Brevet : Asie 2024

QCM(une seule réponse exacte par question, aucune justification n'était demandée sur la copie). 1. Parmi les nombres 1, 21, 37 et 54, lequel est un nombre premier ? Réponses proposées : A. 1 B. 21 C. 37 D. 54

1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur (lui-même).
21 est divisible par 1, 3, 7 et 21 : il a donc plus de deux diviseurs.
54 est divisible par 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 et 54 : il a lui aussi plus de deux diviseurs.
37 n'admet que deux diviseurs : 1 et 37. C'est donc le seul nombre premier de la liste. Réponse C.

2.Un cube a pour arête 5 cm. Quelle est l'aire totale de son patron ? Réponses proposées : A. 125 cm^{2} B. 150 cm^{2} C. 120 cm^{2} D. 100 cm^{2}

Le patron d'un cube est constitué de 6 faces carrées, chacune de côté 5 cm.
L'aire d'une face est 5^2 = 25 cm^{2}, donc l'aire totale du patron est 6\times25 = 150 cm^{2}. Réponse B.

3.Quelle est une forme factorisée de l'expression 4x^2-9 ? Réponses proposées : A. (4x-3)(4x+3) B. (2x-3)(2x+3) C. (2x-3)^2 D. (4x-9)(4x+9)

On reconnaît une différence de deux carrés : 4x^2-9 = (2x)^2 - 3^2.
D'après l'identité remarquable {a^2-b^2=(a-b)(a+b)}, on obtient (2x-3)(2x+3). Réponse B.

4.Un écran de télévision est au format 16:9 (rapport longueur/largeur). Sa longueur mesure 110 cm. Quelle est sa largeur, arrondie ? Réponses proposées : A. 62 cm B. 103 cm C. 196 cm D. 94 cm

On cherche la largeur \ell telle que {\dfrac{110}{\ell} = \dfrac{16}{9}}, ce qui revient à résoudre le tableau de proportionnalité longueur/largeur = \dfrac{16}{9} = 110/\ell.
Par produit en croix : {\ell = \dfrac{110\times9}{16} = 61,875}, soit environ 62 cm. Réponse A.

5.On donne la série de valeurs : 4,1 ; 3,67 ; 4,23 ; 4,5 ; 3,4. Quelle est la médiane de cette série ? Réponses proposées : A. 0,83 B. 4,1 C. 4,23 D. 3,98

On range d'abord les valeurs dans l'ordre croissant : 3,4 ; 3,67 ; 4,1 ; 4,23 ; 4,5.
Il y a 5 valeurs (nombre impair), la médiane est donc la valeur du milieu, en position \dfrac{5+1}{2}=3 : c'est 4,1. Réponse B.

Troisaffirmations sont proposées ; pour chacune, il fallait dire si elle est vraie ou fausse en justifiant. 1. Un assemblage de quatre cubes identiques est représenté en perspective cavalière (trois cubes posés sur un même plan et un quatrième cube posé au-dessus). Affirmation 1 : « La vue de droite de cet assemblage est un rectangle simple, sans trait supplémentaire. » Vrai ou faux ?

L'affirmation est fausse.
Le solide comporte un cube supplémentaire posé au-dessus des trois autres. Sur n'importe quelle vue latérale (de face, de dos, de gauche ou de droite), ce cube du dessus doit apparaître comme un rectangle plus petit, dessiné au-dessus (ou empiétant sur) le contour du reste du solide.
Un simple rectangle plein, sans trait indiquant la présence de ce cube supplémentaire, ne peut donc pas être la bonne vue de droite.

2.Sur un schéma (non fourni à l'échelle), cinq points U, O, S, D, N sont placés de sorte que S, N, O soient alignés dans cet ordre et que S, U, D soient alignés dans cet ordre, avec ON = 6 cm, SU = 5 cm et UD = 6 cm. Affirmation 2 : « Les droites (NU) et (OD) sont parallèles. » Vrai ou faux ?

