Brevet : Polynésie française 2024

Cepremier exercice est un questionnaire à choix multiples : pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte, et aucune justification n'est demandée sur la copie. 1. ABC est un triangle tel que AB = 20 cm, BC = 21 cm et AC = 29 cm. Que peut-on affirmer à propos de ce triangle, parmi quatre propositions (rectangle en A, en B, en C, ou pas rectangle du tout) ?

Le côté le plus long du triangle est [AC], avec AC = 29 cm : si le triangle est rectangle, c'est donc en B, sommet opposé à ce côté.
On compare \text{AB}^2+\text{BC}^2 et \text{AC}^2 : \text{AB}^2+\text{BC}^2 = 20^2+21^2 = 400+441 = 841 et \text{AC}^2 = 29^2 = 841.
Comme \text{AB}^2+\text{BC}^2 = \text{AC}^2, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

2.On donne la représentation graphique d'une fonction affine f : une droite passant par le point de coordonnées (0~;~1) et par le point de coordonnées (2~;~2). Quelle est l'expression de f(x), parmi quatre propositions ?

La droite coupe l'axe des ordonnées au point (0~;~1) : l'ordonnée à l'origine de f est donc 1.
Entre les points (0~;~1) et (2~;~2), l'abscisse augmente de 2 et l'ordonnée augmente de 1 : le coefficient directeur de f est donc \dfrac{1}{2}.
La fonction affine représentée est donc f(x) = \dfrac{1}{2}x+1.

3.Sur une figure, un carré numéro 2 est l'image d'un carré numéro 1 par une transformation, le point O étant le milieu du segment reliant un sommet C du carré 1 à un sommet E du carré 2, ces deux points étant alignés avec O de part et d'autre. Le carré 2 est deux fois plus grand que le carré 1 et retourné par rapport à lui. Quelle est cette transformation, parmi quatre propositions ?

Les points C, O et E sont alignés, avec O situé entre C et E, et \text{OE} = 2\times\text{OC} : on a donc \overrightarrow{\text{OE}} = -2\overrightarrow{\text{OC}}.
Une transformation qui multiplie les distances à un point O par un même nombre est une homothétie de centre O ; ici le rapport est négatif car E est du côté opposé à C par rapport à O, et sa valeur absolue vaut 2.
La transformation qui envoie le carré 1 sur le carré 2 est donc l'homothétie de centre O et de rapport -2.

4.Le cocktail Bora-Bora est composé de jus d'ananas, de jus de fruit de la passion et de jus de citron, dans les proportions 10 pour 6 pour 2. Pour préparer 90 cL de ce cocktail, quel volume exact de jus de fruit de la passion faut-il prévoir, parmi quatre propositions (6 cL, 30 cL, 54 cL ou 45 cL) ?

Le total des proportions est {10+6+2 = 18} parts pour l'ensemble du cocktail.
On cherche le coefficient de proportionnalité entre ce total de 18 parts et le volume réel de 90 cL : {90 \div 18 = 5}.
Le volume de jus de fruit de la passion, qui représente 6 parts, est donc 6\times5 = 30 cL.

5.Un maraîcher a récolté 408 pommes et 168 poires. Il souhaite répartir tous ces fruits dans des sacs identiques, chaque sac contenant le même nombre de pommes et le même nombre de poires, en utilisant la totalité de la récolte. Quel est le plus grand nombre de sacs qu'il peut ainsi constituer, parmi quatre propositions (48, 24, 8 ou 6 sacs) ?

Le nombre maximal de sacs identiques est le PGCD de 408 et 168.
On décompose : 408 = 2^3\times3\times17 et 168 = 2^3\times3\times7, donc \text{PGCD}(408~;~168) = 2^3\times3 = 24.
Le maraîcher peut donc constituer au maximum 24 sacs, chacun contenant 408\div24 = 17 pommes et {168\div24 = 7} poires.

