Brevet : Métropole 2024 (remplacement, série professionnelle)

1.Un sac contient 32 jetons répartis en quatre couleurs, à raison de 8 jetons de chaque couleur : rouge, bleu, vert et jaune. On tire au hasard un jeton dans le sac. Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton jaune ?

Le sac contient 32 jetons en tout, dont 8 jaunes. La probabilité d'obtenir un jeton jaune est le quotient du nombre de jetons jaunes par le nombre total de jetons : \dfrac{8}{32}, ce qui se simplifie en \dfrac{1}{4}.

2.Le prix d'une même paire de chaussures de sport a été relevé dans cinq magasins différents : 40 €, 45 €, 25 €, 30 € et 60 €. Quel est le prix moyen de cette paire de chaussures ?

Le prix moyen est la somme des cinq prix relevés, divisée par le nombre de magasins : \begin{aligned}\dfrac{40+45+25+30+60}{5} &= \dfrac{200}{5} \\ &= 40\end{aligned} Le prix moyen de cette paire de chaussures est donc de 40 €.

3.Sur un graphique muni d'un repère, deux points P et Q sont placés : Q a pour abscisse -3 et pour ordonnée 1, tandis que P a pour abscisse 2 et pour ordonnée 3. Quelles sont les coordonnées exactes de P et de Q ?

En lisant l'abscisse puis l'ordonnée de chaque point, on obtient \text{P}\,(2~;~3) et \text{Q}\,(-3~;~1).

4.Quelle est la solution de l'équation {4x - 3 = x - 2} ?

On regroupe les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre : {4x - x = -2 + 3}, soit 3x = 1, donc x = \dfrac{1}{3}.

5.Une piscine, en forme de pavé droit, mesure 10 m de longueur, 3 m de largeur et 2 m de profondeur. Si on double chacune de ces trois dimensions, par quel nombre le volume de la piscine est-il multiplié ?

Le volume initial est 10\times 3\times 2 = 60 m^{3}. En doublant chaque dimension, le nouveau volume est 20\times 6\times 4 = 480 m^{3}. Le rapport entre les deux volumes est \dfrac{480}{60} = 8. Doubler chacune des trois dimensions d'un pavé droit multiplie donc son volume par 8 (ce qui correspond bien à 2\times 2\times 2, une multiplication par 2 pour chacune des trois dimensions).

Unefamille souhaite réduire son empreinte environnementale. Elle a fait réaliser un bilan de ses émissions annuelles de dioxyde de carbone (\text{CO}_2), réparties en cinq domaines : transport 3,6 tonnes, logement 2,2 tonnes, vie quotidienne 1,4 tonne, émissions indirectes 2,9 tonnes, et alimentation (masse non précisée), pour un total annuel de 12,1 tonnes. 1. Quelle est, en une phrase, la masse totale annuelle de \text{CO}_2 émise par cette famille ?

D'après le bilan fourni, la masse totale de \text{CO}_2 émise par la famille en une année est de 12,1 tonnes.

2.Calculer la masse de \text{CO}_2 correspondant au domaine de l'alimentation.

La masse liée à l'alimentation s'obtient en retranchant au total les quatre autres masses connues : 12,1 - (3,6 + 2,2 + 1,4 + 2,9) = 12,1 - 10,1 = 2. La masse de \text{CO}_2 émise pour le domaine de l'alimentation est donc de 2 tonnes.

3.Calculer le pourcentage de \text{CO}_2 que représente l'alimentation par rapport au total des émissions (arrondir le résultat au dixième).

Ce pourcentage est le quotient de la masse liée à l'alimentation par la masse totale, multiplié par 100 : {\dfrac{2}{12,1}\times 100 \approx 16,53}. Arrondi au dixième, ce pourcentage vaut donc 16,5 %.

Lafamille souhaite émettre moins de 10 tonnes de \text{CO}_2 par an. Pour cela, elle fait isoler son logement et change son mode de chauffage, ce qui fait diminuer de 50 % les émissions liées au logement. 4. Calculer la nouvelle masse annuelle de \text{CO}_2 émise pour le domaine du logement, après les travaux et le changement de chauffage.

Les émissions liées au logement étaient de 2,2 tonnes. Une diminution de 50 % revient à diviser cette masse par deux : \dfrac{2,2}{2} = 1,1. La nouvelle masse de \text{CO}_2 émise pour le logement est donc de 1,1 tonne.

5.En déduire la nouvelle masse totale annuelle de \text{CO}_2 émise par la famille.

La masse liée au logement a baissé de 2,2 - 1,1 = 1,1 tonne. En retranchant cette baisse au total initial : {12,1 - 1,1 = 11}. La nouvelle masse totale de \text{CO}_2 émise par la famille est donc de 11 tonnes.

