Brevet : Amérique du Sud 2024

1.Une urne contient trois jetons verts et deux jetons blancs. On tire un jeton au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton blanc ? (A : \dfrac23, B : \dfrac35, C : \dfrac25)

Il y a 2 jetons blancs parmi 3+2=5 jetons en tout, tous ayant la même chance d'être tirés.
La probabilité d'obtenir un jeton blanc est donc \dfrac{2}{5}.
Réponse C.

2.Un solide est représenté en perspective (une sorte de socle avec un dénivelé). Parmi trois figures planes proposées, laquelle est la vue de droite de ce solide ?

Pour identifier la vue de droite d'un solide, il faut imaginer l'ombre projetée par le solide sur un écran placé perpendiculairement à sa droite, en regardant le solide de ce côté.
Le solide présente une marche : une partie basse et une partie plus haute, avec un décalage en profondeur visible uniquement depuis la droite.
Seule la figure B respecte à la fois les proportions de hauteur et le décrochement de profondeur observés sur la perspective. Réponse B.

3.B, H, A sont alignés ; B, D, C sont alignés ; BD = 2 cm, BC = 10 cm, AC = 16 cm, et (DH) est parallèle à (AC). Quelle est la longueur du segment [DH] ? (A : 3,2 cm, B : 4 cm, C : 4,8 cm)

Les points B, H, A sont alignés et les points B, D, C sont alignés dans le même ordre.
Les droites (DH) et (AC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{\text{BH}}{\text{BA}} &= \dfrac{\text{BD}}{\text{BC}} \\ &= \dfrac{\text{DH}}{\text{AC}}\end{aligned}
d'où \dfrac{\text{BD}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{DH}}{\text{AC}}, soit \dfrac{2}{10} = \dfrac{\text{DH}}{16}.
donc \text{DH} = \dfrac{\text{BD}\times\text{AC}}{\text{BC}} = \dfrac{2\times16}{10} = \dfrac{32}{10} = 3,2 cm.
Réponse A.

4.Un engrenage comporte une petite roue de 9 dents et une grande roue de 12 dents. Si la petite roue effectue exactement 4 tours complets, combien de tours complets effectue la grande roue ? (A : 3 tours, B : 4 tours, C : 6 tours)

Deux roues dentées en prise avancent de la même longueur de denture au même moment : le nombre de dents qui défilent est donc le même pour les deux roues.
En 4 tours, la petite roue (9 dents) fait défiler 4\times9 = 36 dents.
La grande roue (12 dents) fait alors \dfrac{36}{12} = 3 tours complets.
Réponse A.

5.ADCB est un carré et AGFE est son image par une homothétie de centre A ; le triangle EGF est l'image d'un triangle par cette même homothétie. Quel est ce triangle ? (A : GEA, B : ABD, C : BDC)

Une homothétie transforme chaque sommet du carré ADCB en un sommet du carré AGFE, dans le même ordre : A a pour image A (centre invariant), D a pour image G, C a pour image F et B a pour image E.
Le triangle EGF est donc formé des images des sommets B, D et C, c'est-à-dire l'image du triangle BDC par cette homothétie.
Réponse C.

1.aOn considère les fonctions {f(x) = x^2-x-6} et g(x) = -2x. Montrer que l'image de 5 par la fonction f est 14.

On calcule \begin{aligned}f(5) &= 5^2-5-6 \\ &= 25-5-6\end{aligned}
\begin{aligned}f(5) &= 20-6 \\ &= 14\end{aligned}
L'image de 5 par la fonction f est bien 14.

1.bDéterminer l'antécédent de 4 par la fonction g.

On cherche le nombre x tel que g(x) = 4, c'est-à-dire -2x = 4.
On en déduit \begin{aligned}x &= \dfrac{4}{-2} \\ &= -2\end{aligned}
L'antécédent de 4 par la fonction g est -2.

1.cÀ l'aide d'un tableur, on a calculé les images de -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 par les fonctions f et g : f donne 14 ; 6 ; 0 ; -4 ; -6 ; -6 ; -4 et g donne 8 ; 6 ; 4 ; 2 ; 0 ; -2 ; -4. Citer deux antécédents de 14 par la fonction f.

