Brevet : Asie 2025

Question 1. Une urne contient 4 boules bleues, 6 violettes, 7 rouges, 3 jaunes, indiscernables au toucher. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule violette en tirant au hasard ?

Il y a 4+6+7+3=20 boules en tout, situation d'équiprobabilité : {P = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}}.
Il y a 6 boules violettes sur 20 : \begin{aligned}P &= \dfrac{6}{20} \\ &= \dfrac{3}{10}\end{aligned} Réponse : \dfrac{3}{10}.

Question 2. Calculer 70 % d'une quantité revient à multiplier cette quantité par :

Prendre 70 % d'une quantité revient à multiplier par le coefficient \dfrac{70}{100} = 0{,}70. Réponse : 0,70.
Les autres propositions correspondent à des erreurs classiques : 0{,}30 = 1-0{,}7 (coefficient d'une baisse de 70 %), 1{,}70 = 1+0{,}7 (hausse de 70 %), {1{,}30 = 1+0{,}3} (hausse de 30 %).

Question 3. On considère la série 7 ; 18 ; 12 ; 13 ; 15. Quelle affirmation est vraie parmi : étendue = 8, médiane = 12, moyenne = 53, moyenne = 13 ?

La moyenne vaut \begin{aligned}\dfrac{7+18+12+13+15}{5} &= \dfrac{65}{5} \\ &= 13\end{aligned} Réponse : la moyenne de cette série est 13.
Les autres propositions sont fausses : l'étendue vaut 18-7=11 (et non 8, en oubliant de ranger la série avant de soustraire) ; la médiane, une fois la série rangée (7 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18), vaut 13 (et non 12) ; la « moyenne » 53 vient d'un calcul sans les parenthèses ({7+18+12+13+15\div5=53}, faux).

Question 4. Une fonction affine f a pour représentation une droite passant par (0 ; 4) et (1 ; 2). Quelle est l'expression de f parmi : 2x+4, 4x-2, -2x+4, -4x+2 ?

La droite coupe l'axe des ordonnées en (0~;~4), donc l'ordonnée à l'origine est b=4.
En passant de (0~;~4) à (1~;~2), l'ordonnée diminue de 2 quand l'abscisse augmente de 1 : le coefficient directeur est a=-2.
Réponse : f(x) = -2x+4.

1.Sur une figure : G, C, E alignés ; F, C, D alignés ; (GF) // (DE) ; CDE rectangle en D ; CD = 21,6 cm, CE = 29,1 cm, FC = 17,2 cm. Montrer que DE = 19,5 cm.

Dans le triangle CDE rectangle en D, Pythagore donne CE^2 = CD^2+DE^2, soit 29{,}1^2 = 21{,}6^2+DE^2.
\begin{aligned}DE^2 &= 846{,}81-466{,}56 \\ &= 380{,}25\end{aligned} donc DE = \sqrt{380{,}25} = 19,5 cm.

2.Calculer l'aire du triangle CDE.

CDE est rectangle en D, donc [CD] et [DE] sont ses côtés de l'angle droit : aire = \dfrac{CD\times DE}{2} = \dfrac{21{,}6\times19{,}5}{2} = 210,6 cm^{2}.

3.Calculer la longueur GF arrondie au millimètre près.

Les points G, C, E sont alignés dans cet ordre et les points F, C, D sont alignés dans cet ordre.
Les droites (GF) et (DE) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{GF}{DE} &= \dfrac{FC}{CD} \\ &= \dfrac{CG}{CE}\end{aligned}
d'où \dfrac{GF}{DE} = \dfrac{FC}{CD}, soit \dfrac{GF}{19{,}5} = \dfrac{17{,}2}{21{,}6}
donc GF = 19{,}5\times\dfrac{17{,}2}{21{,}6} \approx 15,5 cm.

4.aUne droite (d) perpendiculaire à (FC) coupe [GC] en A et [FC] en B ; l'aire du triangle ABC mesure 23,4 cm^{2} (logiciel). Montrer que cette aire vaut le neuvième de l'aire de CDE.

\begin{aligned}\dfrac19\times\mathcal{A}_{CDE} &= \dfrac19\times210{,}6 \\ &= 23{,}4\end{aligned} cm^{2} : on retrouve exactement l'aire de ABC donnée par le logiciel. L'aire de ABC est bien le neuvième de celle de CDE.

4.bOn admet que les triangles ABC et EDC sont semblables. Déterminer la longueur AB.

(AB) et (DE) sont toutes deux perpendiculaires à (FC), donc parallèles : ABC et CDE forment une configuration de Thalès, donc sont semblables, de rapport k tel que k^2 = \dfrac19 (rapport des aires).
k étant positif (rapport de longueurs), \begin{aligned}k &= \sqrt{\dfrac19} \\ &= \dfrac13\end{aligned}
AB correspond à DE dans le rapport k : AB = \dfrac13\times DE = \dfrac13\times19{,}5 = 6,5 cm.

PartieA ; 1. ABCD est un rectangle avec AD = x et AB = 16-2x ; EFGH est un carré de côté 2x. Pour x = 1,5 cm, calculer le périmètre du carré EFGH.

Périmètre = 4\times2x = 4\times2\times1{,}5 = 12 cm.

PartieA ; 2. Calculer AB pour x = 1,5 cm.

AB = 16-2x = 16-2\times1{,}5 = 13 cm.

PartieA ; 3. Construire en vraie grandeur le rectangle ABCD.

