Brevet : Polynésie française 2024 (remplacement)

1.On donne cinq nombres écrits sous forme de produits de facteurs premiers : {2^2\times11\times23} ; 2^4\times3^4\times11 ; 7^3\times13\times17 ; 2\times3\times5\times7 ; 2^3\times3^2\times7. Lesquels de ces nombres sont divisibles par 21 ?

Un nombre est divisible par 21 s'il contient à la fois un facteur 3 et un facteur 7 dans sa décomposition (car 21=3\times7).
Le premier nombre, {2^2\times11\times23}, ne contient ni le facteur 3 ni le facteur 7 : il n'est pas divisible par 21.
Le deuxième nombre, 2^4\times3^4\times11, contient bien le facteur 3 mais aucun facteur 7 : il n'est pas divisible par 21.
Le troisième nombre, 7^3\times13\times17, contient bien le facteur 7 mais aucun facteur 3 : il n'est pas divisible par 21.
Le quatrième nombre, \begin{aligned}2\times3\times5\times7 &= 2\times5\times(3\times7) \\ &= 2\times5\times21\end{aligned} contient à la fois un facteur 3 et un facteur 7 : il est divisible par 21.
Le cinquième nombre, \begin{aligned}2^3\times3^2\times7 &= 2^3\times3\times(3\times7) \\ &= 2^3\times3\times21\end{aligned} contient lui aussi un facteur 3 et un facteur 7 : il est divisible par 21.
Les nombres divisibles par 21 sont donc le quatrième (2\times3\times5\times7) et le cinquième (2^3\times3^2\times7).

2.Donner l'écriture scientifique du nombre 0{,}00000276 (aucune justification n'est demandée).

L'écriture scientifique de ce nombre est 2{,}76\times10^{-6} (il faut déplacer la virgule de 6 rangs vers la droite pour obtenir 2,76).

3.La comète Hale-Bopp a atteint la vitesse de 2 640 km/min. Quelle est cette vitesse exprimée en m/s ?

En une minute, la comète parcourt 2\,640 km, donc en une seconde elle parcourt \dfrac{2\,640}{60}=44 km.
Or 44 km =44\,000 m, donc en une seconde la comète parcourt 44\,000 m.
La vitesse de la comète Hale-Bopp est donc de 44 000 m/s.

4.Résoudre l'équation (2x-7)(3x+1)=0.

Un produit de deux facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des deux facteurs est nul : soit 2x-7=0, soit 3x+1=0.
Si 2x-7=0 alors 2x=7 donc x=\dfrac{7}{2}.
Si 3x+1=0 alors 3x=-1 donc {x=-\dfrac{1}{3}}.
Les solutions de l'équation sont donc x=\dfrac{7}{2} et {x=-\dfrac{1}{3}}.

5.On considère la fonction f définie par f(x)=5x^2+2. Quelle est l'image de -3 par la fonction f ?

f(-3)=5\times(-3)^2+2=5\times9+2=45+2= 47.

6.Sur une figure (non tracée à l'échelle), les points A, E, C sont alignés, les points B, D, C sont alignés, et les droites (AB) et (ED) sont parallèles, avec AB =5 cm, BD =1 cm et CD =3 cm. Calculer la longueur DE.

Les points A, E, C sont alignés dans cet ordre et les points B, D, C sont alignés dans cet ordre.
Les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{\text{CD}}{\text{CB}} &= \dfrac{\text{CE}}{\text{CA}} \\ &= \dfrac{\text{DE}}{\text{BA}}\end{aligned}
Comme CD =3 cm et DB =1 cm, on a CB = CD + DB =3+1=4 cm.
d'où \dfrac{3}{4}=\dfrac{\text{DE}}{5}
donc \text{DE}=\dfrac{5\times3}{4}=\dfrac{15}{4}= 3,75 cm.

Ona relevé, dans un tableur, les températures maximales atteintes à Strasbourg le 25 juin de chaque année de 2010 à 2018 : 29 ; 23,1 ; 22,6 ; 17,4 ; 23,4 ; 25,7 ; 25,2 ; 26 ; 24 (en degrés Celsius). 1. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B4 pour faire calculer la moyenne de cette série par le tableur, sachant que les neuf valeurs occupent les cellules B2 à J2 ?

En supposant que les neuf températures occupent les cellules B2 à J2, la formule à saisir dans la cellule B4 pour obtenir leur moyenne est \fbox{= SOMME(B2:J2)/9} (ou une formule équivalente utilisant la fonction MOYENNE).