D'après la question 1.a, f(5) = 14, donc 5 est un antécédent de 14 par f.
Le tableur indique aussi que f(-4) = 14, donc -4 est également un antécédent de 14 par f.
Les nombres -4 et 5 sont deux antécédents de 14 par la fonction f.

1.dQuelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B2 (calculant f(x) à partir de x en B1) avant de l'étirer vers la droite jusqu'à la cellule H2 ?

On a pu saisir en B2 la formule =B1*B1-B1-6 (ou une formule équivalente utilisant une puissance), qui recalcule f(x) pour chaque valeur de x lorsqu'on l'étire jusqu'en H2.

1.eExiste-t-il un nombre qui a la même image par la fonction f et par la fonction g ?

On compare les deux lignes du tableur colonne par colonne : pour x=-3, f(-3) = 6 et g(-3) = 6, les deux images coïncident.
Pour x=2, f(2) = -4 et g(2) = -4, les deux images coïncident également.
Oui : les nombres -3 et 2 ont la même image par f et par g (respectivement 6 et -4).

2.aMontrer que, pour tout nombre x, f(x) est égal à (x+2)(x-3).

On développe le produit (x+2)(x-3) = x\times x - 3x + 2x - 2\times3.
\begin{aligned}(x+2)(x-3) &= x^2 - 3x + 2x - 6 \\ &= x^2 - x - 6\end{aligned}
On retrouve exactement l'expression de f(x), donc f(x) = (x+2)(x-3) pour tout nombre x.

2.bRésoudre l'équation f(x) = 0.

D'après la question précédente, résoudre f(x)=0 revient à résoudre (x+2)(x-3) = 0.
Un produit de deux facteurs est nul si (et seulement si) l'un au moins des facteurs est nul : soit x+2=0, soit {x-3=0}.
La première égalité donne x=-2, la seconde donne x=3.
L'ensemble des solutions est {S=\{-2~;~3\}}.

1.Un tableau donne les probabilités d'attraper sa proie pour quatre félins : le lion 25 %, le guépard \dfrac12, le tigre 0,1 et le chat à pieds noirs \dfrac{6}{10}. Vérifier que le chat à pieds noirs a la probabilité la plus élevée d'attraper sa proie.

On exprime chaque probabilité sous forme décimale : lion \dfrac{25}{100} = 0{,}25 ; guépard \dfrac12 = 0{,}5 ; tigre 0{,}1 ; chat à pieds noirs \dfrac{6}{10} = 0{,}6.
On compare : {0{,}1 < 0{,}25 < 0{,}5 < 0{,}6}.
La probabilité la plus élevée, 0,6, est bien celle du chat à pieds noirs.

2.aLe guépard peut atteindre 115 km/h. À cette vitesse, en combien de secondes parcourt-il 100 mètres (arrondi au centième de seconde) ?

On convertit la vitesse en mètres par seconde : 115 km/h = 115\,000 m en 3\,600 s, soit \dfrac{115\,000}{3\,600} \approx 31{,}944 m/s.
Le temps pour parcourir 100 m est \begin{aligned}t &= \dfrac{\text{distance}}{\text{vitesse}} \\ &= \dfrac{100}{31{,}944}\end{aligned}
t \approx 3{,}130 s.
Le guépard parcourt 100 m en environ 3,13 secondes.

2.bDans un pays d'Afrique, on comptait environ 1 200 guépards en 1999 et 170 guépards en 2016. Est-il vrai que le nombre de guépards a baissé d'environ 86 % entre 1999 et 2016 ?

En 2016, la population représente \dfrac{170}{1\,200} \approx 0{,}1417 de la population de 1999, soit environ 14,2 %.
La baisse correspond donc à {100 - 14{,}2 = 85{,}8} %, soit environ 86 % à l'unité près.
C'est bien vrai : le nombre de guépards a baissé d'environ 86 % entre 1999 et 2016.

3.Dans le parc national d'Etosha, en Namibie, on peut observer des lions et des guépards. À l'aide d'une carte du monde, donner approximativement la latitude et la longitude de ce parc.

Le parc national d'Etosha se situe en Namibie, en Afrique australe : sur une carte du monde, on peut lire approximativement une latitude de 19^{\circ} Sud et une longitude de 16^{\circ} Est.

1.On veut construire une maison sur un terrain en pente, en enlevant de la terre pour obtenir un terrain horizontal [BC]. Le triangle ABC est rectangle en C, avec AC = 2,6 m et AB = 17 m. Justifier que CB = 16,8 m.

