Brevet : Métropole 2024 (série professionnelle)

1.Parmi les écritures 10^{3}, 10^{4}, 10^{6} et 10^{9}, laquelle correspond à un million ?

Un million s'écrit 1\,000\,000, soit un 1 suivi de 6 zéros. C'est donc 10^{6}.

2.Sur un plan de maison à l'échelle \dfrac{1}{100}, une chambre mesure 3,4 cm de largeur sur le plan. Quelle est sa largeur réelle ?

À l'échelle \dfrac{1}{100}, chaque centimètre sur le plan représente 100 cm dans la réalité. La largeur réelle est donc {3,4 \times 100 = 340} cm, soit 3,4 m.

3.On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un 6 ?

Le dé possède 6 faces qui ont toutes la même chance de sortir, et une seule porte le numéro 6. La probabilité cherchée est donc \dfrac{1}{6}.

4.Une barre énergétique de masse totale 80 g contient 70 % de sucre. Quelle est la masse de sucre dans cette barre ?

La masse de sucre représente 70 % de la masse totale : 80 \times \dfrac{70}{100} = 56. La barre contient donc 56 g de sucre.

5.Un cube plein a des arêtes de 1 cm. Si on multiplie par 2 toutes ses dimensions, quel sera son nouveau volume ?

Le volume initial du cube est {1 \times 1 \times 1 = 1} cm^{3}. En doublant chaque dimension, la nouvelle arête vaut {2 \times 1 = 2} cm, donc le nouveau volume est 2 \times 2 \times 2 = 8 cm^{3}. Le volume du cube agrandi est donc 8 cm^{3}.

1.aUn bassin olympique a la forme d'un pavé droit de longueur L = 50 m, de largeur \ell = 25 m et de hauteur d'eau h = 3 m. Calculer le volume d'eau qu'il contient, en m^{3} puis en litres.

Le volume d'un pavé droit est \begin{aligned}V &= L \times \ell \times h \\ &= 50 \times 25 \times 3 \\ &= 3\,750\end{aligned} Le bassin contient donc 3 750 m^{3} d'eau. Comme 1 m^{3} correspond à 1 000 L, cela représente 3\,750 \times 1\,000 = 3 750 000 L.

1.bUne piscine municipale plus courante a pour dimensions L = 25 m, \ell = 12,5 m et h = 3 m. Un maître-nageur affirme que cette piscine contient 4 fois moins d'eau qu'un bassin olympique. A-t-il raison ?

2.Lors d'une compétition, une nageuse parcourt 100 m en 56 secondes en papillon. Calculer sa vitesse moyenne en m/s, arrondie au centième.

La vitesse moyenne est donnée par {v = \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}} = \dfrac{100}{56} \approx} 1,79 m/s.

3.Sachant que 1 m/s équivaut à 3,6 km/h, exprimer cette vitesse en km/h, arrondie au centième.

On convertit en multipliant par 3,6 : 1,79 \times 3,6 \approx 6,44 km/h.

4.aUn autre nageur, en crawl, parcourt les 100 m à la vitesse de 1,92 m/s. Calculer le temps qu'il met sur cette épreuve, en secondes arrondies au centième.

On cherche le temps t tel que {1,92 = \dfrac{100}{t}}, donc t = \dfrac{100}{1,92} \approx 52,08 s.

4.bOn dit qu'une personne marchant vite, à 7 km/h, serait plus rapide sur 100 m qu'un nageur de crawl. Cette affirmation est-elle vraie pour ce nageur ?

1.aSur 9 matchs internationaux, un premier joueur réussit successivement 5, 4, 6, 2, 2, 7, 2, 3 puis 4 tirs. Combien de tirs a-t-il réussis au total ?

On additionne les tirs réussis à chaque match : 5+4+6+2+2+7+2+3+4 = 35 tirs réussis.

1.bSachant que ce joueur a tenté 56 tirs au total sur ces 9 matchs, quel est son pourcentage de réussite ?

Le pourcentage de réussite est \dfrac{35}{56} \times 100 = 62,5 %.

1.cQuelle est sa moyenne de tirs réussis par match, arrondie à l'unité ?

