Brevet : Nouvelle-Calédonie 2025

1.Parmi 719, 935, 687, lequel est premier ?

935 est multiple de 5 (finit par 5), donc pas premier. Pour 687 : 6+8+7=21, et 2+1=3 : 687 est multiple de 3, donc pas premier. 719 est premier.

2.Une figure en forme de L (rectangle 7\times5 avec un coin de 2\times2 découpé) a-t-elle pour aire 24, 140 ou 25 cm^{2} ?

En découpant la figure en un rectangle 7\times3 et un carré de côté 2 : {7\times3+2^2 = 21+4 =} 25 cm^{2}.

3.Parmi f(x) = 3(x+1), g(x) = 5/x + 1, h(x) = x^{2}+1, laquelle est une fonction affine ?

\begin{aligned}f(x) &= 3(x+1) \\ &= 3x+3\end{aligned} est de la forme ax+b : c'est f qui est affine (g n'est pas définie pour x=0 et n'est pas de cette forme, h contient un carré).

4.La distance Tontouta-Narita est d'environ 6 980 km, parcourue en 9 h. Quelle est la vitesse moyenne, arrondie à la centaine de km/h ?

\begin{aligned}v &= \dfrac{6\,980}{9} \\ &\approx 775{,}6\end{aligned} km/h, soit environ 800 km/h à la centaine près.

5.Dans un collège de 730 élèves, 60 % sont des filles. Combien de filles ?

730\times0{,}6 = 438 filles.

1.Un cerf-volant ABDC a pour axe de symétrie (AB) ; le triangle BCD vérifie l'angle EBD = 30^{\circ} et BD = 40 cm (avec E le point d'intersection des diagonales, DEB rectangle en E). Calculer BE, arrondie au millimètre.

La droite (BE) est la médiane, la hauteur et la bissectrice de l'angle en B du triangle isocèle BCD : l'angle \widehat{BCD} vaut donc 2\times30=60^{\circ}, et les deux autres angles valent chacun \dfrac{180-60}{2}=60^{\circ} : le triangle BCD est équilatéral de côté 40 cm.
Dans le triangle rectangle BDE, Pythagore donne \begin{aligned}BE^2 &= BD^2-ED^2 \\ &= 40^2-20^2 \\ &= 1\,600-400 \\ &= 1\,200\end{aligned} donc BE = \sqrt{1\,200} = 20\sqrt3 \approx 34,6 cm.

2.Thomas mesure ST = 7,60 m et SH = 20,50 m (S piquet au sol, T à la verticale sous le cerf-volant H, triangle SHT rectangle en H). Calculer HT, arrondie au mètre.

Dans le triangle SHT rectangle en H, Pythagore donne \begin{aligned}TH^2 &= SH^2-ST^2 \\ &= 20{,}5^2-7{,}6^2 \\ &= 420{,}25-57{,}76 \\ &= 362{,}49\end{aligned} donc TH = \sqrt{362{,}49} \approx 19 m.

3.Il est déconseillé de voler si le vent dépasse 20 km/h. La météo annonce un vent ne dépassant pas 15 nœuds (1 nœud = 0,514 m/s). Thomas peut-il voler sans risque ?

15 nœuds = 15\times0{,}514 = 7{,}71 m/s, soit 7{,}71\times3\,600 = 27\,756 m/h \approx 27,8 km/h.
Comme 27{,}8>20, Thomas ne peut pas faire voler son cerf-volant sans risque.

1.aLe programme A : choisir un nombre, ajouter 4, multiplier par 3. Vérifier que pour 2, on obtient 18.

2 \xrightarrow{+4} 6 \xrightarrow{\times3} 18 : on obtient bien 18.

1.bLe programme B : choisir un nombre, multiplier par 5, soustraire 3, soustraire le nombre de départ. Vérifier que pour 2, on obtient 5.

2 \xrightarrow{\times5} 10 \xrightarrow{-3} 7 \xrightarrow{-2} 5 : on obtient bien 5.

2.aSoit f la fonction associée au programme A. Justifier que f(x) = 3x + 12.

\begin{aligned}x \xrightarrow{+4} x+4 \xrightarrow{\times3} 3(x+4) &= 3x+12 \\ &= f(x)\end{aligned}

2.bCalculer l'antécédent de 27 par f.

\begin{aligned}f(x) = 27 &\iff 3x+12 = 27 \\ &\iff 3x = 15 \\ &\iff x =\end{aligned} 5.

3.aSoit g la fonction associée au programme B. Donner l'expression de g(x).

\begin{aligned}g(x) &= 5x-3-x \\ &= 4x-3\end{aligned}

3.bQuel nombre choisir avec le programme B pour obtenir 2 comme résultat ?

g(x)=2 \iff 4x-3=2 \iff 4x=5 \iff x=\dfrac54 = 1,25.

