Brevet : Métropole 2024 (remplacement)

1.Une affirmation annonce que la décomposition de 260 en produit de facteurs premiers est 260 = 4 \times 5 \times 13. Cette affirmation est-elle vraie ?

Un produit de facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers, or 4 n'est pas un nombre premier puisque 4 = 2 \times 2.
4 \times 5 \times 13 n'est donc pas une décomposition en produit de facteurs premiers : l'affirmation est fausse.
(La bonne décomposition est {260 = 2^{2} \times 5 \times 13}.)

2.Une urne opaque contient 3 boules blanches, 4 boules jaunes et 8 boules rouges indiscernables au toucher ; une autre urne opaque contient 1 boule A, 1 boule B et 3 boules C. On tire au hasard une boule dans chaque urne. La probabilité d'obtenir une boule rouge est-elle supérieure à celle d'obtenir une boule marquée C ?

La première urne contient {3+4+8=15} boules, dont 8 rouges, donc P(\text{rouge})=\dfrac{8}{15}.
La seconde urne contient 1+1+3=5 boules, dont 3 marquées C, donc P(\text{C})=\dfrac{3}{5}.
On réduit au même dénominateur : {\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{15}}.
Comme \dfrac{8}{15} < \dfrac{9}{15}, on a P(\text{rouge}) < P(\text{C}) : l'affirmation est fausse.

3.Une affirmation annonce que la solution de l'équation 7x+5=2x-2 est -1{,}4. Cette affirmation est-elle vraie ?

7x+5=2x-2 équivaut à {7x-2x=-2-5}, soit 5x=-7.
On en déduit \begin{aligned}x &= \dfrac{-7}{5} \\ &= -1{,}4\end{aligned}
La solution de l'équation est bien -1{,}4 : l'affirmation est vraie.

4.On empile 10 pièces cylindriques de 1,9 cm de diamètre et de 0,2 cm de hauteur. Le volume du cylindre obtenu, arrondi à l'unité, est-il de 6 cm^{3} ?

Une pièce a un diamètre de 1,9 cm, donc un rayon R=0{,}95 cm, et une hauteur h=0{,}2 cm.
Le volume d'un cylindre est {V=\pi \times R^{2}\times h}, soit ici \begin{aligned}V &\approx 3{,}14 \times 0{,}95^{2}\times 0{,}2 \\ &\approx 0{,}567\end{aligned} cm^{3} pour une seule pièce.
Empilées, les 10 pièces forment un cylindre de volume 10\times 0{,}567 = 5{,}67 cm^{3}, soit 6 cm^{3} arrondi à l'unité.
L'affirmation est vraie.

5.Un éléphant court à 5 m/s et un cochon se déplace à 17 km/h. L'éléphant est-il plus rapide que le cochon ?

Il faut convertir la vitesse de l'éléphant en km/h pour comparer les deux vitesses dans la même unité.
En une heure, il y a 3 600 s, donc 5 m/s correspond à 5\times 3\,600=18\,000 m parcourus en une heure, soit 18\,000 m/h.
Comme 1 km =1\,000 m, cela représente \dfrac{18\,000}{1\,000}=18 km/h.
L'éléphant court donc à 18 km/h, ce qui est supérieur aux 17 km/h du cochon : l'affirmation est vraie.

1.aUn agriculteur possède un champ triangulaire ABC, rectangle en B, avec AB = 200 m et BC = 150 m. Sa moissonneuse batteuse coupe des bandes de 12 m de large parallèles à (AB), et il a déjà fait 5 passages en partant du côté [AB], le point G marquant l'avancée sur [BC]. Calculer BG.

Après 5 passages de 12 m chacun, la distance parcourue le long de [BC] est \text{BG}=5\times 12= 60 m.

1.bEn déduire la longueur CG.

Comme G appartient au segment [BC], \text{CG}=\text{BC}-\text{BG}=150-60= 90 m.

2.F est le point de [AC] correspondant à l'avancée de la moissonneuse, de sorte que (FG) soit parallèle à (AB). Calculer la longueur GF.

Les points B, G, C sont alignés dans cet ordre et les points A, F, C sont alignés dans cet ordre.
Les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{\text{CG}}{\text{CB}}=\dfrac{\text{GF}}{\text{BA}}.
d'où \dfrac{90}{150}=\dfrac{\text{GF}}{200}
donc \text{GF}=\dfrac{90\times 200}{150}= 120 m.

