Brevet : Métropole 2025

1.Une urne A contient 6 boules numérotées 7 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30, une urne B en contient 9 numérotées 2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 17 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25. On tire une boule dans l'urne A : quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Il y a 4 nombres pairs (10, 12, 24, 30) sur 6 : la probabilité est \dfrac46 = \dfrac23.

2.On tire une boule dans l'urne B : justifier que la probabilité d'obtenir un nombre premier est \dfrac{1}{3}.

Les nombres premiers de l'urne B sont 2, 5, 17 : 3 boules sur 9, soit une probabilité de \dfrac39 = \dfrac13.

3.Quelle urne contient le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6 ?

Dans l'urne A : 12=6\times2, 24=6\times4, 30=6\times5 sont multiples de 6, soit 3 boules.
Dans l'urne B : 6=6\times1, 18=6\times3, soit 2 boules. C'est l'urne A qui en contient le plus.

4.On tire une boule au hasard dans l'une des urnes. Démontrer que la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l'urne choisie.

Dans l'urne A, 2 nombres sur 6 sont {\geqslant20} (24, 30) : probabilité \dfrac26 = \dfrac13.
Dans l'urne B, 3 nombres sur 9 sont {\geqslant20} (21, 22, 25) : probabilité \dfrac39 = \dfrac13. Les deux probabilités sont égales.

5.On ajoute une boule numérotée 50 dans chaque urne (repartant de la composition initiale). La probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est-elle toujours la même quelle que soit l'urne ?

Dans l'urne A (7 boules), les nombres {\geqslant20} sont 24, 30, 50 : probabilité \dfrac37 \approx 0{,}43.
Dans l'urne B (10 boules), les nombres {\geqslant20} sont 21, 22, 25, 50 : probabilité \dfrac{4}{10} = 0{,}4.
0{,}43\neq0{,}4 : les probabilités ne sont plus égales.

PartieA ; 1. Un parcours de course à pied ACDEB vérifie : A, C, B alignés ; A, D, E alignés ; ADC rectangle en A ; AC = 480 m, CB = 120 m, AE = 250 m, DE = 50 m. Justifier que AD = 200 m.

\begin{aligned}AD &= AE-DE\\ &= 250-50\\ &= \textbf{200 m}\end{aligned}

PartieA ; 2. Calculer la longueur CD.

Dans le triangle ADC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore :
\begin{aligned}DC^2 &= DA^2+AC^2\\ &= 200^2+480^2\\ &= 40\,000+230\,400\\ &= 270\,400\end{aligned}
donc DC = \sqrt{270\,400} = 520 m.

PartieA ; 3.a Le parcours est validé si (CD) et (BE) sont parallèles et si l'angle ACD dépasse 20^{\circ}. Les droites (CD) et (BE) sont-elles parallèles ?

Les points A, C, B sont alignés et les points A, D, E sont alignés dans le même ordre.
D'une part, \begin{aligned}\dfrac{AC}{AB} &= \dfrac{480}{600} \\ &= \dfrac45\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}\dfrac{AD}{AE} &= \dfrac{200}{250} \\ &= \dfrac45\end{aligned}
donc \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AD}{AE} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (CD) et (BE) sont parallèles.

PartieA ; 3.b La mesure de l'angle ACD est-elle supérieure à 20^{\circ} ?

Dans le triangle ACD rectangle en A, d'après SOH-CAH-TOA :
\begin{aligned}\tan(\widehat{ACD}) &= \dfrac{AD}{AC}\\ &= \dfrac{200}{480}\\ &= \dfrac{5}{12}\end{aligned}
donc \widehat{ACD} \approx 22,6^{\circ}, qui est bien supérieur à 20^{\circ}.

PartieA ; 3.c Le parcours est-il validé ?

Les droites (CD) et (BE) sont parallèles et l'angle ACD mesure environ 22,6^{\circ} (> 20^{\circ}) : les deux conditions sont réunies, le parcours est validé.

PartieB ; 4. La natation se fait sur 200 m ; les temps de 9 élèves sont 5 min 30 s, 5 min 45 s, 5 min 49 s, 5 min 50 s, 6 min, 6 min 11 s, 6 min 12 s, 6 min 20 s, 6 min 40 s. Quel est le temps médian ?

Les 9 temps sont déjà rangés dans l'ordre croissant ; le 5e temps (car \dfrac{9-1}{2}=4) est 6 minutes, qui partage la série en deux groupes de 4 temps.

PartieB ; 5. Un poisson rouge nage à 5 km/h. Nage-t-il plus vite que l'élève le plus rapide ?

L'élève le plus rapide parcourt 200 m en 5 min 30 s = 330 s.
Sa vitesse est \dfrac{200}{330} \approx 0{,}606 m/s.
En une heure : 0{,}606\times3\,600 \approx 2\,182 m/h, soit environ 2,2 km/h.
Or 5 > 2{,}2 : le poisson rouge nage plus de deux fois plus vite que l'élève le plus rapide.