4.Hugo a testé un même nombre avec les deux programmes et a trouvé le même résultat à chaque fois. Quel nombre a-t-il choisi ?

On résout f(x)=g(x) : \begin{aligned}3x+12 = 4x-3 &\iff 15 = x \end{aligned}
Vérification : \begin{aligned}f(15) &= 45+12 \\ &= 57\end{aligned} et \begin{aligned}g(15) &= 60-3 \\ &= 57\end{aligned} Hugo a choisi le nombre 15.

1.Une boîte contient 15 billes rouges, 10 vertes, 5 bleues, indiscernables au toucher. Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue ?

Il y a 15+10+5=30 billes en tout : la probabilité est \dfrac{5}{30} = \dfrac16.

2.Ensuite, on lance un dé de la couleur de la bille tirée (rouge : 10 faces 0-9 ; vert : 6 faces 1-6 ; bleu : 4 faces 1-4) ; gagner nécessite d'obtenir 1. Amandine a une bille verte, Alexis une bille rouge. Qui a le plus de chances de gagner ?

Amandine (dé vert, 6 faces) a \dfrac16 de chance de faire 1, contre \dfrac{1}{10} pour Alexis (dé rouge, 10 faces). Comme \dfrac16>\dfrac{1}{10}, Amandine a plus de chances de gagner.

3.Donner l'ensemble des issues possibles de ce jeu (couple couleur ; nombre).

Les 20 issues sont : (R;0), (R;1), …, (R;9) : 10 issues ; (V;1), …, (V;6) : 6 issues ; (B;1), …, (B;4) : 4 issues, soit 20 issues au total.

1.Sur une figure, A, E, D alignés et A, B, C alignés, avec AE = 6 cm, AD = 15 cm, BE = 4 cm, et les angles BEA et CDA égaux à 110^{\circ}. Prouver que (BE) et (CD) sont parallèles.

Les angles \widehat{AEB} et \widehat{ADC} sont des angles correspondants de même mesure (110^{\circ}) : les droites (BE) et (CD) sont donc parallèles.

2.Calculer CD.

Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre et les points A, E, D sont alignés dans cet ordre.
Les droites (BE) et (CD) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{AE}{AD} = \dfrac{EB}{DC}.
d'où \dfrac{6}{15} = \dfrac{4}{\text{DC}}, soit \dfrac25 = \dfrac{4}{\text{DC}}
donc \text{DC} = \dfrac{4\times15}{6} = 10 cm.

3.L'aire du triangle ABE, arrondie au dixième, est 11,3 cm^{2}. En déduire l'aire du triangle ACD, arrondie au dixième.

Le rapport de proportionnalité des longueurs entre ADC et ABE est \begin{aligned}\dfrac{15}{6} &= \dfrac52 \\ &= 2{,}5\end{aligned} (inverse du rapport de Thalès \dfrac25).
Les aires sont proportionnelles au carré de ce rapport : {\mathcal{A}(ACD) = 11{,}3\times2{,}5^2 = 11{,}3\times6{,}25 \approx} 70,6 cm^{2}.

4.Construire cette figure en vraie grandeur.

On trace le triangle ADC (AD = 15 cm) avec un angle de 70^{\circ} en D (supplémentaire de 110^{\circ}), puis on place E sur [AD] à 6 cm de A et B sur [AC] tel que (EB) soit parallèle à (DC), avec EB = 4 cm.

1.Trois scripts répètent 3 fois « avancer de 100 pas / tourner (à droite) de 60^{\circ}, 90^{\circ} ou 120^{\circ} ». Associer chaque script à la figure obtenue parmi un carré (Figure A), un triangle équilatéral (Figure B), une étoile à 4 branches (Figure C).

Script 1 (tourner de 60^{\circ}) \rightarrow Figure C ; Script 2 (tourner de 90^{\circ}) \rightarrow Figure A ; Script 3 (tourner de 120^{\circ}) \rightarrow Figure B (un angle de tourne de 120^{\circ} referme un triangle équilatéral au bout de 3 répétitions, un angle de 90^{\circ} referme un carré, un angle de 60^{\circ} construit une étoile ouverte).

2.Un script trace un escalier de marches croissantes (20, puis 40, puis 60, puis 80 pas, en tournant de 90^{\circ} à chaque fois) formant la Figure D. Compléter un script similaire (Annexe 2) pour tracer la Figure E, un escalier à marches croissant de 20 en 20 sur 13 répétitions.

On initialise longueur = 20, puis on répète 13 fois : avancer de longueur pas, tourner à droite de 90^{\circ}, ajouter 20 à longueur.
Cette boucle fait croître la longueur des marches de 20 pas à chaque répétition, dessinant l'escalier de la Figure E.