6.L'objectif de la famille, émettre moins de 10 tonnes de \text{CO}_2 par an, est-il atteint ? Justifier la réponse.

La nouvelle masse totale annuelle est de 11 tonnes. Or 11 > 10, donc cette masse dépasse encore le seuil visé. L'objectif de la famille n'est donc pas atteint.

Dansune commune, le tarif annuel de collecte des poubelles se compose d'une partie fixe de 115 € et d'une partie variable de 5 € par collecte effectuée dans l'année. Un tableau donne le coût annuel à payer pour différents nombres de collectes : pour 1 collecte, 135 € ; pour 10 collectes, 165 € ; pour 14 collectes, un montant à déterminer ; pour 20 collectes, 215 €. 1. Vérifier par un calcul qu'un foyer ayant bénéficié de 14 collectes dans l'année paie bien 185 €, puis compléter la case manquante du tableau.

Le coût pour 14 collectes s'obtient en ajoutant la partie fixe à la partie variable correspondant à ces 14 collectes : \begin{aligned}5\times 14 + 115 &= 70 + 115 \\ &= 185\end{aligned} On retrouve bien le montant annoncé : un foyer ayant bénéficié de 14 collectes paie 185 €. Le tableau se complète donc ainsi, avec les points de coordonnées associés à chaque nombre de collectes :

Tableau complété et points associés.

2.Comment obtient-on la représentation graphique du coût annuel en fonction du nombre de collectes, à partir des quatre points du tableau ?

En plaçant, dans un repère, les quatre points A(1~;~135), B(10~;~165), C(14~;~185) et D(20~;~215), puis en traçant la droite qui passe par ces points, on obtient la représentation graphique du coût annuel en fonction du nombre de collectes (les quatre points sont bien alignés, puisque le coût varie de façon affine avec le nombre de collectes).

3.Le coût annuel à payer, en euros, en fonction du nombre x de collectes, peut être modélisé par la fonction f telle que f(x) = 5x + 115. Cette fonction est-elle une fonction linéaire ? Justifier la réponse.

Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax et vérifie donc toujours f(0) = 0. Ici, \begin{aligned}f(0) &= 5\times 0 + 115 \\ &= 115\end{aligned} donc f(0) \neq 0. Cette fonction n'est donc pas une fonction linéaire ; il s'agit d'une fonction affine, à cause de la partie fixe de 115 €.

4.Un foyer ne souhaite pas dépasser 195 € de coût annuel. Déterminer le nombre maximum de collectes correspondant à cet objectif, en détaillant la justification (par le calcul ou par lecture graphique).

Le nombre x de collectes doit vérifier l'inéquation f(x) \leqslant 195, c'est-à-dire 5x + 115 \leqslant 195. En retranchant 115 aux deux membres : 5x \leqslant 195 - 115, soit 5x \leqslant 80. En divisant par 5 : x \leqslant \dfrac{80}{5}, soit x \leqslant 16. Le nombre maximum de collectes permettant de ne pas dépasser 195 € est donc de 16 collectes.

Pourarroser son jardin, une personne installe une cuve de récupération d'eau de pluie. Cette cuve a la forme d'un pavé droit ABCDIJGH, surmonté d'un toit incliné rectangulaire qui protège l'ensemble et vers lequel l'eau de pluie ruisselle grâce à une gouttière. Une vue de côté de l'installation fait apparaître un triangle rectangle en D, de sommets E, D et F, avec ED = 2,5 m et EF = 4,6 m ; un point A, aligné avec D et F, est situé à 1,5 m du point F ; les droites (AB) et (DC) sont parallèles, avec AB représentant la largeur du pavé droit et DI (également notée EL) une profondeur de 4,0 m. 1. Le solide EDFKLI, formé par le toit incliné de la cuve, doit être identifié parmi les noms suivants : cube, triangle, prisme droit, cylindre. Quelle est sa nature géométrique ?

Le toit incliné EDFKLI est formé par la translation d'un triangle (le triangle EDF) le long d'une arête : ses deux faces triangulaires sont superposables et reliées par des faces rectangulaires. Le solide EDFKLI est donc un prisme droit.

2.En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle EDF rectangle en D, vérifier que la longueur DF, arrondie au dixième, vaut 3,9 m (avec ED = 2,5 m et EF = 4,6 m).

Dans le triangle EDF rectangle en D, le théorème de Pythagore donne : {\text{EF}^2 = \text{ED}^2 + \text{DF}^2}. Avec \text{EF} = 4,6 et \text{ED} = 2,5, on obtient : 4,6^2 = 2,5^2 + \text{DF}^2, donc \text{DF}^2 = 4,6^2 - 2,5^2 = 21,16 - 6,25 = 14,91. D'où \text{DF} = \sqrt{14,91} \approx 3,86. Arrondie au dixième, la longueur DF vaut donc bien 3,9 m.

