Brevet : Pays du groupe 1 2024

QCM(une seule réponse exacte par question, aucune justification n'était demandée sur la copie). 1. Donner l'écriture scientifique de 0,193\times10^{-100}. Réponses proposées : A. 1,93\times10^{-99} B. 1,93\times10^{-101} C. 193\times10^{-103} D. 193\times10^{-97}

On écrit d'abord 0,193 en écriture scientifique : 0,193 = 1,93\times10^{-1}.
On a donc 0,193\times10^{-100} = 1,93\times10^{-1}\times10^{-100} = 1,93\times10^{-1-100} = 1,93\times10^{-101}. Réponse B.

2.Lili part en vacances, elle parcourt 480 km en 5 h 42 min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h, arrondie au dixième ? Réponses proposées : A. 88,6 B. 84,2 C. 1,4 D. 23,4

On convertit d'abord la durée en heures : 42 min = \dfrac{42}{60} h =0,7 h, donc la durée totale est 5+0,7=5,7 h.
La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée : \dfrac{480}{5,7}\approx84,21.
Arrondie au dixième, la vitesse moyenne de Lili est donc 84,2 km/h. Réponse B.

3.Sam fait tourner une roue partagée en plusieurs secteurs identiques, marqués 1 ou 2, et regarde le nombre désigné par une flèche fixe (chaque secteur a autant de chances d'être désigné). Le nombre écrit dans l'un des secteurs a été effacé. Peut-on écrire un nombre dans ce secteur de sorte que la probabilité que la flèche désigne le nombre 2 soit égale à \dfrac35 ? Réponses proposées : A. Oui, en écrivant le nombre 1 B. Oui, en écrivant le nombre 2 C. Ce n'est pas possible D. Oui, en laissant le secteur vide

La roue comporte 15 secteurs identiques (secteur effacé compris), chacun ayant la même probabilité \dfrac1{15} d'être désigné.
Avant d'écrire un nombre dans le secteur effacé, 8 des 15 secteurs portent déjà le nombre 2.
Si l'on écrit le nombre 2 dans le secteur manquant, il y aura alors 9 secteurs favorables sur 15, soit une probabilité \dfrac9{15}=\dfrac35 (en simplifiant par 3), qui est bien celle demandée. Réponse B.

4.On considère la liste de nombres suivante : 5 ; 1 ; 3 ; 10 ; 17 ; 11 ; 10. Que représente le nombre 5 pour cette liste ? Réponses proposées : A. La médiane B. L'étendue C. La moyenne D. Rien de particulier

Rangeons d'abord la liste dans l'ordre croissant : 1 ; 3 ; 5 ; 10 ; 10 ; 11 ; 17.
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : {17-1=16}, différent de 5.
Il y a 7 valeurs (nombre impair) : la médiane est donc la 4e valeur de la liste triée, c'est-à-dire 10, différent de 5.
La moyenne vaut \dfrac{1+3+5+10+10+11+17}{7}=\dfrac{57}{7}\approx8,1, différent de 5.
Le nombre 5 ne correspond donc à aucun de ces indicateurs. Réponse D.

5.Léa achète un vélo électrique. Pour le réserver, elle paye \dfrac15 du prix au magasin, qui lui propose de payer le reste en trois paiements d'un même montant. Quelle fraction du prix du vélo représente l'un de ces trois paiements ? Réponses proposées : A. \dfrac{12}5 B. \dfrac1{15} C. \dfrac4{15} D. \dfrac35

Après le premier paiement de \dfrac15 du prix, il reste à payer 1-\dfrac15=\dfrac45 du prix.
Ce reste est réparti en trois paiements égaux : chacun représente \dfrac13\times\dfrac45=\dfrac4{15} du prix du vélo. Réponse C.

Unentraîneur prépare deux circuits d'entraînement. Un circuit commence à l'exercice 1 et se termine en revenant à l'exercice 1. Le circuit 1 comporte cinq exercices de 40 secondes, chacun suivi de 16 secondes de repos pour rejoindre l'exercice suivant. Le circuit 2 comporte dix exercices de 30 secondes, chacun suivi de 5 secondes de repos. 1. Montrer que le circuit 1 dure 280 secondes et que le circuit 2 dure 350 secondes.

