Brevet : Métropole 2023 (remplacement)

1.Un QCM propose trois listes de nombres pour la question « citer trois diviseurs de 84 » : (84, 168, 252), (2, 3, 4) et (2, 5, 7). Laquelle est correcte ?

84 se décompose en 84 = 2^{2}\times3\times7, donc ses diviseurs comprennent notamment 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 et 84.
On vérifie que 84 \div 2 = 42, 84 \div 3 = 28 et 84 \div 4 = 21 : ce sont bien trois diviseurs entiers de 84.
En revanche 168 et 252 sont des multiples de 84 (et non des diviseurs), et 5 ne divise pas 84 : la liste correcte est (2, 3, 4).

2.La pyramide SABCD est un agrandissement de coefficient 2 de la pyramide SA'B'C'D'. Par quel nombre doit-on multiplier le volume de SA'B'C'D' pour obtenir celui de SABCD ?

Dans un agrandissement (ou une réduction) de coefficient k, les longueurs sont multipliées par k, mais les volumes sont multipliés par k^{3}.
Ici k = 2, donc le volume est multiplié par 2^{3} = 8.

3.Quelle est la valeur de l'expression {x^{2} + 3x - 5} pour x = -2 ?

On remplace x par -2 : {(-2)^{2} + 3\times(-2) - 5 = 4 - 6 - 5}.
Soit 4 - 6 - 5 = -7.

4.Un sac opaque contient huit boules numérotées de 1 à 8. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 2 ?

Parmi les nombres de 1 à 8, les multiples de 2 sont 2, 4, 6 et 8, soit 4 boules favorables sur 8 au total.
La probabilité cherchée est donc \dfrac{4}{8} = \dfrac12.

5.Le triangle DEF est l'image du triangle ABC par une homothétie de centre O. Sur la figure, DEF est situé de l'autre côté de O par rapport à ABC, et ses dimensions sont doublées par rapport à ABC. Quel est le rapport de cette homothétie ?

Une homothétie de rapport positif conserve le côté de O sur lequel se trouve la figure, tandis qu'un rapport négatif la fait basculer de l'autre côté du centre.
Ici DEF se trouve bien de l'autre côté de O par rapport à ABC : le rapport est donc négatif.
De plus, DEF est environ deux fois plus grand qu'ABC : la valeur absolue du rapport est 2.
Le rapport de l'homothétie est donc -2.

1.Un logiciel de programmation par blocs doit tracer un losange de côté 50 pas grâce à un bloc « losange » personnalisé, qui répète un certain nombre de fois la séquence : avancer, tourner de 60^{\circ}, avancer, tourner de 120^{\circ}. Comme un losange a quatre côtés égaux et que chaque passage du bloc trace deux côtés, combien de répétitions faut-il programmer, et quelle est la longueur du deuxième « avancer » de la séquence ?

Un losange possède quatre côtés de même longueur, ici 50 pas chacun.
Chaque exécution de la séquence entre accolades trace deux côtés du losange (un « avancer » avant le premier virage, un « avancer » avant le second) : il faut donc répéter la séquence 2 fois pour tracer les quatre côtés.
Comme tous les côtés du losange mesurent 50 pas, le deuxième « avancer » de la séquence doit lui aussi valoir 50 pas.

2.Trois scripts assemblent plusieurs losanges identiques en une figure, en répétant 4 fois le motif « tracer un losange puis avancer d'une certaine distance » : le script 1 avance de 50 pas entre deux losanges (soit la longueur d'un côté), le script 2 avance de 100 pas (soit le double), et le script 3 avance de 50 pas puis décale aussi la position verticale de 30. Trois figures sont proposées : la figure A, une bande de 4 losanges alignés mais espacés ; la figure B, une bande de 4 losanges alignés et décalés en diagonale montante ; la figure C, une bande de 4 losanges bien serrés côte à côte. À quelle figure correspond chaque script ?

Le script 1 avance exactement de la longueur d'un côté (50 pas) entre deux losanges répétés à l'identique sur une même ligne : les losanges se recollent bord à bord, ce qui correspond à la figure la plus resserrée, la figure C.
Le script 2 avance du double (100 pas) entre deux losanges sur une même ligne : un espace vide apparaît entre chaque losange, ce qui correspond à la figure la plus espacée, la figure A.
Le script 3 avance de 50 pas comme le script 1, mais décale en plus la hauteur (« ajouter 30 à y ») à chaque répétition : les losanges se répètent alors en diagonale montante, ce qui correspond à la figure B.
L'association est donc : script 1 \rightarrow figure C, script 2 \rightarrow figure A, script 3 \rightarrow figure B.

