Brevet : Amérique du Nord 2024

1.Un magasin relève les prix de cinq vêtements : 12 €, 15 €, 10 €, 7 € et 13 €. Affirmation A : la moyenne des prix est 11,40 €. Affirmation B : la médiane des prix est 10 €. Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ?

Affirmation A : la moyenne vaut \begin{aligned}\dfrac{12+15+10+7+13}{5} &= \dfrac{57}{5} \\ &= 11{,}4\end{aligned} €. L'affirmation A est vraie.
Affirmation B : en rangeant les prix dans l'ordre croissant, on obtient 7~;~10~;~12~;~13~;~15. La valeur centrale (la 3e sur 5) est 12 €, donc la médiane est 12 € et non 10 €. L'affirmation B est fausse.

2.Lors d'un entraînement, une élève parcourt 20 m en 6 secondes. Affirmation C : sa vitesse moyenne est de 14 km/h. Vrai ou faux ?

La vitesse moyenne est \begin{aligned}v &= \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}} \\ &= \dfrac{20}{6} \\ &\approx 3{,}33\end{aligned} m/s.
Pour convertir en km/h, on multiplie par 3,6 (puisque 1 m/s = 3{,}6 km/h) : {3{,}33\times3{,}6 \approx 12} km/h.
La vitesse moyenne de l'élève est donc d'environ 12 km/h, et non 14 km/h. L'affirmation C est fausse.

3.Une urne contient 15 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 15. Affirmation D : la probabilité de tirer une boule portant un nombre premier est \dfrac{7}{15}. Vrai ou faux ?

Les nombres premiers compris entre 1 et 15 sont 2, 3, 5, 7, 11 et 13 : il y en a 6.
La probabilité de tirer un nombre premier est donc \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}, et non \dfrac{7}{15}. L'affirmation D est fausse.

4.Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport (-3). Affirmation E : l'aire du triangle A'B'C' est égale à 3 fois l'aire du triangle ABC. Vrai ou faux ?

Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k|, et donc les aires par k^2.
Ici k=-3, donc les aires sont multipliées par (-3)^2 = 9, et non par 3.
L'aire du triangle A'B'C' est donc égale à 9 fois celle du triangle ABC, et non à 3 fois. L'affirmation E est fausse.

1.Un programme de calcul propose deux chaînes d'opérations à partir d'un nombre de départ : à gauche, ajouter 2 puis multiplier par 4 ; à droite, multiplier par 5 puis soustraire 3 ; puis multiplier les deux résultats obtenus. Montrer qu'en partant de 2, le résultat final est 112.

En partant de 2 : à gauche, 2+2=4 puis 4\times4=16 ; à droite, 2\times5=10 puis 10-3=7.
Le résultat final est le produit des deux résultats intermédiaires : 16\times7 = 112.

2.Quel est le résultat obtenu en partant du nombre -3 ?

En partant de -3 : à gauche, {-3+2=-1} puis -1\times4=-4 ; à droite, {-3\times5=-15} puis -15-3=-18.
Le résultat final est (-4)\times(-18) = 72.

3.On choisit x comme nombre de départ. Parmi les quatre expressions suivantes, lesquelles permettent d'exprimer le résultat obtenu par ce programme : {A=(x+2\times4)(x\times5-3)}, {B=(4x+2)(5x-3)}, {C=(4x+8)(5x-3)}, D=(x+2)\times4\times(5x-3) ?

En partant de x : à gauche, x+2 puis 4(x+2)=4x+8 ; à droite, 5x puis {5x-3}.
Le résultat général est donc {4(x+2)\times(5x-3)}, que l'on peut écrire (x+2)\times4\times(5x-3) (expression D, sans distribuer le 4) ou (4x+8)(5x-3) (expression C, après avoir distribué le 4 dans le premier facteur).
Les expressions C et D conviennent toutes les deux ; les expressions A et B ne correspondent pas au programme.

4.Trouver les deux nombres de départ qui donnent 0 comme résultat final, en expliquant la démarche.

Le résultat final s'écrit (4x+8)(5x-3). Ce produit est nul si l'un au moins des deux facteurs est nul.
Soit 4x+8=0, c'est-à-dire 4x=-8, soit x=-2.
Soit 5x-3=0, c'est-à-dire 5x=3, soit \begin{aligned}x &= \dfrac{3}{5} \\ &= 0{,}6\end{aligned}
Les deux nombres de départ qui donnent 0 à l'arrivée sont donc -2 et 0{,}6.

5.Développer et réduire l'expression {B=(4x+2)(5x-3)}.

On développe chaque produit : \begin{aligned}B &= 4x\times5x + 4x\times(-3) + 2\times5x + 2\times(-3) \\ &= 20x^2-12x+10x-6\end{aligned}
En réduisant les termes de même degré : B = 20x^2-2x-6.

1.Un cinéma propose le tarif « Classique » à 11 € l'entrée. Combien coûtent 3 entrées avec ce tarif ?

Avec le tarif Classique, 3 entrées coûtent 3\times11 = 33 €.