Pour le circuit 1, chacun des 5 exercices est suivi d'un temps de repos, ce qui représente 5 blocs de {40+16=56} secondes.
La durée du circuit 1 est donc 5\times56= 280 secondes.
Pour le circuit 2, chacun des 10 exercices est suivi d'un repos, ce qui représente 10 blocs de 30+5=35 secondes.
La durée du circuit 2 est donc 10\times35= 350 secondes.

2.Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 280 et de 350.

3.a.Camille commence une séance sur le circuit 1 et Dominique sur le circuit 2, au même coup de sifflet. Expliquer pourquoi, 2 800 secondes après le départ, Camille se retrouve de nouveau au départ du circuit 1, et préciser où se trouve Dominique sur le circuit 2 à ce moment-là.

On calcule 2\,800\div280=10 : le nombre de secondes écoulées est un multiple entier de la durée d'un tour du circuit 1.
Camille a donc effectué exactement 10 tours complets du circuit 1 : elle se trouve bien de nouveau au départ de ce circuit.
On calcule ensuite 2\,800\div350=8 : Dominique a de son côté effectué exactement 8 tours complets du circuit 2.
Dominique se trouve donc, elle aussi, de nouveau au départ de son circuit au bout de 2 800 secondes.

3.b.Après le coup de sifflet, combien de temps faut-il à Camille et Dominique pour se retrouver, pour la première fois, toutes les deux au départ de leur circuit en même temps ? Exprimer cette durée en minutes et secondes.

Camille est au départ de son circuit à tout instant multiple de 280 secondes ; Dominique est au départ du sien à tout instant multiple de 350 secondes.
Le premier instant commun est donc le plus petit multiple commun à 280 et à 350 (leur PPCM).
D'après la question précédente : {280=2^3\times5\times7} et 350=2\times5^2\times7. Le PPCM s'obtient en prenant chaque facteur premier avec le plus grand exposant rencontré : 2^3\times5^2\times7 = 8\times25\times7 = 1 400 secondes.
Or 1\,400 = 23\times60+20, donc cette durée correspond à 23 min 20 s.

PARTIEA. On considère le programme de calcul suivant : choisir un nombre ; lui soustraire 2, cela donne un premier résultat intermédiaire ; par ailleurs, ajouter 1 au nombre choisi, cela donne un second résultat intermédiaire ; multiplier les deux résultats intermédiaires entre eux pour obtenir le résultat final. 1. Justifier qu'en choisissant 5 comme nombre de départ, le résultat final obtenu est 18.

En partant de 5, le premier résultat intermédiaire est 5-2=3 et le second est 5+1=6.
Le résultat final est le produit de ces deux résultats intermédiaires : 3\times6= 18, ce qui est bien la valeur annoncée.

2.Calculer le résultat final donné par ce programme lorsque le nombre de départ choisi est -\dfrac32.

En partant de -\dfrac32, le premier résultat intermédiaire est -\dfrac32-2=-\dfrac72 et le second est -\dfrac32+1=-\dfrac12.
Le résultat final est donc {\left(-\dfrac72\right)\times\left(-\dfrac12\right)=} \dfrac74.

3.Un script écrit avec un logiciel de programmation par blocs reproduit ce programme de calcul, mais certaines lignes doivent être complétées : la variable a doit recevoir le nombre choisi diminué de 2, la variable b doit recevoir le nombre choisi augmenté de 1, puis le lutin doit annoncer le produit a \times b. Compléter les lignes manquantes du script (aucune justification n'était demandée).

PARTIEB. On considère la fonction g définie, pour un nombre x donné, par {g(x)=x^2-x-2}. 1. Prouver que {(x-2)(x+1)=x^2-x-2}.

On développe le produit : (x-2)(x+1) = x\times x + x\times1 - 2\times x - 2\times1.
= x^2+x-2x-2 = x^2-x-2, ce qui est bien l'expression de g(x).

