=30. Au-delà de 30 maillots, le tarif de l'entreprise B devient inférieur à celui de l'entreprise A (par exemple pour x=40 : entreprise A, 80\times 40=3\,200 € contre entreprise B, 900+50\times 40=2\,900 €). Pour une commande de 35 à 50 maillots, c'est donc l'entreprise B qui propose le tarif le plus avantageux, car sa représentation graphique se situe en dessous de celle de l'entreprise A sur cet intervalle.

Dansun jeu vidéo créé avec le logiciel Scratch, l'avatar d'un joueur récupère le ballon à la sortie d'une mêlée puis se déplace vers une zone grisée du terrain ; la partie est gagnée si l'avatar atteint cette zone en évitant les autres joueurs. Trois programmes proposent chacun une suite de déplacements de l'avatar, à partir du même point de départ et de la même orientation initiale : le programme 1 fait avancer l'avatar de 120 pas, puis tourner à gauche et avancer de 40 pas, puis tourner à droite et avancer de 20 pas, puis tourner à gauche et avancer de 20 pas ; le programme 2 fait avancer l'avatar de 40 pas, puis tourner à gauche et avancer de 80 pas, puis tourner à droite et avancer de 40 pas, puis tourner à gauche et avancer de 90 pas ; le programme 3 fait avancer l'avatar de 80 pas, puis tourner à gauche et avancer de 80 pas, puis tourner à droite et avancer de 100 pas, puis tourner à gauche et avancer de 20 pas. 1. En suivant les instructions du programme 3, décrire le chemin parcouru par l'avatar sur le terrain.

En partant du point de départ et en appliquant successivement chacune des quatre instructions « avancer » du programme 3, séparées par les changements de direction indiqués, l'avatar parcourt un chemin en quatre segments de longueurs respectives 80, 80, 100 et 20 pas, formant une ligne brisée qui s'éloigne progressivement du point de départ. En reportant ces longueurs sur le quadrillage du terrain, on constate que ce chemin reste nettement en dessous de la zone grisée visée : le programme 3 ne permet donc pas à l'avatar d'atteindre son objectif.

2.Parmi les trois programmes proposés, lequel permet à l'avatar de gagner la partie en atteignant la zone grisée ? Justifier en décrivant le chemin correspondant.

En reportant de la même façon les quatre segments du programme 2 (de longueurs 40, 80, 40 puis 90 pas) sur le quadrillage à partir du point de départ, le chemin obtenu se termine à l'intérieur de la zone grisée située en haut du terrain, contrairement aux chemins des programmes 1 et 3 qui restent en deçà de cette zone. C'est donc le programme 2 qui permet à l'avatar de gagner la partie.

Unterrain rectangulaire de sport mesure 50 m de longueur sur 35 m de largeur. Sur ce terrain, on repère un point O sur un petit côté, à 10 m de l'angle du rectangle le plus proche, et un point D sur un grand côté, à 15 m de l'angle du rectangle le plus proche du même sommet que D. Un point C est situé sur le segment [OD] à 22 m de D (donc à une distance restante de O égale à la longueur totale du grand côté diminuée de ces deux distances). Un point A, aligné avec O et un sommet B du rectangle, est tel que la droite (AC) soit parallèle à la droite (BD), avec O, A, B alignés d'une part et O, C, D alignés d'autre part. 1. Calculer la longueur du segment [BD], sachant que B et D sont deux points du même grand côté du rectangle, séparés respectivement de 35 m et 15 m par rapport aux extrémités de ce côté.

Le grand côté du rectangle mesure 35 m. Les points B et D partagent ce côté de sorte que D est à 15 m de l'une des extrémités : la longueur du segment restant, [BD], s'obtient donc par soustraction : \text{BD} = 35 - 15 = 20. Le segment [BD] mesure donc 20 m.

2.Montrer, par un calcul, que la longueur du segment [OC] est égale à 18 m, sachant que le grand côté du rectangle sur lequel se trouvent O, C et D mesure 50 m, que D est à 10 m de l'extrémité opposée à O, et que C est à 22 m de cette même extrémité.

Le grand côté total mesure 50 m. En retranchant les deux distances de 10 m et 22 m mesurées à partir de l'extrémité opposée à O, on obtient la distance restante entre O et C : {\text{OC} = 50 - 10 - 22 = 18}. On a donc bien \text{OC} = 18 m.

3.aSachant que, dans le triangle ODB, les droites (AC) et (BD) sont parallèles, que O, A, B sont alignés et que O, C, D sont alignés, quelle égalité de quotients donne le théorème de Thalès appliqué à cette figure ?

Les points O, A, B sont alignés et les points O, C, D sont alignés dans le même ordre.
Les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{\text{OA}}{\text{OB}} &= \dfrac{\text{OC}}{\text{OD}} \\ &= \dfrac{\text{AC}}{\text{BD}}\end{aligned}
d'où \dfrac{\text{OC}}{\text{OD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BD}}.

3.bEn déduire la longueur du segment [AC], en détaillant les étapes du calcul.

D'après le théorème de Thalès établi à la question précédente, \dfrac{\text{OC}}{\text{OD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BD}}.
On a \text{OC}=18 m (question 2), {\text{OD} = 50-10 = 40} m et \text{BD}=20 m (question 1).
L'égalité devient \dfrac{18}{40} = \dfrac{\text{AC}}{20}.
donc, par produit en croix, {\text{AC} = \dfrac{20 \times 18}{40} = \dfrac{360}{40} =} 9 m.