3.En répétant 6 fois la séquence « tracer un losange puis tourner de 60^{\circ} » à partir d'un même point, on obtient une rosace de six losanges accolés en étoile autour d'un centre C. Sur cette figure, quelle transformation permet d'obtenir le losange ABCD à partir du losange voisin EDCF (qui partage le sommet C et le côté [DC] avec ABCD) ?

Le programme tourne de 60^{\circ} autour du même point de départ avant de tracer chaque nouveau losange : chaque losange est donc l'image du précédent par une rotation de centre ce point commun et d'angle 60^{\circ}.
Le point commun à tous les losanges de la rosace est le sommet C : la transformation qui envoie le losange EDCF sur le losange ABCD est donc la rotation de centre C et d'angle 60^{\circ}.

1.aUne piscine propose un tarif A à 5,90 € l'entrée. Calculer le prix total pour 10 entrées avec le tarif A.

Avec le tarif A, le prix de 10 entrées est 5{,}90 \times 10 = 59 €.

1.bLe tarif B coûte 4,40 € l'entrée, avec en plus une carte d'abonnement annuelle de 30 €. Calculer le prix total pour 10 entrées avec le tarif B.

Avec le tarif B, le prix de 10 entrées est 4{,}40 \times 10 + 30 = 44 + 30 = 74 €.

2.On note f(x) et g(x) les prix, en euros, payés respectivement avec le tarif A et le tarif B pour x entrées. Donner les expressions de f(x) et de g(x).

Le tarif A est proportionnel au nombre d'entrées : f(x) = 5{,}90x. Le tarif B ajoute un forfait fixe de 30 € au prix proportionnel des entrées : {g(x) = 4{,}40x + 30}.

3.aRésoudre l'équation 5{,}90x = 4{,}40x + 30.

On regroupe les termes en x d'un côté de l'égalité : 5{,}90x - 4{,}40x = 30, soit 1{,}5x = 30.
On en déduit x = \dfrac{30}{1{,}5} = 20.
L'ensemble des solutions de cette équation est \{20\}.

3.bQuel est le nombre d'entrées pour lequel les tarifs A et B donnent le même prix à payer ?

D'après la résolution de l'équation précédente, les deux tarifs donnent le même prix pour 20 entrées.

4.aLe nombre d'entrées relevé chaque mois de l'année est : 12 500, 13 700, 10 400, 13 600, 12 300, 11 700, 10 400, 11 600, 10 200, 13 800, 12 600 et 11 800. Calculer le nombre moyen d'entrées par mois.

La moyenne s'obtient en divisant la somme des douze valeurs mensuelles par 12.
La somme des entrées sur l'année est 12\,500 + 13\,700 + 10\,400 + 13\,600 + 12\,300 + 11\,700 + 10\,400 + 11\,600 + 10\,200 + 13\,800 + 12\,600 + 11\,800 = 144\,600.
Le nombre moyen d'entrées par mois est donc \dfrac{144\,600}{12} = 12 050 entrées.

4.bCalculer l'étendue du nombre d'entrées par mois.

L'étendue d'une série statistique est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.
Le maximum mensuel est 13 800 (octobre) et le minimum est 10 200 (septembre), donc l'étendue vaut 13\,800 - 10\,200 = 3 600 entrées.

5.La piscine a la forme d'un pavé droit de 50 m de longueur, 25 m de largeur et 3 m de profondeur. En supposant qu'elle soit entièrement remplie, déterminer, en m^{3}, le volume d'eau évacué lors de la vidange.

Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions : longueur \times largeur \times hauteur.
Le volume d'eau à évacuer est donc 50 \times 25 \times 3 = 3 750 m^{3}.

1.aUn funiculaire propose un tarif individuel (8 € l'aller simple et 10 € l'aller-retour par adulte, 6,50 € l'aller simple et 8 € l'aller-retour par enfant de 5 à 11 ans) et un tarif de groupe à partir de 20 personnes (7 € l'aller simple et 8,50 € l'aller-retour par adulte, 5,50 € l'aller simple et 7 € l'aller-retour par enfant). Un groupe de 12 adultes et 8 enfants âgés de 6 à 10 ans fait un aller-retour. Calculer le prix à payer avec le tarif individuel.

Les 8 enfants ont entre 6 et 10 ans, donc ils relèvent bien du tarif enfant (5 à 11 ans).
Avec le tarif individuel, le prix payé est 12 \times 10 + 8 \times 8 = 120 + 64 = 184 €.

1.bCalculer le prix à payer par ce même groupe avec le tarif de groupe.

Le groupe compte 12 + 8 = 20 personnes, ce qui est suffisant pour bénéficier du tarif de groupe (à partir de 20 personnes).
Avec le tarif de groupe, le prix payé est 12 \times 8{,}50 + 8 \times 7 = 102 + 56 = 158 €.

1.cDéterminer le pourcentage de réduction obtenu en appliquant le tarif de groupe plutôt que le tarif individuel.

