Brevet : Amérique du Sud 2025

Situation 1. Décomposer 390 en produit de facteurs premiers.

390 = 39\times10 = 3\times13\times2\times5 = {2\times3\times5\times13}.

Situation 2. ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 10 cm et BC = 20 cm. Quelle est la mesure de l'angle ABC ?

Dans le triangle ABC rectangle en A, \begin{aligned}\cos(\widehat{ABC}) &= \dfrac{AB}{BC} \\ &= \dfrac{10}{20} \\ &= \dfrac12\end{aligned}
On sait (ou la calculatrice donne) que \widehat{ABC} = 60^{\circ}.

Situation 3. Une urne contient 12 jetons numérotés de 1 à 12, indiscernables au toucher. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 en piochant un jeton au hasard ?

Il y a 5 jetons portant un nombre inférieur ou égal à 5, sur 12 au total : la probabilité est \dfrac{5}{12}.

Situation 4.a Une fonction f est donnée par un tableau de valeurs (f(0)=1, {f(1)=-1}, f(2)=-3) et sa représentation graphique. Quelle est l'image de 2 par f ?

D'après le tableau de valeurs, {f(2) = -3}.

Situation 4.b Quelle est l'image de -1 par f (lecture graphique) ?

Par lecture graphique, f(-1) = 3.

Situation 4.c La fonction f est-elle linéaire ?

Une fonction linéaire vérifie f(0)=0 ; or ici \begin{aligned}f(0) &= 1 \\ &\neq 0\end{aligned} f n'est pas une fonction linéaire, c'est une fonction affine.

Situation 5.a On donne l'égalité {(2x-3)(4x+5) = 8x^2-2x-15}. Montrer qu'elle est vraie pour x=2.

\begin{aligned}(2\times2-3)(4\times2+5) &= 1\times13 \\ &= 13\end{aligned} et \begin{aligned}8\times2^2-2\times2-15 &= 32-4-15 \\ &= 13\end{aligned} Les deux membres sont égaux, l'égalité est vraie pour x=2.

Situation 5.b Cette égalité est-elle vraie quelle que soit la valeur de x ?

En développant \begin{aligned}(2x-3)(4x+5) &= 8x^2+10x-12x-15 \\ &= 8x^2-2x-15\end{aligned} On retrouve exactement le second membre. L'égalité est vraie pour tout réel x : c'est une identité.

Partie1 ; 1. Un groupe d'élèves a communiqué les durées suivantes (en minutes) passées sur les réseaux sociaux : 135 ; 82 ; 104 ; 200 ; 102 ; 17 ; 143 ; 118 ; 62. Combien y a-t-il d'élèves dans ce groupe ?

Il y a 9 durées dans la liste, donc 9 élèves dans le groupe.

Partie1 ; 2. Calculer le temps moyen passé sur les réseaux sociaux par les élèves de ce groupe.

\dfrac{135+82+104+200+102+17+143+118+62}{9} = 107 min.

Partie1 ; 3. Calculer l'étendue de cette série.

Le temps le plus petit est 17 min, le plus élevé 200 min : l'étendue vaut {200-17 =} 183 min.

Partie1 ; 4. L'affirmation « Plus de 50 % des élèves de ce groupe passent au moins 1 h 30 min par jour sur les réseaux sociaux » est-elle vraie ?

1 h 30 min correspond à 90 min ; sur les 9 élèves, 6 dépassent 90 min (135, 200, 102, 143, 118, 104), soit une proportion de \begin{aligned}\dfrac69 &= \dfrac23 \\ &\approx 0{,}67\end{aligned}
0{,}67 > 0{,}5 : l'affirmation est vraie (environ 67 % des élèves passent au moins 1 h 30 min sur les réseaux).

Partie2 ; 5. Le collège compte 640 élèves, dont 400 ont répondu à l'enquête. Vérifier que le nombre de répondants représente plus de 60 % de l'effectif total.

\begin{aligned}\dfrac{400}{640} &= \dfrac{40}{64} \\ &= \dfrac58 \\ &= 0{,}625\end{aligned} soit 62,5 % : c'est bien plus de 60 %.

Partie2 ; 6. Les résultats sont classés par niveau (6e, 5e, 4e, 3e) dans un tableur, colonne F donnant le total de chaque ligne. Quelle formule saisir en F2 puis étirer jusqu'à F5 ?

On saisit la formule =Somme(B2:E2) en F2, puis on l'étire vers le bas jusqu'à F5.

Partie2 ; 7. D'après le tableau (30 en 6e, 12 en 5e, 1 en 4e, 7 en 3e passent moins d'une heure), combien d'élèves ayant répondu passent moins d'1 h par jour sur les réseaux sociaux ?

30+12+1+7 = 50 élèves passent moins d'une heure par jour sur les réseaux sociaux.

Partie2 ; 8. Calculer le pourcentage d'élèves ayant répondu qui passent moins de 1 h 30 min par jour sur les réseaux sociaux (101 élèves supplémentaires entre 1 h et 1 h 29).

50+101 = 151 élèves sur 400 : {\dfrac{151}{400} = 0{,}3775}, soit environ 37,8 %.