2.a.Résoudre l'équation (x-2)(x+1)=0.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul.
On a donc soit x-2=0, c'est-à-dire x=2, soit x+1=0, c'est-à-dire x=-1.
L'équation admet donc deux solutions : 2 et -1.

2.b.En déduire les antécédents de 0 par la fonction g (aucune justification n'était demandée).

Comme g(x)=(x-2)(x+1) d'après la question B.1, résoudre g(x)=0 revient à résoudre l'équation de la question précédente : 0 admet deux antécédents par g, qui sont 2 et -1.

3.Parmi trois graphiques proposés, lequel correspond à la représentation graphique de g (aucune justification n'était demandée) ?

Le graphique 3 est celui qui représente la fonction g.
En effet, g n'étant pas une fonction affine (à cause du terme x^2), sa représentation ne peut pas être une droite ; de plus, cette courbe doit couper l'axe des abscisses exactement aux points d'abscisses 2 et -1, ses deux antécédents de 0.

4.Quel(s) nombre(s) doit-on choisir comme nombre de départ pour que le programme de calcul de la partie A donne 0 comme résultat final ?

Le résultat final du programme, pour un nombre de départ x, est le produit (x-2)(x+1), c'est-à-dire g(x).
Obtenir 0 comme résultat final revient donc à choisir un antécédent de 0 par g.
D'après la question B.2.b, il faut donc choisir 2 ou -1 comme nombre de départ.

Surune figure (qui n'est pas en vraie grandeur), les points E, A, F sont alignés, les points E, B, D sont alignés, les droites (FD) et (AB) sont parallèles, avec AE = 4,4 cm, EB = 3,3 cm, AB = 5,5 cm et BD = 6,6 cm. 1. Démontrer que le triangle ABE est rectangle.

Dans le triangle ABE, le côté le plus long est [AB] : on compare \text{AB}^2 à \text{AE}^2+\text{EB}^2.
D'une part, \text{AB}^2 = 5,5^2 = 30,25.
D'autre part, \text{AE}^2+\text{EB}^2 = 4,4^2+3,3^2 = 19,36+10,89 = 30,25.
On constate l'égalité \text{AB}^2=\text{AE}^2+\text{EB}^2 : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABE est rectangle en E.

2.Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{ABE}}, arrondie au degré.

Le triangle ABE est rectangle en E : dans ce triangle, par rapport à l'angle \widehat{\text{ABE}}, on connaît le côté adjacent EB et l'hypoténuse AB. On utilise donc SOH-CAH-TOA avec le cosinus.
\cos\left(\widehat{\text{ABE}}\right) = \dfrac{\text{EB}}{\text{AB}} = \dfrac{3,3}{5,5} = 0,6.
La calculatrice donne alors {\widehat{\text{ABE}} \approx 53,13^{\circ}}, soit, arrondi au degré, 53^{\circ}.

3.Calculer la longueur FD.

Les points E, A, F sont alignés et les points E, B, D sont alignés dans le même ordre.
Les droites (AB) et (FD) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{\text{EA}}{\text{EF}} &= \dfrac{\text{EB}}{\text{ED}} \\ &= \dfrac{\text{AB}}{\text{FD}}\end{aligned}
d'où \dfrac{\text{EB}}{\text{ED}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{FD}}.
On a \text{ED} = \text{EB}+\text{BD} = 3,3+6,6 = 9,9 cm, soit \dfrac{3,3}{9,9} = \dfrac{5,5}{\text{FD}}.
donc, par produit en croix, {\text{FD} = \dfrac{5,5\times9,9}{3,3} =} 16,5 cm.

4.Une homothétie de centre E transforme le triangle EAB en le triangle EFD. Quel est le rapport de cette homothétie (aucune justification n'était demandée) ?

Cette homothétie transforme le point B en D, donc son rapport est \dfrac{\text{ED}}{\text{EB}} = \dfrac{9,9}{3,3} = 3.

PARTIEA. Léo veut fabriquer, pour se déguiser en sorcier, un chapeau en forme de cône. Le rayon OM de la base de ce cône mesure 9 cm et sa hauteur OS mesure 30 cm (le point M est un point du cercle de base, S le sommet du cône, O le centre de la base). 1. Démontrer que la longueur MS, arrondie au dixième de centimètre, vaut 31,3 cm.