La moyenne est \dfrac{35}{9} \approx 3,89, ce qui, arrondi à l'unité, donne 4 tirs réussis par match en moyenne.

1.dUn entraîneur affirme que l'étendue du nombre de tirs réussis par ce joueur est de 5. A-t-il raison ?

2.Un second joueur affiche, sur la même saison, un pourcentage de tirs réussis de 62,5 %, une moyenne de 4 tirs réussis par match et une étendue de 2. L'entraîneur, qui privilégie la régularité, doit choisir l'un des deux joueurs pour ce critère. Lequel doit-il retenir ?

Unbateau de type 470 doit respecter deux règles pour être autorisé aux Jeux Olympiques : sa grand-voile (triangle ABC, rectangle en B) doit avoir une aire au plus égale à 8,75 m^{2}, et sa plus grande latte (segment [FG], parallèle à une seconde latte [DE] plus courte) doit mesurer au moins 1,7 m. Sur la voile étudiée, on donne : AB = 2,8 m ; AF = 2,9 m ; FD = 1,5 m ; DC = 2,4 m ; DE = 1,1 m. 1. Calculer la longueur du côté [AC].

Les points A, F, D, C sont alignés dans cet ordre le long du mât, donc AC = AF + FD + DC = 2,9+1,5+2,4 = 6,8 m.

2.En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B, calculer la longueur BC, arrondie au dixième de mètre.

3.Calculer l'aire de la grand-voile ABC, arrondie au dixième de m^{2}.

Le triangle ABC est rectangle en B, donc [AB] et [BC] sont ses côtés de l'angle droit : l'aire est \dfrac{AB \times BC}{2} \approx \dfrac{2,8 \times 6,2}{2} \approx 8,7 m^{2}.

4.Cette grand-voile respecte-t-elle la règle sur l'aire maximale autorisée (8,75 m^{2}) ?

L'aire calculée est d'environ 8,7 m^{2}, et 8,7 < 8,75. La règle est donc respectée : l'aire de la grand-voile reste inférieure à l'aire maximale autorisée.

5.Les segments [DE] et [FG] sont parallèles. En utilisant le théorème de Thalès dans les triangles CFG et CDE, calculer la longueur de la grande latte [FG], arrondie au dixième de mètre.

Les points C, D, F sont alignés et les points C, E, G sont alignés dans le même ordre.
Les droites (DE) et (FG) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
on a \begin{aligned}\dfrac{CF}{CD} &= \dfrac{CG}{CE} \\ &= \dfrac{FG}{DE}\end{aligned}
d'où \dfrac{CF}{CD} = \dfrac{FG}{DE}.
On a CF = CD + DF = 2,4 + 1,5 = 3,9 m et DE = 1,1 m, avec CD = 2,4 m, donc \dfrac{3,9}{2,4} = \dfrac{FG}{1,1}.
donc FG = \dfrac{3,9 \times 1,1}{2,4} \approx 1,8 m (arrondie au dixième).

6.Cette grande latte respecte-t-elle la règle sur la longueur minimale autorisée (1,7 m) ?

La longueur de la grande latte est d'environ 1,8 m, et 1,8 > 1,7. La règle est donc respectée : cette grande latte est bien assez longue pour permettre au bateau de participer aux Jeux Olympiques.

1.Un programme demande une valeur, la stocke dans la variable x, calcule « x multiplié par 5, puis on ajoute 2 » et affiche le résultat obtenu sous le nom « résultat ». Parmi trois algorithmes proposés (A : « multiplier par 5 puis ajouter 2 » ; B : « multiplier par 2 puis ajouter 5 » ; C : « multiplier par 5 puis ajouter 5 »), lequel correspond exactement à ce programme ?

Le programme calcule 5x + 2 : il multiplie donc d'abord la valeur saisie par 5, puis ajoute 2 au résultat. Cela correspond exactement à l'algorithme A, qui multiplie par 5 puis ajoute 2 (les algorithmes B et C ne correspondent pas aux bons nombres utilisés).

2.Pendant combien de temps le programme affiche-t-il son résultat à l'écran ?

D'après les instructions du programme, le résultat est affiché pendant 2 secondes.

3.Pour quelle valeur de x le programme afficherait-il un résultat égal à 97 ?