L'affirmation est fausse.
Les points S, N, O sont alignés dans cet ordre et les points S, U, D sont alignés dans cet ordre.
N est le milieu de [SO] (car ON = 6 cm), et \text{SD} = \text{SU}+\text{UD} = 5+6 = 11 cm.
D'une part, \dfrac{\text{SN}}{\text{SO}} = \dfrac12.
D'autre part, \dfrac{\text{SU}}{\text{SD}} = \dfrac{5}{11}.
donc \dfrac12 \neq \dfrac{5}{11} : l'égalité de Thalès n'est pas vérifiée.
donc les droites (NU) et (OD) ne sont pas parallèles.

3.Une urne opaque contient 4 boules rouges et 6 boules bleues indiscernables au toucher ; on y tire une boule au hasard. Un dé non truqué à 6 faces numérotées de 1 à 6 est lancé. Affirmation 3 : « La probabilité de tirer une boule bleue dans l'urne est supérieure à la probabilité d'obtenir un nombre pair avec le dé. » Vrai ou faux ?

L'affirmation est vraie.
Les boules étant indiscernables au toucher, le tirage dans l'urne est équiprobable : l'urne contient 4+6=10 boules dont 6 bleues, donc {P(\text{bleue}) = \dfrac{6}{10} = \dfrac35 = 0,6}.
Le dé étant non truqué, chaque face a la même probabilité : les issues paires sont 2, 4 et 6, soit 3 issues favorables sur 6, donc P(\text{pair}) = \dfrac36 = \dfrac12 = 0,5.
Comme 0,6 > 0,5, la probabilité d'obtenir une boule bleue est bien supérieure à celle d'obtenir un nombre pair.

Troisélèves construisent chacun, en vraie grandeur, la même figure : un triangle ABC avec A, C, B alignés et AC = CB, la droite (CG) perpendiculaire à (AB), et un arc de cercle de centre G reliant A à B. On donne CG = 10 cm et BG = 20 cm. 1. Démontrer que la longueur BC mesure environ 17,3 cm.

Les droites (AB) et (CG) sont perpendiculaires, donc le triangle BCG est rectangle en C.
D'après le théorème de Pythagore : \text{BG}^2 = \text{BC}^2 + \text{CG}^2.
Soit 20^2 = \text{BC}^2 + 10^2, donc {\text{BC}^2 = 400 - 100 = 300}.
Comme BC est une longueur (donc positive), \text{BC} = \sqrt{300} \approx 17,3 cm (arrondi au millimètre).

2.Quelle est l'aire du triangle BAG, arrondie à l'unité ?

Le point C est le milieu de [AB] (puisque AC = CB), donc \text{AB} = 2\times\text{BC} = 2\sqrt{300}.
La droite (CG) est perpendiculaire à (AB) : c'est donc la hauteur du triangle BAG issue de G, relative à la base [AB].
L'aire du triangle BAG est \dfrac{\text{AB}\times\text{CG}}{2} = \dfrac{2\sqrt{300}\times10}{2} = 10\sqrt{300} = 100\sqrt3 \approx 173 cm^{2} (arrondi à l'unité).

3.a.Montrer que l'angle \widehat{\text{CGB}} mesure exactement 60^{\circ}.

Dans le triangle CGB, rectangle en C, on connaît le côté adjacent CG et l'hypoténuse GB : on utilise donc le cosinus.
\cos\left(\widehat{\text{CGB}}\right) = \dfrac{\text{CG}}{\text{GB}} = \dfrac{10}{20} = 0,5.
Or l'angle dont le cosinus vaut 0,5 mesure exactement 60^{\circ} (on peut aussi utiliser la touche \cos^{-1} de la calculatrice), donc \widehat{\text{CGB}} = 60^{\circ}.

3.b.En déduire la mesure de l'angle \widehat{\text{AGB}}.

G est le centre de l'arc de cercle passant par A et B, donc GA = GB (rayons de l'arc) : le triangle AGB est isocèle en G.
Dans ce triangle isocèle, la droite (CG) est la hauteur issue du sommet principal G ; elle est donc aussi la bissectrice de l'angle \widehat{\text{AGB}}, et coupe cet angle en deux angles égaux, dont \widehat{\text{CGB}}.
On a donc \widehat{\text{AGB}} = 2\times\widehat{\text{CGB}} = 2\times60 = 120^{\circ}.