Ungraphique compare, pour chaque édition des Jeux Olympiques d'été depuis 1992, le coût prévisionnel (dépenses annoncées avant les Jeux) et le coût réel (dépenses effectivement engagées), exprimés en milliards d'euros. Les coûts réels indiqués sont : Barcelone 1992 : 9,3 ; Atlanta 1996 : 2,3 ; Sydney 2000 : 5,5 ; Athènes 2004 : 10 ; Pékin 2008 : 31 ; Londres 2012 : 11 ; Rio de Janeiro 2016 : 16,5 ; Tokyo 2021 : 12,1. 1. Entre 1992 et 2021, combien d'éditions ont eu un coût réel supérieur ou égal à 10 milliards d'euros ?

Il faut compter les éditions dont le coût réel est au moins égal à 10 milliards d'euros parmi les huit valeurs relevées.
Ces éditions sont : Athènes 2004 (10), Pékin 2008 (31), Londres 2012 (11), Rio de Janeiro 2016 (16,5) et Tokyo 2021 (12,1).
Il y a donc 5 éditions dont le coût réel a été supérieur ou égal à 10 milliards d'euros.

2.Calculer le pourcentage d'augmentation entre le coût prévisionnel (9 milliards d'euros) et le coût réel (16,5 milliards d'euros) des Jeux Olympiques de Rio de Janeiro 2016, arrondi à l'unité.

Le taux d'évolution entre une valeur de départ (le coût prévisionnel) et une valeur d'arrivée (le coût réel) se calcule par \dfrac{\text{valeur d'arrivée} - \text{valeur de départ}}{\text{valeur de départ}}\times100.
Ici : \begin{aligned}\dfrac{16{,}5-9}{9}\times100 &= \dfrac{7{,}5}{9}\times100 \\ &\approx 83{,}3\end{aligned}
Le coût réel des Jeux de Rio 2016 a donc augmenté d'environ 83 % par rapport au coût prévisionnel, à l'unité près.

3.Montrer que le coût réel moyen des Jeux Olympiques entre 1992 et 2021 est égal à 12,2 milliards d'euros, arrondi au dixième de milliard.

La moyenne des huit coûts réels relevés (1992, 1996, 2000, 2004, 2008, 2012, 2016 et 2021) est la somme de ces coûts divisée par 8.
La somme vaut 9{,}3+2{,}3+5{,}5+10+31+11+16{,}5+12{,}1 = 97{,}7 milliards d'euros.
La moyenne est donc \dfrac{97{,}7}{8} = 12{,}2125, soit environ 12,2 milliards d'euros au dixième près.

4.Un journaliste affirme : « Le coût réel moyen des Jeux Olympiques sur la période 1992-2021 est de 12,2 milliards d'euros ; cela signifie que la moitié des éditions entre 1992 et 2021 ont eu un coût réel supérieur à 12,2 milliards d'euros. » Que penser de cette affirmation ?

Cette affirmation confond la moyenne et la médiane d'une série de valeurs, qui sont deux indicateurs différents.
La moyenne (12,2 milliards d'euros) est la somme des valeurs divisée par leur nombre ; elle ne partage pas nécessairement la série en deux groupes égaux.
Seule la médiane garantit qu'au moins la moitié des valeurs lui sont supérieures ou égales : l'affirmation du journaliste est donc fausse, à moins que la moyenne et la médiane ne coïncident, ce qui n'a aucune raison d'être ici.

5.Sachant que le coût prévisionnel moyen des Jeux Olympiques entre 1992 et 2024 (en comptant l'édition de Paris 2024) est de l'ordre de 5,5 milliards d'euros, et connaissant les coûts prévisionnels de 1992 à 2021 (respectivement 3,5 ; 1,8 ; 3 ; 5,3 ; 2,6 ; 4,8 ; 9 et 13 milliards d'euros), calculer le coût prévisionnel des Jeux de Paris 2024.

On note p le coût prévisionnel, en milliards d'euros, des Jeux Olympiques de Paris 2024.
La moyenne des neuf coûts prévisionnels, de 1992 à 2024, vaut 5,5 milliards d'euros, ce qui se traduit par : \dfrac{3{,}5+1{,}8+3+5{,}3+2{,}6+4{,}8+9+13+p}{9} = 5{,}5.
La somme des huit coûts connus vaut 3{,}5+1{,}8+3+5{,}3+2{,}6+4{,}8+9+13 = 43, d'où \dfrac{43+p}{9} = 5{,}5, soit \begin{aligned}43+p &= 9\times5{,}5 \\ &= 49{,}5\end{aligned}
On en déduit \begin{aligned}p &= 49{,}5-43 \\ &= 6{,}5\end{aligned} Le coût prévisionnel des Jeux Olympiques de Paris 2024 s'élève donc à 6,5 milliards d'euros.