Le taux d'évolution entre les deux prix est \dfrac{158 - 184}{184} \approx -0{,}1413.
Le prix a donc diminué d'environ 14,13 % : le tarif de groupe permet une réduction d'environ 14,13 % par rapport au tarif individuel.

2.Sur la première partie du trajet, le funiculaire parcourt 448,5 m en 8 min 45 s. Calculer sa vitesse moyenne en mètres par seconde, arrondie au centième.

On convertit d'abord la durée en secondes : {8~\text{min}~45~\text{s} = 8\times60 + 45 = 525} s.
La vitesse moyenne est la distance parcourue divisée par la durée : \begin{aligned}v &= \dfrac{448{,}5}{525} \\ &\approx 0{,}8543\end{aligned} m/s.
Arrondie au centième, la vitesse moyenne du funiculaire est d'environ 0,85 m/s.

3.Sur la dernière partie du trajet, la pente est de 25 % et la dénivelée (différence de hauteur) est de 50 m. Sachant que la pente est le rapport entre la dénivelée et la longueur horizontale, calculer cette longueur horizontale.

La pente vaut \dfrac{\text{dénivelée}}{\text{longueur horizontale}}, soit ici \dfrac{50}{\text{longueur horizontale}} = \dfrac{25}{100}.
On en déduit que la longueur horizontale est 50 \times \dfrac{100}{25} = 200 m.

1.Dans un triangle ABC, M est un point du côté [AB] et N un point du côté [AC], tels que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AC = 8,5 cm, AM = 2,7 cm et MB = 2,5 cm. Calculer la longueur AB.

Comme M appartient au segment [AB], on a \text{AB} = \text{AM} + \text{MB} = 2{,}7 + 2{,}5 = 5,2 cm.

2.H est un point du côté [BC] tel que le triangle ABH est rectangle en H, avec BH = 2 cm. Montrer que la longueur AH est égale à 4,8 cm.

Le triangle ABH est rectangle en H, donc, d'après le théorème de Pythagore, \text{AB}^{2} = \text{AH}^{2} + \text{BH}^{2}.
On en tire \text{AH}^{2} = \text{AB}^{2} - \text{BH}^{2} = 5{,}2^{2} - 2^{2} = 27{,}04 - 4 = 23{,}04.
Comme AH est une longueur positive, \text{AH} = \sqrt{23{,}04} = 4,8 cm.

3.Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{ACH}}, arrondie au degré près.

Le triangle AHC est rectangle en H : le côté [AH] est opposé à l'angle \widehat{\text{ACH}}, et [AC] est l'hypoténuse.
D'après la trigonométrie dans le triangle rectangle (SOH-CAH-TOA), \begin{aligned}\sin\widehat{\text{ACH}} &= \dfrac{\text{AH}}{\text{AC}} \\ &= \dfrac{4{,}8}{8{,}5} \\ &\approx 0{,}5647\end{aligned}
À la calculatrice, on trouve \widehat{\text{ACH}} \approx 34{,}4^{\circ}, soit, arrondi au degré près, \widehat{\text{ACH}} \approx 34^{\circ}.

4.Calculer la longueur HC, arrondie au centimètre près.

Le triangle AHC est rectangle en H : le côté [HC] est adjacent à l'angle \widehat{\text{ACH}}, et [AC] est l'hypoténuse.
D'après la trigonométrie dans le triangle rectangle, \cos\widehat{\text{ACH}} = \dfrac{\text{HC}}{\text{AC}}, donc \text{HC} = \text{AC}\times\cos\widehat{\text{ACH}} \approx 8{,}5 \times \cos(34^{\circ}) \approx 7{,}05 cm.
Arrondie au centimètre près, la longueur HC vaut donc environ 7 cm.

5.Un élève affirme que la longueur AN est inférieure à 4 cm. A-t-il raison ?

Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} &= \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} \\ &= \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}\end{aligned}
d'où \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}, soit \dfrac{2{,}7}{5{,}2} = \dfrac{\text{AN}}{8{,}5}.
donc \text{AN} = \dfrac{\text{AM}\times\text{AC}}{\text{AB}} = \dfrac{2{,}7 \times 8{,}5}{5{,}2} \approx 4,41 cm.
Comme 4{,}41 > 4, la longueur AN n'est pas inférieure à 4 cm : l'élève a tort.

6.Calculer l'aire du triangle AHC.

Le triangle AHC est rectangle en H, donc son aire vaut la moitié du produit des deux côtés de l'angle droit : \mathcal{A}(\text{AHC}) = \dfrac{\text{AH}\times\text{HC}}{2}.
En utilisant les valeurs arrondies AH = 4,8 cm et HC = 7 cm, on obtient \mathcal{A}(\text{AHC}) = \dfrac{4{,}8 \times 7}{2} = 16,8 cm^{2}.