Le triangle SOM est rectangle en O (la hauteur du cône est perpendiculaire au plan de sa base).
D'après le théorème de Pythagore : \text{SM}^2 = \text{SO}^2+\text{OM}^2 = 30^2+9^2 = 900+81 = 981.
Comme SM est une longueur, donc positive, \text{SM} = \sqrt{981} \approx 31,32, soit, arrondi au dixième de centimètre, 31,3 cm.

2.Léo veut vérifier que le chapeau conviendra à son tour de tête, qui mesure 56 cm. Les dimensions choisies sont-elles adaptées ?

Le bord du chapeau, posé sur la tête de Léo, correspond au cercle de base du cône, de rayon 9 cm.
La circonférence de ce cercle est {2\times\pi\times9 = 18\pi \approx 56,5} cm (arrondie au dixième).
Cette circonférence, d'environ 56,5 cm, est très proche du tour de tête de Léo (56 cm), à peine supérieure : les dimensions choisies sont donc bien adaptées au tour de tête de Léo.

3.a.Léo dessine le patron (à plat) de son chapeau, sur lequel il reporte l'arc de cercle M'M, de longueur 56,5 cm. Démontrer que la longueur du cercle de centre S et de rayon SM, arrondie au dixième de centimètre, vaut 196,7 cm.

Ce cercle a pour rayon SM, qui vaut 31,3 cm d'après la question A.1.
Sa longueur (circonférence) est donc 2\times\pi\times31,3 \approx 196,66, soit, arrondie au dixième de centimètre, 196,7 cm.

3.b.Placer la valeur 196,7 dans le tableau de proportionnalité fourni en annexe, qui relie la mesure de l'angle \widehat{\text{M'SM}} (en degrés) et la longueur de l'arc M'M (en centimètres), sachant que 360^{\circ} correspondent à la longueur totale du cercle de centre S et de rayon SM.

3.c.Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{M'SM}} correspondant à une longueur d'arc de 56,5 cm, arrondie au degré.

L'angle est proportionnel à la longueur de l'arc de cercle : on utilise le tableau de proportionnalité complété à la question précédente, avec un produit en croix.
\widehat{\text{M'SM}} = \dfrac{360\times56,5}{196,7} \approx 103,4.
Arrondie au degré, la mesure de l'angle \widehat{\text{M'SM}} est donc 103^{\circ}.

PARTIEB (la hauteur du chapeau mesure 30 cm, comme en partie A ; on rappelle que le volume d'un cône de rayon R et de hauteur h vaut V=\dfrac13\times\pi\times R^2\times h). 1. Montrer que le volume total du chapeau, arrondi au cm^{3}, vaut 2 545 cm^{3}.

Le volume du cône est \begin{aligned}V &= \dfrac13\times\pi\times9^2\times30 \\ &= \dfrac13\times\pi\times81\times30 \\ &= 810\pi\end{aligned}
Or 810\pi \approx 2\,544,69, ce qui donne, arrondi au cm^{3}, 2 545 cm^{3}.

2.Léo utilise ensuite son chapeau pour récolter des bonbons lors de la fête d'Halloween. Une fois rentré chez lui, il constate que les bonbons atteignent le milieu de la hauteur du chapeau, et pense que le volume de bonbons récoltés représente moins de 15 % du volume total du chapeau. Son estimation est-elle correcte ?

Les bonbons remplissent un petit cône, situé à la pointe du chapeau, semblable au cône complet, dont la hauteur vaut la moitié de la hauteur totale : ce petit cône est l'image du chapeau complet par une homothétie de rapport \dfrac12 (de centre le sommet S).
Or une homothétie de rapport k multiplie les volumes par k^3 : ici, le volume de bonbons représente donc \left(\dfrac12\right)^3 = \dfrac18 = 0,125, soit 12,5 % du volume total du chapeau.
Comme 12,5\,\% < 15\,\%, le volume de bonbons récoltés représente bien moins de 15 % du volume total du chapeau : l'estimation de Léo est donc correcte.