2.Le tarif « Essentiel » consiste en un abonnement annuel de 50 € puis 5 € par entrée. Montrer qu'avec ce tarif, 8 entrées coûtent 90 €.

Avec le tarif Essentiel, le coût de 8 entrées est 50+8\times5 = 50+40 = 90 €, ce qui confirme l'énoncé.

3.Le tarif « Liberté » consiste en un abonnement annuel de 240 € donnant un accès illimité. En notant x le nombre d'entrées, on considère les fonctions {f: x\mapsto50+5x}, g: x\mapsto240 et h: x\mapsto11x. Associer chacune de ces fonctions au tarif correspondant.

La fonction f, qui combine un montant fixe de 50 et un coût de 5 par entrée, correspond au tarif « Essentiel ».
La fonction g, constante et égale à 240 quel que soit le nombre d'entrées, correspond au tarif « Liberté ».
La fonction h, proportionnelle au nombre d'entrées avec un coefficient de 11, correspond au tarif « Classique ».

4.Sur un graphique, les droites (d1), (d2) et (d3) représentent respectivement les tarifs Classique, Essentiel et Liberté en fonction du nombre d'entrées. Quel tarif propose un prix proportionnel au nombre d'entrées ?

Seule la fonction h (tarif Classique) est linéaire, de la forme x\mapsto11x sans terme constant : c'est donc le tarif « Classique » qui propose un prix proportionnel au nombre d'entrées.

5.aAvec 150 €, combien d'entrées peut-on acheter au maximum avec le tarif « Essentiel » (aucune justification attendue) ?

On résout 50+5x\leqslant150, soit 5x\leqslant100, soit x\leqslant20.
Avec 150 €, on peut acheter au maximum 20 entrées avec le tarif Essentiel.

5.bÀ partir de combien d'entrées le tarif « Liberté » devient-il le plus intéressant (aucune justification attendue) ?

Le tarif Liberté (240 €) devient plus avantageux que l'Essentiel lorsque {50+5x>240}, soit 5x>190, soit x>38.
À partir de 39 entrées, le tarif Liberté est le plus intéressant.

5.cAvec un budget de 200 € maximum, quel tarif permet d'acheter le plus grand nombre d'entrées (aucune justification attendue) ?

Tarif Classique : 11x\leqslant200 donne au plus 18 entrées (11\times18=198).
Tarif Essentiel : 50+5x\leqslant200 donne au plus 30 entrées (50+5\times30=200).
Tarif Liberté : l'abonnement de 240 € dépasse déjà le budget de 200 €, donc ce tarif est inaccessible.
C'est donc le tarif « Essentiel » qui permet d'acheter le plus grand nombre d'entrées, soit 30.

1.M. et Mme Martin construisent une terrasse en forme de pentagone EFGHJ (obtenu en complétant un rectangle EFGH, avec EH = 3 m, HJ = 10 m vu de dessus, et un triangle rectangle GFJ accolé). Sachant que EFGH est un rectangle avec HG = 6 m, montrer que FJ = 4 m.

EFGH est un rectangle, donc les côtés opposés sont égaux : \begin{aligned}EF &= HG \\ &= 6\end{aligned} m.
Comme HJ = 10 m et que F est situé entre les extrémités de ce côté, FJ = HJ - EF = 10-6 = 4 m.

2.Pour couler le béton, les Martin doivent installer des planches tout autour de la terrasse. Quelle longueur totale de planches doivent-ils acheter au minimum ?

Le triangle GFJ est rectangle en F (car (GF) est perpendiculaire à (FJ), les deux étant des côtés du rectangle ou de sa prolongation). D'après le théorème de Pythagore : GJ^2 = GF^2+FJ^2.
Or \begin{aligned}GF &= EH \\ &= 3\end{aligned} m (côtés opposés du rectangle EFGH), donc \begin{aligned}GJ^2 &= 3^2+4^2 \\ &= 9+16 \\ &= 25\end{aligned} d'où GJ = 5 m.
Le périmètre du pentagone est EF+FJ+JG+GH+HE = 6+4+5+6+3 = 24 m de planches à acheter au minimum.

3.aMontrer que le volume de la terrasse (hauteur 15 cm) est bien inférieur à 4 m^{3}.

L'aire de la base du prisme (le pentagone EFGHJ) se décompose en l'aire du rectangle EFGH et celle du triangle GFJ : \begin{aligned}\mathcal{A} &= EF\times EH + \dfrac{GF\times FJ}{2} \\ &= 6\times3+\dfrac{3\times4}{2} \\ &= 18+6 \\ &= 24\end{aligned} m^{2}.
Le volume du prisme est \begin{aligned}V &= \mathcal{A}\times h \\ &= 24\times0{,}15 \\ &= 3{,}6\end{aligned} m^{3}.
Comme 3{,}6 < 4, le volume de la terrasse est bien inférieur à 4 m^{3}.

3.bSachant qu'il faut 250 kg de ciment par m^{3} de béton, quelle masse de ciment doivent-ils acheter pour réaliser 4 m^{3} de béton ?

Pour 4 m^{3} de béton, il faut 4\times250 = 1 000 kg de ciment.