2.Donner, sans détailler les calculs, une valeur approchée au degré Celsius près de la moyenne de cette série.

La somme des neuf températures est 29+23{,}1+22{,}6+17{,}4+23{,}4+25{,}7+25{,}2+26+24=216{,}4.
La moyenne de la série est donc \dfrac{216{,}4}{9}\approx24{,}04.
Une valeur approchée au degré Celsius près de cette moyenne est donc 24 ^{\circ}C.

3.La médiane de cette série est 24 ^{\circ}C. Donner une interprétation de cette valeur.

Dire que la médiane de cette série est 24 ^{\circ}C signifie qu'au moins la moitié des neuf températures relevées sont inférieures ou égales à 24 ^{\circ}C, et qu'au moins la moitié d'entre elles sont supérieures ou égales à 24 ^{\circ}C.

4.Pour cette question seulement, on ajoute à la série la température maximale relevée le 25 juin 2019 : l'étendue de cette nouvelle série (2010 à 2019) est alors égale à 18,5 ^{\circ}C. Déterminer la température maximale atteinte à Strasbourg le 25 juin 2019.

La température la plus basse de la série initiale (2010 à 2018) est 17{,}4 ^{\circ}C, et l'étendue d'une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.
Si l'étendue de la nouvelle série (avec l'année 2019 incluse) vaut 18{,}5 ^{\circ}C, la température la plus élevée de cette nouvelle série est donc {17{,}4+18{,}5=35{,}9} ^{\circ}C.
Cette valeur de 35{,}9 ^{\circ}C ne correspond à aucune des températures relevées entre 2010 et 2018 : c'est donc bien la température maximale atteinte le 25 juin 2019 qui vaut 35,9 ^{\circ}C.

Onrevient maintenant à la série des neuf températures relevées de 2010 à 2018. On fabrique 9 fiches, chacune associée à une année, portant la température maximale atteinte cette année-là, et on tire une fiche au hasard (toutes les fiches ayant la même probabilité d'être tirées). a. Quelle est la probabilité que la température inscrite sur la fiche tirée soit égale à 26 ^{\circ}C ?

Parmi les neuf températures 17{,}4~;~22{,}6~;~23{,}1~;~23{,}4~;~24~;~25{,}2~;~25{,}7~;~26~;~29, la valeur 26 ^{\circ}C n'apparaît qu'une seule fois.
La probabilité que la fiche tirée porte la température 26 ^{\circ}C est donc \dfrac{1}{9}.

b.Quelle est la probabilité que la température inscrite sur la fiche tirée soit inférieure ou égale à 24 ^{\circ}C ?

Parmi les neuf températures, celles qui sont inférieures ou égales à 24 ^{\circ}C sont 17{,}4~;~22{,}6~;~23{,}1~;~23{,}4 et 24, soit 5 valeurs.
La probabilité que la fiche tirée porte une température inférieure ou égale à 24 ^{\circ}C est donc \dfrac{5}{9}.

c.Peut-on affirmer qu'il y a plus de 40 % de chances de tirer une fiche sur laquelle la température est supérieure à 25 ^{\circ}C ?

Parmi les neuf températures, celles qui sont strictement supérieures à 25 ^{\circ}C sont 25{,}2~;~25{,}7~;~26 et 29, soit 4 valeurs.
La probabilité de tirer une fiche portant une température supérieure à 25 ^{\circ}C est donc \dfrac{4}{9}.
Or \dfrac{4}{9}\times100\approx44{,}4, donc cette probabilité représente environ 44{,}4\,\%.
Comme 44{,}4>40, il est donc exact d'affirmer qu'il y a plus de 40 % de chances de tirer une fiche où la température dépasse 25 ^{\circ}C.

Surune figure (non tracée à l'échelle), le triangle ONM est rectangle en N, le triangle OPQ est rectangle en P, le triangle ORS est rectangle en R, avec ON {=6} cm et {\widehat{\text{MON}}=32^{\circ}} ; P appartient au segment [OM] et R appartient au segment [OQ]. 1. Calculer la longueur MN, arrondie au millimètre près.

Dans le triangle OMN, rectangle en N, le côté [MN] est opposé à l'angle \widehat{\text{MON}} et le côté [ON] lui est adjacent : on utilise donc la tangente (SOH-CAH-TOA).
\tan\left(\widehat{\text{MON}}\right)=\dfrac{\text{MN}}{\text{ON}}, donc \text{MN}=\text{ON}\times\tan\left(\widehat{\text{MON}}\right)=6\times\tan(32^{\circ})\approx3{,}749.
La longueur MN, arrondie au millimètre près, mesure donc environ 3,7 cm.