3.Sachant que les points D, A et F sont alignés dans cet ordre et que AF = 1,5 m, calculer, en mètre, la longueur AD.

Puisque D, A et F sont alignés dans cet ordre, on a \text{DA} + \text{AF} = \text{DF}, donc {\text{DA} = \text{DF} - \text{AF}}. Avec \text{DF} \approx 3,9 et \text{AF} = 1,5 : \text{AD} = 3,9 - 1,5 = 2,4. La longueur AD mesure donc 2,4 m.

4.Les droites (AB) et (DC) étant parallèles, montrer, en utilisant le théorème de Thalès, que la longueur AB, arrondie à l'unité, est égale à 1 m.

Les points F, A, D sont alignés et les points F, B, E sont alignés dans le même ordre.
Les droites (AB) et (DC) sont parallèles.
Avec DE = 2,5, FA = 1,6 et FD \approx 3,9.
Or, d'après le théorème de Thalès, appliqué dans les triangles FAB et FDE,
On a \dfrac{\text{AB}}{\text{DE}} = \dfrac{\text{FA}}{\text{FD}}
d'où \dfrac{\text{AB}}{2,5} = \dfrac{1,6}{3,9}
donc \text{AB} = \dfrac{1,6\times 2,5}{3,9} \approx 1,03, soit, arrondie à l'unité, AB = 1 m.

5.Calculer, en mètre cube, le volume du pavé droit ABCDIJGH qui constitue la cuve, sachant que AB \approx 1 m, AD = 2,4 m et que sa profondeur DI vaut 4,0 m.

Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions : longueur, largeur et hauteur. Ici, \text{AB} = 1, \text{AD} = 2,4 et \text{DI} = 4,0, donc le volume de la cuve est : V = 1 \times 2,4 \times 4,0 = 9,6. Le volume du pavé droit ABCDIJGH est donc de 9,6 m^{3}.

6.En déduire le volume, en litre, du récupérateur d'eau (on rappelle que 1 m^{3} = 1 000 L).

Le volume de la cuve est de 9,6 m^{3}. Comme 1 m^{3} correspond à 1 000 L : 9,6 \times 1\,000 = 9\,600. Le récupérateur d'eau contient donc 9 600 litres.

Unprogramme écrit avec le logiciel Scratch permet de calculer l'aire d'un trapèze de grande base B, de petite base b et de hauteur h. Le programme demande successivement à l'utilisateur les valeurs de B, de b et de h, les stocke dans des variables, puis affiche le résultat d'un calcul combinant ces trois variables. 1. En s'appuyant sur la dernière instruction du programme, laquelle des trois expressions suivantes correspond à la formule de l'aire d'un trapèze : B + \dfrac{b\times h}{b}, \dfrac{(B + b) \times h}{2}, ou \dfrac{(B + b \times h)}{2} ?

La dernière instruction du programme additionne d'abord les deux bases B et b, multiplie cette somme par la hauteur h, puis divise le résultat par 2 : cela correspond bien à la formule de l'aire d'un trapèze, \dfrac{(B + b) \times h}{2}.

2.Si l'on saisit B = 12, b = 8 et h = 6, quel résultat le programme affiche-t-il, parmi les propositions 13, 36, 60 et 576 ?

On applique la formule de l'aire du trapèze avec ces valeurs : \begin{aligned}\dfrac{(B + b) \times h}{2} &= \dfrac{(12 + 8) \times 6}{2} \\ &= \dfrac{20 \times 6}{2} \\ &= \dfrac{120}{2} \\ &= 60\end{aligned} Le résultat affiché par le programme est donc 60.

3.Un second programme, incomplet, doit calculer l'aire d'un rectangle. Il commence par demander la longueur du rectangle. Parmi une liste d'instructions disponibles (afficher l'aire comme le produit longueur \times largeur divisé par 2 ; afficher l'aire comme le produit longueur \times largeur \times hauteur ; afficher l'aire comme le produit longueur \times largeur ; demander la largeur du rectangle ; mettre la variable longueur à la valeur saisie ; mettre la variable largeur à la valeur saisie), indiquer, dans l'ordre, les seules instructions utiles pour terminer correctement le programme.

Pour calculer l'aire d'un rectangle à partir de sa longueur et de sa largeur, le programme doit d'abord enregistrer la longueur déjà demandée dans une variable, puis demander la largeur et l'enregistrer à son tour, et enfin afficher le produit de la longueur par la largeur (sans division par 2, qui correspondrait à un triangle, ni multiplication par une hauteur, qui ne concerne pas un rectangle). Dans l'ordre, il faut donc enchaîner les instructions suivantes :

Suited'instructions à enchaîner, dans l'ordre.