LeCentre Aquatique Olympique de Saint-Denis a accueilli les épreuves de natation artistique des Jeux Olympiques de Paris 2024. Alyssa est installée dans les gradins Nord, au point A, et Jules est assis dans les gradins Sud, au point J. On modélise la situation par une figure (non à l'échelle) où A, B et C forment un triangle rectangle en C du côté des gradins Nord, avec AC = 15 m et BC = 27 m ; du côté des gradins Sud, F, J, D sont alignés et F, H, E sont alignés, avec FJ = 15 m, FH = 7 m et EF = 18 m ; enfin C, B, D, E sont alignés le long du bord de la piscine. 1.a Calculer la distance AB entre Alyssa et le bord de la piscine, arrondie au mètre près.

Le triangle ABC est rectangle en C (le bord de la piscine, en (CE), est perpendiculaire à la ligne des gradins Nord).
D'après le théorème de Pythagore : \text{AB}^2 = \text{AC}^2+\text{CB}^2 = 15^2+27^2 = 225+729 = 954.
Comme AB est une longueur positive, \text{AB} = \sqrt{954} \approx 30{,}9, soit 31 m au mètre près.

1.bVérifier que la distance JD entre Jules et le bord de la piscine est d'environ 24 m, arrondie au mètre près.

Les droites (JH) et (DE) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (EF) : elles sont donc parallèles entre elles.
Les points F, J, D sont alignés et les points F, H, E sont alignés dans le même ordre.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{\text{FJ}}{\text{FD}} &= \dfrac{\text{FH}}{\text{FE}} \\ &= \dfrac{\text{JH}}{\text{DE}}\end{aligned}
d'où \dfrac{\text{FJ}}{\text{FD}} = \dfrac{\text{FH}}{\text{FE}}, soit \dfrac{15}{\text{FD}} = \dfrac{7}{18}.
donc \text{FD} = \dfrac{\text{FJ}\times\text{FE}}{\text{FH}} = \dfrac{15\times18}{7} = \dfrac{270}{7} \approx 38,57 m.
On en déduit {\text{JD} = \text{FD}-\text{FJ} \approx 38{,}57-15 = 23{,}57}, soit environ 24 m au mètre près : la vérification est confirmée.

1.cEn déduire lequel des deux amis, Alyssa ou Jules, est le plus proche d'un bord de la piscine.

Alyssa se trouve à environ 31 m du bord de la piscine, tandis que Jules s'en trouve à environ 24 m.
Comme 24 < 31, c'est Jules qui est le plus proche du bord de la piscine.

2.Pour respecter les normes de sécurité, l'angle d'inclinaison \widehat{\text{ABC}} des gradins Nord ne doit pas dépasser 35^{\circ}. Les gradins Nord respectent-ils cette norme ?

Dans le triangle ABC rectangle en C, le côté [AC] est opposé à l'angle \widehat{\text{ABC}} et le côté [BC] lui est adjacent.
D'après SOH-CAH-TOA : \begin{aligned}\tan\widehat{\text{ABC}} &= \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}} \\ &= \dfrac{15}{27} \\ &= \dfrac{5}{9} \\ &\approx 0{,}556\end{aligned}
On en déduit, à la calculatrice, {\widehat{\text{ABC}} \approx 29{,}1^{\circ}}. Comme 29{,}1 < 35, la norme est respectée.

3.Le toit du Centre Aquatique Olympique a une surface de 5 000 m^{2}, dont 4 678,4 m^{2} sont recouverts de panneaux photovoltaïques. Chaque panneau standard mesure 1 m de large sur 1,7 m de long et produit environ 350 kWh par an. Montrer que la quantité annuelle d'énergie produite par l'ensemble des panneaux est de 963 200 kWh.

L'aire d'un panneau photovoltaïque est 1\times1{,}7 = 1{,}7 m^{2}.
Le nombre de panneaux installés sur le toit est donc \dfrac{4\,678{,}4}{1{,}7} = 2\,752 panneaux.
L'énergie annuelle totale produite est alors 2\,752\times350 = 963 200 kWh, ce qui correspond bien au résultat annoncé.