Le triangle ABC est rectangle en C, donc, d'après le théorème de Pythagore : \text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{CB}^2.
On en déduit \text{CB}^2 = \text{AB}^2 - \text{AC}^2 = 17^2 - 2{,}6^2 = 289 - 6{,}76 = 282{,}24.
Donc \text{CB} = \sqrt{282{,}24} = 16{,}8 m.
On a bien justifié que CB = 16,8 m.

2.Le coût des travaux dépend de la mesure de l'angle \widehat{\text{ABC}} : au-delà de 8,5^{\circ}, les travaux coûtent plus cher. Est-ce le cas pour ce terrain ?

Dans le triangle ABC rectangle en C, l'angle \widehat{\text{ABC}} a pour côté opposé [AC] et pour côté adjacent [CB] : on utilise la tangente (formule SOH-CAH-TOA).
\begin{aligned}\tan(\widehat{\text{ABC}}) &= \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} \\ &= \dfrac{\text{AC}}{\text{CB}} \\ &= \dfrac{2{,}6}{16{,}8} \\ &\approx 0{,}1548\end{aligned}
En passant par la fonction réciproque de la calculatrice, on obtient {\widehat{\text{ABC}} \approx 8{,}8^{\circ}}.
Comme 8{,}8 > 8{,}5, oui, la mesure de l'angle dépasse 8,5^{\circ} : les travaux entraîneront bien un surcoût.

3.Le volume de terre à enlever correspond à un prisme droit de bases triangulaires ACB et DFE (hauteur [CF] = [AD] = 30 m). Déterminer ce volume, sachant que la formule est : volume = aire de la base \times hauteur.

L'aire de la base triangulaire ACB (triangle rectangle en C) est \begin{aligned}\mathcal{A} &= \dfrac{\text{AC}\times\text{CB}}{2} \\ &= \dfrac{2{,}6\times16{,}8}{2}\end{aligned}
\begin{aligned}\mathcal{A} &= \dfrac{43{,}68}{2} \\ &= 21{,}84\end{aligned} m^{2}.
Le volume du prisme est {V = \mathcal{A}\times\text{AD} = 21{,}84\times30}.
V = 655{,}2 m^{3}.
Le volume de terre à enlever est de 655,2 m^{3}.

1.On définit un bloc « Losange » qui répète deux fois la séquence : avancer de 20, tourner à droite de 60^{\circ}, avancer de a, tourner à droite de b degrés, pour tracer un losange de côté 20. Par quelles valeurs remplacer a et b ?

Un losange a ses quatre côtés de même longueur : le deuxième déplacement doit donc aussi mesurer 20, soit a = 20.
Pour tracer un losange, on doit tourner du même angle à chaque sommet, de façon à effectuer un tour complet (360^{\circ}) en 4 virages : chaque angle extérieur vaut \dfrac{360}{4} = 90^{\circ}... mais ici la boucle ne compte que 2 virages différents répétés deux fois, correspondant aux deux angles du losange, supplémentaires entre eux (leur somme fait 180^{\circ} car les côtés opposés d'un losange sont parallèles).
Le premier virage valant 60^{\circ}, le second doit donc valoir \begin{aligned}b &= 180-60 \\ &= 120\end{aligned} degrés.

2.Un bloc « Motif A » répète trois fois : Losange, puis tourner à droite de 60^{\circ}. Parmi trois figures proposées (une rosace à 3 branches, une rosace à 6 branches, une autre rosace à 3 branches orientée différemment), laquelle correspond à l'exécution du bloc « Motif A » ?

Le bloc trace 3 losanges identiques, en tournant de 60^{\circ} autour du point de départ entre chaque losange : la figure obtenue est donc une rosace à 3 branches (et non 6, puisque la boucle ne se répète que 3 fois).
Comme chaque losange est tracé en tournant systématiquement vers la droite, l'orientation des branches suit le sens des aiguilles d'une montre.
C'est la figure présentant 3 losanges disposés en rosace dans ce sens de rotation qui correspond au bloc « Motif A ».

3.Un bloc « Motif B », une fois exécuté, produit une figure de 3 losanges alignés côte à côte sur une même ligne horizontale (et non en rosace). Écrire un script possible pour ce bloc « Motif B ».