Brevet : Amérique du Nord 2025

Situation 1. Une urne contient 40 boules (5 rouges, 20 vertes, 15 blanches). Calculer la probabilité d'obtenir une boule verte en tirant au hasard.

Il y a 20 boules vertes sur 40 : la probabilité est \begin{aligned}\dfrac{20}{40} &= \dfrac12 \\ &= 0{,}5\end{aligned}

Situation 2. Décomposer 1 050 en produit de facteurs premiers.

\begin{aligned}1\,050 &= 105\times10 \\ &= 5\times21\times2\times5 \\ &= 5\times3\times7\times2\times5 \\ &= 2\times3\times5^2\times7\end{aligned}

Situation 3. Un article coûte 25 €. Calculer son prix après une augmentation de 14 %.

Augmenter de 14 %, c'est multiplier par 1+\dfrac{14}{100} = 1{,}14.
25\times1{,}14 = 28{,}50 € : le nouveau prix est 28,50 €.

Situation 4. Le polygone 2 est un agrandissement du polygone 1, de coefficient 2,5. L'aire du polygone 1 est 7,5 cm^{2}. Calculer l'aire du polygone 2.

Si les longueurs sont multipliées par k, les aires le sont par k^2, ici 2{,}5^2 = 6{,}25.
L'aire du polygone 2 est donc {7{,}5\times6{,}25 =} 46,875 cm^{2}.

Situation 5.1 Une classe de 3e a des tailles réparties ainsi : 152 cm (\times2), 157 (\times4), 160 (\times2), 162 (\times5), 165 (\times2), 170 (\times4), 174 (\times6), 180 (\times5). Calculer la moyenne des tailles.

\overline{t} = \dfrac{2\times152+4\times157+2\times160+5\times162+2\times165+4\times170+6\times174+5\times180}{2+4+2+5+2+4+6+5} = \dfrac{5\,016}{30} = 167,2 cm.

Situation 5.2 Quelle est la médiane des tailles de cette classe ?

Il y a 30 élèves : dans l'ordre croissant, la 15e taille est 165 cm et la 16e est 170 cm. Toute valeur entre 165 cm et 170 cm peut être prise comme médiane de cette série.

1.Sur une figure : A, B, E, M alignés ; A, C, D alignés ; ADE rectangle en E ; ABC rectangle en B ; AD = 70 m, BC = 30 m, AC = 50 m, angle DME = 60^{\circ}. Calculer la longueur AB.

Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore donne {AC^2 = AB^2+BC^2}, soit 50^2 = AB^2+30^2.
\begin{aligned}AB^2 &= 50^2-30^2 \\ &= (50+30)(50-30) \\ &= 80\times20 \\ &= 1\,600 \\ &= 40^2\end{aligned} donc AB = 40 m.

2.Montrer que les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

(DE) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AB) (car ADE est rectangle en E et ABC rectangle en B) : elles sont donc parallèles.

3.Montrer que la longueur DE est égale à 42 m.

Les points B, A, E sont alignés et les points C, A, D sont alignés dans le même ordre.
Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{AB}{AE} &= \dfrac{BC}{DE} \\ &= \dfrac{AC}{AD}\end{aligned}
En particulier, \dfrac{AB}{AE} = \dfrac{AC}{AD} ne donne pas directement DE ; d'où \dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AC}{AD}, soit \dfrac{30}{DE} = \dfrac{50}{70}.
donc 50\times DE = 30\times70, d'où {DE = \dfrac{30\times70}{50} =} 42 m.

4.Sachant que l'angle DME vaut 60^{\circ}, montrer que la longueur EM est environ égale à 24,2 m.

Le triangle DME est rectangle en E avec un angle de 60^{\circ} en M (donc 30^{\circ} en D) : c'est un demi-triangle équilatéral, donc DE = DM\times\dfrac{\sqrt3}{2}.
42 = DM\times\dfrac{\sqrt3}{2} donne DM = \dfrac{84}{\sqrt3}, et EM = \dfrac{DM}{2} = \dfrac{42}{\sqrt3} \approx 24,2 m (on peut aussi utiliser Pythagore dans DME).

5.En déduire l'aire du triangle AMD.

Aire de DME {= \dfrac{DE\times EM}{2} = \dfrac{42\times\frac{42}{\sqrt3}}{2} \approx 509{,}3} m^{2}.
Or, d'après le théorème de Thalès, \dfrac{AB}{AE} = \dfrac{BC}{DE}, soit \dfrac{40}{AE} = \dfrac{30}{42}, d'où {AE = \dfrac{40\times42}{30} =} 56 m.
Aire de ADE {= \dfrac{AE\times DE}{2} = \dfrac{56\times42}{2} = 1\,176} m^{2}.
Aire de AMD = Aire(ADE) - Aire(DME) \approx 1\,176-509{,}3 \approx 666,7 m^{2}.

1.Le programme A consiste à : choisir un nombre, multiplier par 3, ajouter 15, diviser par 3, soustraire le nombre de départ. Montrer que, pour le nombre 4, le résultat est 5.

4 \xrightarrow{\times3} 12 \xrightarrow{+15} 27 \xrightarrow{\div3} 9 \xrightarrow{-4} 5 : on obtient bien 5.

2.Montrer que, pour le nombre -2, le résultat du programme A est encore 5.

-2 \xrightarrow{\times3} -6 \xrightarrow{+15} 9 \xrightarrow{\div3} 3 \xrightarrow{-(-2)} 5 : on retrouve 5.

3.Justifier que « le programme A donne toujours le même résultat » est vrai.