3.aLe triangle CGF est rectangle en G. Calculer son aire.

Aire =\dfrac{\text{GF}\times \text{CG}}{2}=\dfrac{120\times 90}{2}= 5 400 m^{2}.

3.bLe quadrilatère ABGF, de surface 9 600 m^{2}, a été moissonné en 80 minutes, à vitesse de travail proportionnelle à la surface moissonnée. Calculer le temps nécessaire pour moissonner la partie restante CGF.

On construit un tableau de proportionnalité entre la surface moissonnée (en m^{2}) et le temps de travail (en minutes) : 9\,600 m^{2} pour 80 min, et 5\,400 m^{2} pour un temps inconnu.
Le temps cherché est \dfrac{5\,400\times 80}{9\,600}= 45 minutes.

4.L'année suivante, l'agriculteur veut clôturer tout le champ ABC. Quelle longueur de clôture doit-il acheter ?

La longueur de clôture est le périmètre du triangle ABC : \text{AB}+\text{BC}+\text{AC}=200+150+\text{AC}=350+\text{AC}.
Le triangle ABC est rectangle en B, donc, d'après le théorème de Pythagore, \text{AC}^{2}=\text{AB}^{2}+\text{BC}^{2}=200^{2}+150^{2}=40\,000+22\,500=62\,500.
Comme AC est une longueur positive, \text{AC}=\sqrt{62\,500}=250 m.
La longueur de clôture à acheter est donc 350+250= 600 mètres.

1.aUne entreprise a relevé la production journalière (en kWh) de ses panneaux solaires sur une semaine : 381 (lundi), 363 (mardi), 322 (mercredi), 329 (jeudi), 393 (vendredi), 405 (samedi), 376 (dimanche). Calculer l'étendue de cette série.

La production a été maximale le samedi (405 kWh) et minimale le mercredi (322 kWh).
L'étendue de la série est donc {405-322=} 83 kWh.

1.bCalculer la production moyenne d'électricité par jour sur cette période.

La moyenne est la somme des sept valeurs divisée par 7 : \dfrac{381+363+322+329+393+405+376}{7}=\dfrac{2\,569}{7}.
La production moyenne d'électricité par jour est donc de 367 kWh.

2.L'entreprise revend 15 % de sa production totale de la semaine au tarif de 8 centimes le kWh. Calculer la somme obtenue.

La production totale sur la semaine est 2\,569 kWh (somme calculée à la question précédente).
15 % de cette production représentent 2\,569\times \dfrac{15}{100}=385{,}35 kWh revendus.
Au tarif de 8 centimes (soit 0,08 €) le kWh, la recette est 385{,}35\times 0{,}08= 30,828 €, soit environ 30,83 € pour ces 7 jours.

3.Pour une production maximale, le toit doit avoir une pente comprise entre 30^{\circ} et 35^{\circ} avec l'horizontale. Sur le schéma du hangar, un triangle rectangle en V donne OV = 7 m (la hauteur du faîtage) et OL = 13,5 m (la longueur du pan de toit), la pente correspondant à l'angle \widehat{\text{OLV}}. Cette pente permet-elle une production maximale ?

Dans le triangle OLV rectangle en V, le côté [OV] est opposé à l'angle \widehat{\text{OLV}} et [OL] est l'hypoténuse.
D'après la trigonométrie dans le triangle rectangle (SOH-CAH-TOA), \begin{aligned}\sin\left(\widehat{\text{OLV}}\right) &= \dfrac{\text{OV}}{\text{OL}} \\ &= \dfrac{7}{13{,}5} \\ &\approx 0{,}5185\end{aligned}
À la calculatrice, on trouve \widehat{\text{OLV}}\approx 31{,}2^{\circ}.
Comme 31{,}2^{\circ} est compris entre 30^{\circ} et 35^{\circ}, la pente de ce toit permet bien une production maximale des panneaux solaires.

1.On considère la fonction f définie par f(x)=x^{2}+10x+16. Calculer l'image de 6 par f.

f(6)=6^{2}+10\times 6+16=36+60+16= 112.

2.aUn tableur calcule les images par f des entiers de -4 à 4, en saisissant une formule en cellule B2 (pour l'image de la valeur en B1) puis en l'étirant vers la droite. Parmi les propositions « =B1*B1+10*B1+16 », « =A1*A1+10*A1+16 », « =(-4)*(-4)+10*(-4)+16 » et « =x*x+10*x+16 », laquelle a été saisie ?