1.Une élève programme un bloc « triangle » en Scratch avec une boucle « répéter … fois » (ligne 3) et une instruction « tourner de … degrés » (ligne 5). Compléter ces deux lignes pour dessiner un triangle équilatéral.

Ligne 3 : « répéter 3 fois » ; ligne 5 : « tourner de 120 degrés » (l'angle extérieur d'un triangle équilatéral).

2.Deux programmes intègrent le bloc « triangle » : le programme A tourne de 90^{\circ} entre chaque répétition sans avancer, le programme B avance d'un côté puis tourne. Associer chaque programme au dessin qu'il réalise (un dessin en rosace centrée, un dessin en frise).

Dans le programme A, avant de tourner de 90^{\circ}, le stylo revient toujours en position initiale : chaque triangle est donc tourné de 90^{\circ} autour du même centre, ce qui produit une rosace de triangles autour d'un point (dessin 2 dans l'énoncé).
Dans le programme B, avant de tourner, le stylo avance de la longueur d'un côté : chaque triangle est translaté par rapport au précédent, ce qui produit une frise de triangles alignés (dessin 3 dans l'énoncé).

1.Sur une figure : (BD) et (AC) perpendiculaires, (AD) et (AB) perpendiculaires, (AB) et (BC) perpendiculaires, AE = 9,6 cm, CE = 5,4 cm, BC = 9 cm. Justifier que (AD) et (BC) sont parallèles.

(AD) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (AB) : elles sont donc parallèles.

2.Calculer la longueur AD.

Les points E, A, C sont alignés et les points E, D, B sont alignés dans le même ordre.
Les droites (AD) et (CB) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{AD}{CB} &= \dfrac{EA}{CE} \\ &= \dfrac{ED}{EB}\end{aligned}
d'où \dfrac{AD}{CB} = \dfrac{EA}{CE}, soit \dfrac{AD}{9} = \dfrac{9{,}6}{5{,}4}
donc AD = 9\times\dfrac{9{,}6}{5{,}4} = 16 cm.

3.Montrer que la longueur BE est de 7,2 cm.

Le triangle BEC est rectangle en E : d'après Pythagore, BC^2 = BE^2+EC^2, soit 9^2 = BE^2+5{,}4^2.
81 = BE^2+29{,}16, donc BE^2 = 51{,}84, d'où BE = \sqrt{51{,}84} = 7,2 cm.

4.Est-il vrai que l'aire du triangle ABE représente le tiers de l'aire du triangle ABD ?

Le triangle BEC est rectangle en E : aire(ABC) = \dfrac{7{,}2\times9{,}6}{2} = 34{,}56 cm^{2} ; le triangle ABC est rectangle en B avec CA =5{,}4+9{,}6=15, donc \begin{aligned}AB^2 &= 15^2-9^2 \\ &= 144\end{aligned} soit AB=12 cm.
Aire(ABE) {= \dfrac{BE\times AE}{2} = \dfrac{7{,}2\times9{,}6}{2} = 34{,}56} cm^{2} et aire(ABD) {= \dfrac{AB\times AD}{2} = \dfrac{12\times16}{2} = 96} cm^{2}.
\begin{aligned}\dfrac{34{,}56}{96} &= 0{,}36 \\ &\neq \dfrac13 \\ &\approx 0{,}333\end{aligned} Il est faux de dire que l'aire de ABE représente le tiers de l'aire de ABD.

Partie1 ; 1. Un moule à glaçons produit 20 glaçons (4\times5). On possède 12 moules de ce type. Combien peut-on fabriquer de glaçons en même temps ?

12\times20 = 240 glaçons.

Partie1 ; 2. Chaque glaçon est un pavé droit de 5 cm \times 2,5 cm \times 1,5 cm. Montrer que le volume d'un glaçon est d'environ 19 mL.

Volume = 5\times2{,}5\times1{,}5 = 18{,}75 cm^{3}, soit 18,75 mL (car 1 cm^{3} = 1 mL), donc environ 19 mL.

Partie1 ; 3. 5 litres d'eau sont-ils suffisants pour remplir ces 12 moules à glaçons ?

240\times18{,}75 = 4\,500 mL = 4{,}5 L : 5 litres d'eau suffisent pour préparer les 240 glaçons.

Partie2 ; 4. On sert le cocktail dans des verres cylindriques de rayon 2,5 cm et de hauteur 15 cm. Montrer que le volume total d'un verre est d'environ 295 mL.

Volume = \pi\times2{,}5^2\times15 \approx 294{,}52 cm^{3}, soit environ 295 mL.

Partie2 ; 5.a On a préparé 30 litres de cocktail. Combien de verres de 25 cL peut-on remplir ?

30 L = 3\,000 cL ; \dfrac{3\,000}{25} = 120 verres.

Partie2 ; 5.b En versant 25 cL dans le verre, à quelle hauteur h le liquide arrive-t-il (arrondie au dixième) ?

25 cL = 250 mL. On cherche h tel que \pi\times2{,}5^2\times h = 250, soit h = \dfrac{250}{6{,}25\pi}.
h \approx 12,7 cm.