4.La température réglementaire de l'eau de la piscine olympique doit être comprise entre 25 ^{\circ}C et 28 ^{\circ}C ; on souhaite la porter à 26 ^{\circ}C. L'eau, initialement à 18 ^{\circ}C, occupe un pavé droit de 50 m de longueur, 25 m de largeur et 3 m de profondeur. Sachant qu'il faut environ 9,3 kWh pour chauffer 1 m^{3} d'eau de 18 ^{\circ}C à 26 ^{\circ}C, quelle quantité d'énergie sera nécessaire pour chauffer toute l'eau de la piscine ?

Le volume d'eau contenu dans le pavé droit modélisant la piscine est \begin{aligned}V &= 50\times25\times3 \\ &= 1\,250\times3 \\ &= 3\,750\end{aligned} m^{3}.
Chaque m^{3} d'eau nécessitant 9,3 kWh pour passer de 18 ^{\circ}C à 26 ^{\circ}C, l'énergie totale nécessaire est 3\,750\times9{,}3 = 34 875 kWh.

Ondispose de deux boîtes contenant des boules indiscernables au toucher. La première boîte contient trois boules numérotées 2, 3 et 5 ; la deuxième boîte contient deux boules numérotées 3 et 5. On tire au hasard une boule dans la première boîte, puis une boule dans la deuxième boîte, et on s'intéresse au produit des deux nombres obtenus (par exemple, tirer 2 puis 5 donne le résultat 2\times5 = 10). 1. Compléter un tableau à double entrée faisant apparaître tous les résultats possibles de cette expérience.

2.Quelle est la probabilité d'obtenir 15 comme résultat ?

D'après le tableau des résultats, le produit 15 apparaît deux fois sur les six issues possibles : une fois avec (3 ; 5) et une fois avec (5 ; 3).
Toutes les issues étant équiprobables, la probabilité d'obtenir 15 est \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.

3.L'affirmation suivante est-elle vraie ? « Il y a 2 chances sur 3 d'obtenir un multiple de 3. »

Parmi les six résultats possibles (6, 10, 9, 15, 15, 25), les multiples de 3 sont 6, 9, 15 et 15, soit 4 issues favorables sur 6.
La probabilité d'obtenir un multiple de 3 est donc \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.
L'affirmation « il y a 2 chances sur 3 d'obtenir un multiple de 3 » est donc vraie.

4.On ajoute une troisième boîte contenant deux boules numérotées avec des nombres entiers. On tire désormais une boule dans chacune des trois boîtes et on considère le produit des trois nombres obtenus. Anissa a obtenu comme résultat 165 et Bilel a obtenu 78. Quels sont les deux nombres inscrits sur les boules de la troisième boîte ?

On décompose 165 = 3\times5\times11. Comme les deux premières boîtes ne peuvent fournir que des facteurs 2, 3 ou 5, le facteur 11 provient nécessairement de la troisième boîte.
On décompose de même {78 = 2\times3\times13}. Le facteur 13 ne peut provenir que de la troisième boîte.
La troisième boîte contient donc deux boules numérotées 11 et 13.

Danscet exercice, les deux parties sont indépendantes. On considère les fonctions f et g définies par f(x) = (x+2)^2 - x et g(x) = 7x+4. Partie A. 1. Calculer f(-4).

On remplace x par -4 dans l'expression de f : f(-4) = (-4+2)^2-(-4).
\begin{aligned}(-4+2)^2 &= (-2)^2 \\ &= 4\end{aligned} donc f(-4) = 4-(-4) = 4+4 = 8.

2.Déterminer un antécédent de 3 par la fonction g.

On cherche un nombre x tel que {g(x) = 3}, c'est-à-dire tel que 7x+4 = 3.
On résout : \begin{aligned}7x &= 3-4 \\ &= -1\end{aligned} d'où x = -\dfrac{1}{7}.
L'antécédent de 3 par la fonction g est donc -\dfrac{1}{7}.