2.On donne PQ =2{,}5 cm et OQ =6{,}5 cm. Montrer que OP {=6} cm.

Le triangle OPQ est rectangle en P, donc d'après le théorème de Pythagore : \text{OQ}^2=\text{OP}^2+\text{PQ}^2.
On en déduit \text{OP}^2=\text{OQ}^2-\text{PQ}^2=6{,}5^2-2{,}5^2=42{,}25-6{,}25=36.
Comme OP est une longueur positive, \text{OP}=\sqrt{36}= 6 cm.

3.Montrer que les triangles ONM et OPQ ne sont pas des triangles égaux.

Les triangles ONM et OPQ sont tous deux rectangles, respectivement en N et en P, et partagent un côté de l'angle droit de même longueur : ON = OP {=6} cm.
En revanche, l'autre côté de l'angle droit diffère : MN \approx3{,}7 cm (question 1) alors que PQ =2{,}5 cm.
Comme leurs côtés de l'angle droit ne sont pas deux à deux égaux, les triangles rectangles ONM et OPQ ne sont donc pas des triangles égaux.

4.Sachant que le triangle OPQ est un agrandissement du triangle ORS et que OS =3{,}25 cm, calculer l'aire du triangle ORS.

OQ et OS sont les hypoténuses respectives des triangles OPQ et ORS, avec OQ =6{,}5 cm et OS =3{,}25 cm.
Comme 6{,}5=2\times3{,}25, le triangle OPQ est un agrandissement du triangle ORS selon un rapport de longueurs égal à 2.
L'aire du triangle OPQ vaut \begin{aligned}\dfrac{\text{OP}\times\text{PQ}}{2} &= \dfrac{6\times2{,}5}{2} \\ &= 7{,}5\end{aligned} cm^{2}.
Lorsqu'on applique un agrandissement de rapport 2 à une figure, son aire est multipliée par 2^2=4 : l'aire du triangle OPQ est donc 4 fois plus grande que celle du triangle ORS.
L'aire du triangle ORS est donc 4 fois plus petite que celle du triangle OPQ, soit \dfrac{7{,}5}{4}= 1,875 cm^{2}.

Surune figure, DEFGH est un pentagone régulier et E appartient à la demi-droite [Dy). Tous les angles d'un pentagone régulier mesurent 108^{\circ}. Justifier que l'angle \widehat{\text{FEy}} mesure 72^{\circ}.

Les points D, E, y sont alignés (E appartient à la demi-droite [Dy)), donc les angles \widehat{\text{DEF}} et \widehat{\text{FEy}} sont supplémentaires : \widehat{\text{DEF}}+\widehat{\text{FEy}}=180^{\circ}.
Or DEFGH est un pentagone régulier, donc \widehat{\text{DEF}}=108^{\circ}.
On en déduit \begin{aligned}\widehat{\text{FEy}} &= 180-108 \\ &= 72^{\circ}\end{aligned}
L'angle \widehat{\text{FEy}} mesure donc bien 72^{\circ}.

2.aUn bloc « pentagone » (langage de programmation par blocs) répète un certain nombre de fois la séquence « avancer de la valeur de la variable longueur pas, puis tourner d'un certain angle », le tout précédé de « stylo en position d'écriture » et suivi de « relever le stylo ». Compléter ce bloc (nombre de répétitions et angle de rotation) pour qu'il trace effectivement un pentagone régulier, sachant qu'un pentagone régulier possède 5 côtés (aucune justification n'est demandée).

2.bCamille, Lou et Zoé ont chacun programmé un pentagone puis son image par une transformation différente parmi translation, symétrie centrale et rotation, en utilisant toujours le même bloc « pentagone » de longueur de côté 60 : Camille fait avancer le lutin de 120 pas avant de tracer le second pentagone (sans rotation), Lou fait tourner le lutin de 60^{\circ} avant de tracer le second pentagone, et Zoé fait tourner le lutin de 180^{\circ} avant de tracer le second pentagone. On donne trois copies d'écran (numérotées 1, 2 et 3) montrant chacune un pentagone et son image, mais sans indication du prénom de l'auteur ni de la transformation utilisée : la copie 1 montre un pentagone et son image obtenue par une rotation, la copie 2 montre un pentagone et son image obtenue par une symétrie centrale (retournée et décalée), et la copie 3 montre deux pentagones alignés côte à côte dans la même orientation. Associer à chaque élève le numéro de sa copie d'écran et le nom de la transformation qu'il a utilisée.