Une formule de tableur destinée à être étirée doit utiliser une référence de cellule relative (qui s'adapte à chaque colonne), et non une valeur numérique fixe ni une lettre comme x.
La cellule B2 doit calculer l'image de la valeur contenue en B1 : c'est donc la formule =B1*B1+10*B1+16 qui a été saisie.

2.bLe tableau obtenu donne notamment f(-2)=0. Que peut-on en déduire ?

Puisque f(-2)=0, on peut dire que -2 est un antécédent de 0 par la fonction f.

3.aMontrer que, pour tout nombre x, (x+2)(x+8)=f(x).

On développe le produit : \begin{aligned}(x+2)(x+8) &= x^{2}+8x+2x+16 \\ &= x^{2}+10x+16\end{aligned}
On retrouve exactement l'expression de f(x), donc (x+2)(x+8)=f(x) pour tout nombre x.

3.bEn utilisant cette factorisation, déterminer tous les antécédents de 0 par f.

Chercher les antécédents de 0 revient à résoudre l'équation f(x)=0, c'est-à-dire (x+2)(x+8)=0.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul : x+2=0 ou x+8=0.
On obtient donc x=-2 ou x=-8.
Les antécédents de 0 par f sont -2 et -8 (on retrouve bien -2, déjà repéré dans le tableau, et on obtient en plus -8).

1.aLe quadrilatère ABCD est formé de deux triangles équilatéraux ABC et ACD de côté 5 cm, accolés le long de [AC]. Reproduire cette figure en vraie grandeur.

La figure se construit en traçant d'abord le triangle équilatéral ABC de côté 5 cm, puis le triangle équilatéral ACD de côté 5 cm de l'autre côté de la diagonale [AC], en accolant les deux triangles le long de ce côté commun.

1.bMontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.

Le triangle ABC est équilatéral, donc \text{AB}=\text{BC}=\text{CA}=5 cm.
Le triangle ACD est équilatéral, donc \text{AC}=\text{CD}=\text{DA}=5 cm.
Les quatre côtés du quadrilatère ABCD valent donc tous 5 cm : {\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DA}}.
Un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur est un losange, donc ABCD est un losange.

1.cMontrer que l'angle \widehat{\text{BCD}} mesure 120^{\circ}.

Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60^{\circ}.
Le triangle ABC est équilatéral, donc \widehat{\text{BCA}}=60^{\circ}.
Le triangle ACD est équilatéral, donc \widehat{\text{ACD}}=60^{\circ}.
Or \widehat{\text{BCD}}=\widehat{\text{BCA}}+\widehat{\text{ACD}} (les deux angles se juxtaposent de part et d'autre de [CA]), donc \widehat{\text{BCD}}=60+60= 120^{\circ}.

2.On veut créer, dans un logiciel de programmation par blocs, un bloc « Motif » qui trace le losange ABCD, sachant que 10 pas représentent 1 cm en réalité (le côté de 5 cm correspond donc à 50 pas) et que les angles du losange valent 60^{\circ} et 120^{\circ}. Le début du programme fait avancer de 50 pas puis tourner de 60^{\circ} (à gauche) ; compléter les deux instructions suivantes pour fermer le losange.

3.On répète 5 fois le bloc Motif en tournant de 72^{\circ} entre chaque répétition (programme A), ou en tournant de 72^{\circ} puis en avançant de 25 pas entre chaque répétition (programme B), ou encore en avançant de 25 pas puis en tournant de 72^{\circ} entre chaque répétition (programme C). Trois figures sont obtenues : la figure 1 est une rosace de 5 losanges accolés en étoile autour d'un même point ; la figure 2 est une couronne de 5 losanges disposés en cercle, séparés du centre ; la figure 3 est une bande de 5 losanges alignés en diagonale. Associer chaque programme à sa figure.

Le programme A ne fait qu'avancer un losange puis tourner de 72^{\circ} autour du même point de départ à chaque répétition : les 5 losanges restent accrochés à ce point commun et forment une étoile, ce qui correspond à la figure 1.
Le programme C avance de 25 pas avant de tracer chaque nouveau losange, sans jamais tourner : les losanges s'alignent donc les uns après les autres dans la même direction, ce qui correspond à la figure 3.
Le programme B combine une rotation de 72^{\circ} et une avancée de 25 pas à chaque répétition : le point de départ de chaque losange s'éloigne progressivement du centre tout en tournant, ce qui forme une couronne de losanges écartés du centre, correspondant à la figure 2.