Question 1. Le prix de 3 melons est 8,40 €. Combien coûtent 5 melons ?

Un melon coûte \dfrac{8{,}40}{3} = 2{,}80 €, donc 5 melons coûtent 5\times2{,}80 = 14 €.

Question 2. Quelle transformation permet de passer de la figure 1 à la figure 2 (deux figures identiques, orientées différemment, sur une grille) ?

Les deux figures ont des orientations « miroir » l'une de l'autre : c'est une symétrie axiale (par rapport à une droite entre les deux figures).

Question 3. Un article coûte 350 €. Son prix augmente de 20 %. Quel est son nouveau prix ?

Augmenter de 20 %, c'est multiplier par 1+\dfrac{20}{100}=1{,}20.
Le nouveau prix est 350\times1{,}2 = 420 €.

Question 4. ABC est un triangle rectangle en B avec AB = 6 cm, BC = 4,5 cm, AC = 7,5 cm. Quelle est l'aire du triangle ABC ?

Avec [AB] et [BC] comme côtés de l'angle droit :
\begin{aligned}\text{aire} &= \dfrac{6\times4{,}5}{2}\\ &= \textbf{13,5 cm}^2\end{aligned}

Question 5. Donner la forme développée et réduite de (2x+3)(x-4).

\begin{aligned}(2x+3)(x-4) &= 2x^2-8x+3x-12\\ &= \boldsymbol{2x^2-5x-12}\end{aligned}

Question 6. Une pyramide a une base rectangulaire de 7 cm \times 4 cm et une hauteur de 12 cm. Quel est son volume ?

La base est un rectangle : \begin{aligned}\mathcal{B} &= 7\times4 \\ &= 28\end{aligned} cm^{2}.
\begin{aligned}V &= \dfrac{\mathcal{B}\times h}{3}\\ &= \dfrac{28\times12}{3}\\ &= \textbf{112 cm}^3\end{aligned}

PartieA ; 1. Le programme de Zoé : choisir un nombre, soustraire 4, multiplier par 2, ajouter 8. Vérifier que pour 10, on obtient 20.

PartieA ; 2. Quel résultat obtient-on pour le nombre de départ -7 ?

PartieA ; 3. Zoé affirme que son programme est « magique » car le résultat est toujours le double du nombre de départ. A-t-elle raison ?

PartieB ; 4. Le programme de Fred (en Scratch) multiplie le nombre choisi par 4, ajoute 10, puis multiplie par 5. Démontrer que pour un nombre de départ x, le résultat est 20x + 50.

PartieB ; 5. Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir 75 avec le programme de Fred ?

\begin{aligned}20x+50 &= 75\\ 20x &= 25\\ x &= \dfrac{25}{20}\\ x &= \textbf{1,25}\end{aligned}

PartieB ; 6. Fred veut modifier son programme pour que le résultat soit toujours 20 fois le nombre de départ. Compléter la sixième ligne du script.

Il faut ajouter le bloc « mettre résultat à résultat - 50 », ce qui annule le « +50 » de l'étape précédente et laisse exactement 20x.

PartieA ; 1. Un garage propose : Achat (22 400 € + 75 €/mois d'assurance) ou Location (425 €/mois, assurance comprise). Montrer qu'avec l'option Achat, la dépense après 1 an est de 23 300 €.

\begin{aligned}22\,400 + 12\times75 &= 22\,400+900\\ &= \textbf{23 300 €}\end{aligned}

PartieA ; 2. Après 36 mois, calculer l'économie réalisée en choisissant la Location.

Option Achat sur 36 mois :
\begin{aligned}22\,400+36\times75 &= 22\,400+2\,700\\ &= 25\,100\ \text{€}\end{aligned}
Option Location sur 36 mois : {36\times425 = 15\,300} €.
Économie réalisée : 25\,100-15\,300 = 9 800 €.

PartieA ; 3. Un tableur calcule la dépense Achat pour 12, 24, 36, 48, 60 mois (ligne 2) ; quelle formule saisir en B3 (puis étirer jusqu'à F3) pour la dépense Location, sachant que B1 contient le nombre de mois ?

La formule à saisir en B3 est =425*B1.

PartieB ; 4. On modélise la Location par g(x)=425x. Déterminer l'expression de f(x) pour l'option Achat, x étant la durée en mois.

Au bout de x mois, la dépense Achat est le prix d'achat plus l'assurance : {f(x) = 22\,400+75x}.

PartieB ; 5. Sur un graphique donnant \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g, déterminer par lecture graphique à partir de combien de mois l'option Achat est la plus avantageuse.

Les deux droites se coupent au point d'abscisse 64 (mois) : à partir de 65 mois, l'option Achat devient financièrement plus avantageuse que la Location.