4.Les trois élèves pensent qu'en assemblant leurs trois pièces, ils peuvent former un disque complet. Expliquer pourquoi ils ont raison.

Un disque complet correspond à un angle plein de 360^{\circ} autour de son centre.
Chaque pièce est une portion de disque de centre G avec un angle au centre \widehat{\text{AGB}} = 120^{\circ}.
En assemblant les trois pièces identiques bord à bord autour du même point G, les trois angles s'additionnent : 3\times120 = 360^{\circ}, ce qui correspond exactement à un disque complet.

5.En déduire l'aire de la pièce obtenue par chacun des élèves, arrondie à l'unité.

Les trois pièces assemblées forment un disque de centre G et de rayon {R = \text{GB} = 20} cm.
L'aire de ce disque est \begin{aligned}\pi\times R^2 &= \pi\times20^2 \\ &= 400\pi\end{aligned} cm^{2}.
Les trois pièces étant identiques, chacune a pour aire \dfrac{400\pi}{3} \approx 419 cm^{2} (arrondi à l'unité).

PARTIEA. Des amis, habitant Strasbourg, veulent se rendre à Marseille en voiture de location, puis se déplacer sur place à pied ou en transports en commun. Une agence propose trois formules : A à 0,50 € par kilomètre parcouru ; B avec un forfait fixe de 300 € puis 0,25 € par kilomètre parcouru ; C avec un forfait fixe de 900 € pour un kilométrage illimité. Un tableau des distances indique que Marseille est à 803 km de Strasbourg. Leur budget total pour le voyage est de 1 000 €. 1. Quelle distance vont-ils parcourir pour l'aller-retour ?

Pour l'aller-retour, la distance parcourue est 803\times2 = 1 606 km.

2.En choisissant la formule B, montrer que la location de voiture coûtera 701,50 €.

Avec la formule B, le prix payé est 300 + 1\,606\times0,25.
1\,606\times0,25 = 401,50, donc le prix total est 300 + 401,50 = 701,50 €, ce qui confirme le montant annoncé.

3.Quelle formule de location est la plus avantageuse pour ce trajet de 1 606 km ?

Avec la formule A, le prix payé serait 1\,606\times0,50 = 803 €.
Avec la formule C, le prix payé serait fixe, 900 €.
En comparant les trois montants : 701,50 < 803 < 900, la formule B est donc la plus avantageuse pour ce trajet.

4.On donne : prix moyen du gazole en 2023 : 1,87 € par litre ; consommation de la voiture : 5,6 L pour 100 km ; coût total des péages : 115,80 €. Leur budget de 1 000 € sera-t-il suffisant pour ce voyage (location + carburant + péages), en choisissant la formule B ?

La consommation totale de carburant pour 1 606 km est {1\,606\times\dfrac{5,6}{100} = 89,936} L.
Le coût du carburant est donc {89,936\times1,87 \approx 168,18} € (arrondi au centime).
Le coût total du voyage est la somme de la location, du carburant et des péages : {701,50 + 168,18 + 115,80 = 985,48} €.
Comme 985,48 \leqslant 1\,000, le budget de 1 000 € est suffisant pour ce voyage.

PARTIEB. On étudie maintenant les trois formules de location de façon plus générale, en fonction de la distance parcourue. 5. En notant x le nombre de kilomètres parcourus, exprimer en fonction de x le prix payé avec chacune des trois formules.

6.Sur un graphique, trois courbes représentent le coût de la location (en euros) en fonction de la distance parcourue (en kilomètres) : la courbe 1 est une droite horizontale coupant l'axe des ordonnées à 900, la courbe 2 est une droite croissante coupant l'axe des ordonnées à 300, et la courbe 3 est une droite croissante passant par l'origine. Associer chaque courbe à sa formule (aucune justification n'était demandée, on en donne une ici).

La formule A, 0,5x, est une fonction linéaire : sa représentation est une droite passant par l'origine du repère. C'est donc la courbe 3.
La formule B, 0,25x+300, est une fonction affine dont l'ordonnée à l'origine est 300 : c'est donc la courbe 2.
La formule C, constante et égale à 900, est représentée par une droite horizontale coupant l'axe des ordonnées à 900 : c'est donc la courbe 1.