On construit un rectangle de largeur AD = 1,5 cm et de longueur AB = 13 cm, à l'aide de l'équerre et de la règle graduée.

PartieA ; 4. Les périmètres de ABCD et EFGH sont-ils égaux pour x = 1,5 cm ?

Périmètre de ABCD = 2\times(AB+AD) = 2\times(13+1{,}5) = 2\times14{,}5 = 29 cm.
Périmètre de EFGH = 12 cm (question A.1). 29\neq12 : les périmètres ne sont pas égaux.

PartieB ; 1.a Un tableur donne le périmètre du carré (colonne B à G) en fonction de x (ligne 1). Quelle formule saisir en B2 avant de l'étirer jusqu'à G2 ?

Le périmètre du carré vaut 4\times2x = 8x, avec x dans la cellule B1 : la formule est =8*B1 (ou =4*2*B1).

PartieB ; 1.b Le tableau (x de 1 à 6, périmètres du carré 8-16-24-32-40-48, périmètres du rectangle 30-28-26-24-22-20) permet-il de trouver une valeur de x où les deux périmètres sont égaux ?

Non : aucune ligne du tableau ne donne deux périmètres identiques (les valeurs se croisent entre x=3 et x=4 sans jamais coïncider exactement dans le tableau).

PartieB ; 2.a Montrer que le périmètre du rectangle peut s'écrire -2x + 32.

Périmètre = 2\times(AB+AD) = 2\times(x+16-2x) = 2\times(16-x) = 32-2x = -2x+32.

PartieB ; 2.b Déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle les deux périmètres sont égaux.

On résout -2x+32 = 8x (périmètre du carré =4\times2x=8x) : 32 = 10x, donc x = 3{,}2.
La solution est x = 3,2 cm.

PartieA ; 1. Un script Scratch « triangle équilatéral » répète « avancer de … pas » et « tourner de … degrés ». Compléter les lignes pour tracer un triangle équilatéral de côté 50 pas.

On répète 3 fois : avancer de 50 pas, tourner de 120^{\circ} (l'angle extérieur du triangle équilatéral).

PartieA ; 2. Deux programmes utilisent ce bloc « triangle équilatéral » répété 6 fois, en tournant soit de 60^{\circ}, soit de 120^{\circ}, entre chaque triangle. Lequel dessine l'hexagone complet (6 triangles autour d'un centre commun) ?

Après le bloc « triangle équilatéral » (3 rotations de 120^{\circ}, soit 360^{\circ} au total), le lutin revient à son point de départ, orienté comme au début.
Pour que le triangle suivant soit la rotation du précédent d'un sixième de tour (angle de {\dfrac{360}{6}=60^{\circ}}), il faut tourner de 60^{\circ} entre chaque triangle : c'est le programme A.

PartieB. Un autre script trace un hexagone régulier de 50 pas de côté en répétant A fois un motif « avancer/tourner ». Recopier le bloc en complétant A et les deux instructions manquantes.

On répète 6 fois : avancer de 50 pas, puis tourner à gauche de 60^{\circ} (angle extérieur de l'hexagone régulier, {\dfrac{360}{6}=60^{\circ}}).

PartieA ; 1. Un magasin a 650 poissons (350 de type A, 300 de type B). Parmi trois propositions, laquelle est la décomposition en facteurs premiers de 300 ?

300 = 2^2\times3\times5^2 : c'est la seule proposition composée uniquement de facteurs premiers (les autres contiennent 15 ou 22, qui ne sont pas premiers).

PartieA ; 2. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 350.

\begin{aligned}350 &= 35\times10 \\ &= 5\times7\times2\times5 \\ &= 2\times5^2\times7\end{aligned}

PartieA ; 3. On veut répartir les poissons en lots identiques (même nombre de type A et de type B par lot), tous répartis. Quel est le nombre maximal de lots ?

Le nombre de lots doit diviser à la fois 300 et 350 : {\text{PGCD}(300~;~350) = 2\times5^2 = 50}. Le magasin peut constituer au maximum 50 lots.

PartieA ; 4. Dans ce cas, combien de poissons de chaque type y a-t-il par lot ?

\dfrac{350}{50}=7 poissons de type A et \dfrac{300}{50}=6 poissons de type B par lot.

PartieB ; 1. Il faut au moins 15 L d'eau par poisson combattant, dans un aquarium rempli aux \dfrac{4}{5} de sa hauteur. Choisir entre un aquarium cylindrique (diamètre 30 cm, hauteur 25 cm) et un aquarium en pavé droit (28\times28\times30 cm).

Aquarium 1 (cylindre) : hauteur d'eau {=\dfrac45\times25=20} cm, rayon 15 cm ; volume =\pi\times15^2\times20 \approx 14\,137 cm^{3} \approx 14,2 L : insuffisant.
Aquarium 2 (pavé droit) : hauteur d'eau =\dfrac45\times30=24 cm ; volume {=28\times28\times24 = 18\,816} cm^{3} = 18{,}816 L >15 L : suffisant.
Il faut choisir l'aquarium 2.

PartieB ; 2. Un poisson combattant coûte 15 €, un aquarium 40 €. Le vendeur propose une remise de 15 % sur le prix total. Combien la famille va-t-elle payer ?

Prix total avant remise : 15+40=55 €. Après remise de 15 % : {55\times\left(1-\dfrac{15}{100}\right) = 55\times0{,}85 =} 46,75 €.