En partant d'un nombre a : a \xrightarrow{\times3} 3a \xrightarrow{+15} 3a+15=3(a+5) \xrightarrow{\div3} a+5 \xrightarrow{-a} 5. Quel que soit a, le résultat final est toujours 5.

4.Le programme B consiste à : soustraire 1 au nombre choisi, soustraire 6 au nombre choisi, multiplier les deux résultats, ajouter 5. Lorsque le nombre choisi est 10, quel résultat obtient-on ?

10-1=9 et 10-6=4 : leur produit vaut 9\times4=36, puis 36+5= 41.

5.Il existe exactement deux nombres pour lesquels les programmes A et B donnent des résultats identiques. Lesquels ?

Le programme A donne toujours 5 (question 3). Avec le programme B, en partant de x, on obtient {(x-1)(x-6)+5}.
Les résultats sont égaux si {5=(x-1)(x-6)+5}, c'est-à-dire {(x-1)(x-6)=0}, dont les solutions sont 1 et 6.

1.Malo s'entraîne sur un parcours de 13,5 km ; une courbe donne sa distance parcourue en fonction du temps. Le temps et la distance sont-ils proportionnels ?

La représentation graphique de la distance en fonction du temps n'est pas un segment de droite passant par l'origine : la distance parcourue par Malo n'est pas proportionnelle au temps de course.

2.Quelle distance a-t-il parcourue au bout de 20 minutes (lecture graphique) ?

Au bout de 20 minutes, Malo a parcouru 4,5 km.

3.Combien de temps a-t-il mis pour parcourir les 9 premiers kilomètres (lecture graphique) ?

Malo a parcouru les 9 premiers kilomètres en 50 minutes.

4.Sachant qu'il a parcouru les 13,5 km en 80 minutes, dont un arrêt de 10 minutes, calculer sa vitesse moyenne au dixième de km/h près.

Sans l'arrêt (70 min de course effective) : \begin{aligned}v_1 &= \dfrac{13{,}5}{\dfrac{70}{60}} \\ &= 13{,}5\times\dfrac{60}{70} \\ &= \dfrac{81}{7} \\ &\approx 11{,}6\end{aligned} km/h.
Avec l'arrêt (80 min au total) : {v_2 = \dfrac{13{,}5}{\dfrac{80}{60}} = 13{,}5\times\dfrac{60}{80} = \dfrac{81}{8} \approx} 10,1 km/h.

5.aLouise (12 km/h) et Hillal (10 km/h), partis en même temps sur les 13,5 km, courent à vitesse régulière. Qui franchit la ligne d'arrivée en premier ?

Louise court plus vite qu'Hillal : c'est elle qui arrive la première.

5.bQuelle distance sépare Louise et Hillal lorsque la première d'entre eux franchit la ligne d'arrivée ?

Louise parcourt les 13,5 km à 12 km/h en un temps t = \dfrac{13{,}5}{12} heures.
Pendant ce temps, Hillal parcourt {10\times\dfrac{13{,}5}{12} = 11{,}25} km.
Hillal est donc à 13{,}5-11{,}25 = 2,25 km de l'arrivée à cet instant.

1.Trois scripts Scratch tracent des motifs répétés (Motif 1 : répéter 3\times avancer 30/tourner 120^{\circ} ; Motif 2 : répéter 6\times avancer 30/tourner 60^{\circ}). Associer les scripts 1 et 2 à un hexagone et un triangle équilatéral.

Le script 1 (angles de 120^{\circ}, 3 répétitions) trace un triangle équilatéral, et le script 2 (angles de 60^{\circ}, 6 répétitions) trace un hexagone régulier.

2.Le script 3 (répéter 2 fois une partie effacée) dessine un losange. La partie effacée contient dans le désordre : « tourner de 60^{\circ} », « tourner de 120^{\circ} », « avancer de 30 pas ». Remettre ces instructions dans l'ordre.

Dans l'ordre : tourner de 120^{\circ}, puis avancer de 30 pas, puis tourner de 60^{\circ} (ce triplet, répété deux fois, referme bien le losange).

3.Un script principal place le lutin en (-200 ; 0) puis l'oriente à 90^{\circ}. Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ?

Les coordonnées du point de départ sont (-200 ; 0).

4.Le script tire un nombre aléatoire entre 1 et 3 ; s'il vaut 3, il trace 6 losanges espacés de 60 pas et affiche « Voici le dessin ! », sinon il affiche « Perdu ! ». Parmi 5 captures d'écran proposées, lesquelles sont possibles ?

Si le nombre aléatoire tiré est 3, le script dessine 6 losanges espacés de 60 pas et affiche « Voici le dessin ! ».
Si le nombre tiré est 1 ou 2, le script affiche directement « Perdu ! », sans dessiner de losange.

5.On clique sur le drapeau vert. Quelle est la probabilité que le message affiché soit « Voici le dessin ! » ?

Il y a 1 chance sur 3 d'obtenir le nombre 3 : la probabilité est \dfrac13 \approx 33,3 %.

6.aOn relance le programme 100 fois : « Voici le dessin ! » apparaît 40 fois, « Perdu ! » 60 fois. Calculer la fréquence d'apparition de « Voici le dessin ! ».

La fréquence observée est \dfrac{40}{100} = 0{,}4, soit 40 %.

6.bPourquoi ce résultat est-il différent de celui de la question 5 ?

La question 5 donne la probabilité théorique (\dfrac13 \approx 33{,}3\%), valable pour un très grand nombre de répétitions ; la fréquence observée sur seulement 100 essais (40 %) fluctue naturellement autour de cette valeur théorique sans lui être exactement égale.