PartieB. Trois élèves, Paul, Jane et Morgane, cherchent à résoudre l'équation f(x) = g(x) par trois méthodes différentes. 1. Paul utilise un tableur : il calcule les images des entiers de -3 à 3 par f et par g, et obtient en ligne 3 les valeurs de g(x) (par exemple -17 pour x=-3, puis -10, -3, 4, 11, 18 et 25). a. Quelle formule a-t-il saisie en cellule B3, sachant que les valeurs de x figurent en ligne 1, avant de l'étirer vers la droite ?

La cellule B3 doit calculer g(x) à partir de la valeur de x saisie juste au-dessus, en cellule B1.
Comme g(x) = 7x+4, la formule saisie en cellule B3 est donc =7*B1+4.

b.Avec cette méthode, quelle(s) solution(s) de l'équation f(x) = g(x) Paul trouve-t-il, à partir de son tableau de valeurs (f(x) valant successivement 4, 2, 2, 4, 8, 14, 22 pour x de -3 à 3) ?

Une solution de l'équation f(x) = g(x) correspond à une valeur de x pour laquelle f(x) et g(x) sont égaux.
En comparant les deux lignes du tableau, on constate que \begin{aligned}f(x) &= g(x) \\ &= 4\end{aligned} uniquement pour x = 0.
Avec cette méthode, Paul trouve donc une seule solution : x = 0.

2.Jane utilise un logiciel de programmation : son script demande un nombre à l'utilisateur, calcule son image par f, calcule son image par g, puis affiche si le nombre choisi est solution de f(x)=g(x) ou non. a. Compléter la ligne du script qui calcule l'image par la fonction g du nombre choisi.

b.Quelle réponse donne le programme si le nombre choisi est 0 ?

Pour x=0 : image par f {= (0+2)^2-0 = 4} et image par g = 7\times0+4 = 4.
Les deux images sont égales, donc le programme affiche : « le nombre choisi est solution de f(x)=g(x) ».

c.En déduire une solution de l'équation f(x) = g(x).

Le test réalisé pour x=0 montre que \begin{aligned}f(0) &= g(0) \\ &= 4\end{aligned}
On en déduit que x=0 est une solution de l'équation f(x)=g(x).

3.Morgane décide de résoudre cette équation par le calcul. a. Démontrer que l'équation f(x) = g(x) peut se ramener à l'équation x^2-4x=0.

On part de l'égalité f(x) = g(x), soit (x+2)^2-x = 7x+4.
On développe le membre de gauche à l'aide de l'identité remarquable {(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2} : {(x+2)^2 = x^2+4x+4}, donc \begin{aligned}(x+2)^2-x &= x^2+4x+4-x \\ &= x^2+3x+4\end{aligned}
L'équation devient x^2+3x+4 = 7x+4, soit, en soustrayant 7x+4 de chaque côté : x^2+3x+4-7x-4 = 0, c'est-à-dire x^2-4x = 0.

b.Factoriser l'expression x^2-4x.

Le facteur x est commun aux deux termes de l'expression x^2-4x.
En le mettant en évidence : {x^2-4x = x(x-4)}.

c.En déduire les solutions de l'équation f(x) = g(x).

D'après les questions précédentes, résoudre f(x)=g(x) revient à résoudre x(x-4) = 0.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins de ses facteurs est nul : soit x=0, soit {x-4=0} (c'est-à-dire x=4).
L'équation f(x) = g(x) admet donc exactement deux solutions : 0 et 4.

4.Dire, pour chaque élève, s'il a résolu entièrement l'équation f(x) = g(x), et expliquer pourquoi.

Paul n'a pas résolu entièrement l'équation : il n'a testé que les nombres entiers de -3 à 3, et n'a donc trouvé que la solution x=0, sans pouvoir garantir qu'il n'en existe pas d'autre en dehors de cet intervalle (c'est le cas de x=4, qu'il n'a pas testé).
Jane n'a pas non plus résolu entièrement l'équation : son programme ne teste qu'une valeur à la fois, choisie par l'utilisateur ; elle a bien retrouvé la solution x=0 mais ne peut pas être certaine d'avoir trouvé toutes les solutions sans tester une infinité de nombres.
Morgane est la seule à avoir résolu entièrement l'équation, car sa méthode algébrique (factorisation) permet d'obtenir, avec certitude, l'ensemble complet des solutions, à savoir 0 et 4.