3.cDans le mélange, les masses de ciment, gravier et sable sont dans le ratio 2 : 7 : 5. Déterminer la masse de gravier et la masse de sable nécessaires pour les 4 m^{3} de béton.

Le ratio 2 : 7 : 5 signifie que pour 2 parts de ciment, il faut 7 parts de gravier et 5 parts de sable.
Comme 1 000 kg de ciment correspondent à 2 parts, une part vaut 1\,000\div2 = 500 kg.
La masse de gravier est donc 500\times7 = 3 500 kg, et la masse de sable est 500\times5 = 2 500 kg.

4.Les Martin veulent peindre la surface supérieure de la terrasse en deux couches. La peinture est vendue en pot de 5 L à 79,90 € (pot A) ou en pot de 10 L à 129,90 € (pot B), avec une offre « 50 % sur le deuxième article identique ». Sachant qu'1 L de peinture couvre 5 m^{2} en une couche, déterminer la solution la moins chère.

L'aire de la terrasse est de 24 m^{2} (question 3.a). Avec deux couches, la surface totale à peindre est 24\times2 = 48 m^{2}.
Le volume de peinture nécessaire est \dfrac{48}{5} = 9{,}6 L.
Avec deux pots A (soit 10 L, suffisant pour 9,6 L), en profitant de l'offre : \begin{aligned}79{,}90+\dfrac{79{,}90}{2} &= 79{,}90+39{,}95 \\ &= 119{,}85\end{aligned} €.
Avec un seul pot B (10 L, suffisant également) : 129,90 €.
La solution la moins chère est donc d'acheter deux pots A, pour un coût de 119,85 €.

PartieA. Sur une figure, les points A, C, E sont alignés, les points B, C, D sont alignés, AB = 240 mm, CE = 80 mm, et les angles en A et en B du triangle ABC mesurent chacun 60^{\circ}. 1. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

Dans le triangle ABC, les angles en A et en B mesurent chacun 60^{\circ} d'après le codage de la figure.
La somme des angles d'un triangle vaut 180^{\circ}, donc l'angle en C mesure {180-(60+60) = 60^{\circ}}.
Le triangle ABC a ses trois angles de même mesure (60^{\circ}) : il est donc équilatéral.

2.Montrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.

Le triangle ABC est équilatéral (question 1), donc \begin{aligned}AB &= BC \\ &= CA \\ &= 240\end{aligned} mm.
Les points A, C, E sont alignés et les points B, C, D sont alignés, avec C entre A et E d'une part, et C entre B et D d'autre part.
D'après le codage de la figure, le triangle CDE est lui aussi équilatéral, donc \begin{aligned}CD &= CE \\ &= DE \\ &= 80\end{aligned} mm.
D'une part, \begin{aligned}\dfrac{CE}{CA} &= \dfrac{80}{240} \\ &= \dfrac13\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}\dfrac{CD}{CB} &= \dfrac{80}{240} \\ &= \dfrac13\end{aligned}
donc \dfrac{CE}{CA} = \dfrac{CD}{CB} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (DE) et (AB) sont parallèles.

PartieB. Un programme Scratch utilise une variable « côté » pour tracer la figure précédente. Le lutin part du point de coordonnées (-180~;~-150), orienté vers la droite (90^{\circ}). 1. Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin (aucune justification attendue) ?

Les coordonnées du point de départ du lutin sont (-180~;~-150), comme indiqué dans les premières instructions du programme.

2.Le programme fixe d'abord la variable « côté », puis exécute le bloc « triangle » (qui trace un triangle de côté « côté »), tourne de 60^{\circ} vers la gauche, avance de 240 pas, refixe « côté » à « côté / 3 », puis exécute à nouveau le bloc « triangle ». Quelle valeur doit être saisie pour la variable « côté » avant le premier tracé (aucune justification attendue) ?

Le premier triangle tracé est le grand triangle ABC, dont le côté AB mesure 240 mm, soit 240 pas (1 pas représentant 1 mm).
La valeur à saisir pour la variable « côté » avant le premier appel du bloc « triangle » est donc 240.

3.Le lutin démarre au point de coordonnées repéré par la case D8 sur une grille quadrillée. Dans quelle case se trouve-t-il juste après avoir tracé le grand triangle, tourné de 60^{\circ} et avancé de 240 pas ?

Après avoir tracé le grand triangle ABC (retour au point de départ D8), le lutin tourne de 60^{\circ} vers la gauche puis avance de 240 pas : ce déplacement l'amène au sommet D de la figure, en haut de la grille.
En reportant ce déplacement sur le quadrillage fourni, le lutin se trouve alors dans la case G3.

4.Expliquer l'instruction « côté / 3 » utilisée avant le tracé du second triangle.

Le second triangle tracé est le petit triangle CDE, dont le côté CE mesure 80 mm, soit le tiers du côté du grand triangle ABC (240 mm), puisque {\dfrac{240}{3} = 80}.
L'instruction « côté / 3 » permet donc de réduire la longueur du côté dans le rapport \dfrac13, afin que le bloc « triangle » trace cette fois le petit triangle CDE à la bonne échelle.