7.Résoudre l'équation 0,25x+300=0,5x et interpréter le résultat obtenu.

0,25x+300=0,5x \iff 300 = 0,5x-0,25x \iff 300=0,25x \iff x=\dfrac{300}{0,25} \iff x= 1 200.
Cela signifie que pour une distance parcourue de 1 200 km, le prix payé avec la formule A est égal à celui payé avec la formule B.

8.a.Si la distance parcourue est de 2 500 km, quelle formule permet de payer le moins cher (sans justifier) ?

D'après une lecture graphique, pour une distance parcourue de 2 500 km, c'est la formule C qui est la moins chère.

8.b.Donner une distance parcourue pour laquelle la formule A est la plus intéressante (sans justifier).

Toute distance strictement comprise entre 0 et 1 200 km convient, par exemple 600 km (pour ces distances, la courbe 3, qui représente la formule A, est la plus basse).

8.c.Déterminer graphiquement quelle formule est la moins chère en fonction de la distance parcourue, pour une distance inférieure à 2 600 km.

Ondonne un programme utilisant un logiciel de programmation par blocs. Le script principal, lancé au clic sur le drapeau vert, place le lutin en (-100~;~0), l'oriente à 90^{\circ} (vers la droite), efface tout, donne à la variable « côté » la valeur 80, puis exécute un bloc « Motif ». Le bloc « Motif » fait avancer le lutin de « côté » pas puis tourner de 120^{\circ} vers la gauche, trois fois de suite, puis avancer de « côté » pas et tourner de 120^{\circ} vers la droite, trois fois de suite. Aucune justification n'était demandée dans cet exercice ; on en donne malgré tout ici. 1. À quelles coordonnées le lutin se positionne-t-il juste après avoir cliqué sur le drapeau vert (juste après le bloc « aller à ») ?

Le bloc « aller à x : -100 y : 0 » place directement le lutin aux coordonnées (-100~;~0).

2.En prenant 1 cm pour 20 pas, décrire la figure obtenue en exécutant le script principal.

3.Le script principal est modifié de trois façons différentes : le script 1 trace le motif, avance de 100 pas, puis répète cela trois fois ; le script 2 trace le motif, puis le retrace en multipliant la valeur de « côté » par 1,2 à chaque fois, trois fois de suite (sans se déplacer entre deux tracés) ; le script 3 trace le motif, tourne de 120^{\circ} vers la gauche, puis répète cela trois fois. Trois figures A, B et C sont proposées : la figure A montre trois motifs de tailles croissantes autour d'un même point de départ ; la figure B montre trois motifs identiques alignés côte à côte, espacés régulièrement ; la figure C montre trois motifs identiques disposés en rosace autour d'un même point, tournés les uns par rapport aux autres. Associer chaque script à sa figure (sans justifier).

Le script 1 trace le motif, se décale de 100 pas vers la droite, puis recommence : les trois motifs sont donc identiques et alignés côte à côte, ce qui correspond à la figure B.
Le script 2 trace le motif avec un côté de 80 pas, puis, sans se déplacer, le retrace avec un côté multiplié par 1,2 (soit 96 pas), puis une troisième fois avec un côté encore multiplié par 1,2 (soit 115,2 pas) : les trois motifs sont donc de tailles croissantes autour du même point, ce qui correspond à la figure A.
Le script 3 trace le motif, tourne de 120^{\circ} autour du point de départ, puis recommence deux fois : les trois motifs sont donc identiques mais tournés les uns par rapport aux autres, en rosace, ce qui correspond à la figure C.

4.a.On s'intéresse maintenant au script 2. Combien de fois le bloc « Motif » est-il exécuté ?

Le bloc « Motif » est exécuté trois fois de suite (la boucle « répéter 3 fois » l'exécute une fois à chaque tour).

4.b.Quelle est la valeur de la variable « côté » à la fin de ce script ?

À chaque tour de la boucle, la variable « côté » est multipliée par 1,2, et la boucle s'exécute 3 fois.
La valeur finale de la variable est donc 80\times1,2^3 = 138,24.
Ce côté de 138,24 pas n'est cependant pas utilisé pour tracer un motif supplémentaire, puisque la boucle s'arrête après le troisième tour.