Le programme de Camille ne modifie que la position du lutin (avancer de 120 pas), sans changer son orientation : le second pentagone est donc simplement décalé, dans la même orientation que le premier, ce qui correspond à une translation : c'est donc la copie d'écran 3.
Le programme de Lou fait tourner le lutin de 60^{\circ} avant de tracer le second pentagone, ce qui correspond à une rotation : c'est donc la copie d'écran 1.
Le programme de Zoé fait tourner le lutin de 180^{\circ} avant de tracer le second pentagone, ce qui correspond à une symétrie centrale (un demi-tour) : c'est donc la copie d'écran 2.

2.cSofia veut écrire un programme illustrant l'effet d'une homothétie sur un pentagone : le programme doit démarrer au signal de départ, effacer l'écran, positionner le lutin à l'origine, l'orienter vers la droite (90^{\circ}), fixer la variable longueur à 60, tracer un premier pentagone avec le bloc « pentagone », multiplier la valeur de la variable longueur par 1,5, puis tracer un second pentagone avec le bloc « pentagone ». Donner l'ordre d'apparition de chacune de ces huit instructions dans le programme de Sofia (aucune justification n'est demandée).

Lebassin circulaire d'une piscine a la forme d'un cylindre de rayon 3{,}60 m et de hauteur 1{,}50 m. Une pompe de débit 14{,}1 m^{3}/h est utilisée pour le vider en fin de saison. 1. Montrer que le volume du bassin, arrondi au dixième de m^{3}, est bien égal à 61,1 m^{3}.

Le volume d'un cylindre de rayon R et de hauteur h est donné par la formule V=\pi\times R^2\times h.
Ici, \begin{aligned}V &= \pi\times3{,}6^2\times1{,}5 \\ &= \pi\times12{,}96\times1{,}5 \\ &\approx 61{,}0726\end{aligned}
Le volume du bassin, arrondi au dixième de m^{3} près, est donc bien de 61,1 m^{3}.

2.Le bassin est plein et la pompe est mise en route. Quel volume d'eau, en m^{3}, reste-t-il à vider au bout de 2 heures ?

En une heure, la pompe évacue 14{,}1 m^{3} d'eau, donc en 2 heures elle en évacue 2\times14{,}1=28{,}2 m^{3}.
Le volume restant à vider au bout de 2 heures est donc 61{,}1-28{,}2= 32,9 m^{3}.

Onadmet désormais que la fonction V, définie par V(t)=61{,}1-0{,}235t, donne le volume d'eau (en m^{3}) restant à vider dans le bassin en fonction du temps t (exprimé en minutes) de fonctionnement de la pompe. 3.a Justifier que cette expression V(t) correspond bien au volume restant à vider en fonction de la durée t exprimée en minutes.

Le débit de la pompe est de 14{,}1 m^{3} par heure, soit \dfrac{14{,}1}{60}=0{,}235 m^{3} par minute.
En t minutes de fonctionnement, la pompe évacue donc 0{,}235\times t m^{3} d'eau.
Comme le bassin contient initialement 61{,}1 m^{3} d'eau, le volume restant à vider après t minutes est bien 61{,}1-0{,}235t, ce qui correspond à l'expression de V(t).

3.bCalculer, en minutes et arrondi à l'unité, le temps nécessaire pour que le volume d'eau restant à vider soit égal à 30 m^{3}.

On cherche la valeur de t telle que V(t)=30, c'est-à-dire telle que {61{,}1-0{,}235t=30}.
Cette équation équivaut successivement à 61{,}1-30=0{,}235t, puis à 31{,}1=0{,}235t, puis à t=\dfrac{31{,}1}{0{,}235}.
\dfrac{31{,}1}{0{,}235}\approx132{,}2, donc le temps nécessaire, arrondi à la minute près, est d'environ 132 minutes.

4.Le graphique représentant la fonction V montre notamment que la courbe passe approximativement par le point de coordonnées (90~;~40) et coupe l'axe des abscisses aux alentours de t=260. a. Déterminer, par lecture graphique, l'antécédent de 40 par la fonction V, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

D'après le graphique, l'antécédent de 40 par la fonction V est environ 90.
Cela signifie qu'au bout d'environ 90 minutes de fonctionnement de la pompe, il reste environ 40 m^{3} d'eau à vider dans le bassin.

b.Déterminer, par lecture graphique, le temps nécessaire pour que la pompe vide complètement le bassin.

D'après le graphique, la courbe de la fonction V coupe l'axe des abscisses aux alentours de t=260 : le temps nécessaire pour vider complètement le bassin est donc d'environ 260 minutes.