Brevet : Pays du groupe 1 2025

Question 1. Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 120 ?

\begin{aligned}120 &= 12\times10 \\ &= 4\times3\times2\times5 \\ &= 2\times2\times3\times2\times5 \\ &= 2^3\times3\times5\end{aligned}

Question 2. Dans une feuille de calcul, A1 = 2, A2 = -20 (formule « = -4\timesA1-12 » saisie en A2 puis étirée en B2), et B1 = 5. Quelle valeur obtient-on en B2 ?

La formule étirée en B2 devient « {=-4\times B1-12} » : {(-4)\times5-12 = -20-12 =} -32.

Question 3. Sur une figure, une homothétie de centre O transforme le carré A en le carré B, dont les côtés sont le double de ceux de A. Quel est le rapport de cette homothétie ?

Les dimensions du carré B sont le double de celles du carré A : le rapport de l'homothétie de centre O est 2.

Question 4. Donner une écriture factorisée de 4x^{2} - 1.

4x^2-1 = (2x)^2-1^2, identité remarquable de la forme {a^2-b^2 = (a-b)(a+b)} : 4x^2-1 = (2x-1)(2x+1).

Question 5. Dans un triangle TER rectangle en R, avec ET = 7,4 cm et l'angle en E de 39^{\circ}, quelle est la mesure de RE arrondie au centième de cm ?

Par définition du cosinus : {\cos(\widehat{RET}) = \dfrac{ER}{ET}}, soit \cos(39^{\circ}) = \dfrac{ER}{7{,}4}, donc {ER = 7{,}4\times\cos(39^{\circ}) \approx} 5,75 cm.

1.Cinq colis A, B, C, D, E ont pour masses respectives 4, 9, 2, 7, 11 kg. Calculer la moyenne des masses.

\overline{m} = \dfrac{4+9+2+7+11}{5} = \dfrac{33}{5} = 6,6 kg.

2.Déterminer la médiane des masses et interpréter ce résultat.

Dans l'ordre croissant : 2 ; 4 ; 7 ; 9 ; 11. La valeur du milieu (3e sur 5) est 7 kg : c'est la médiane, elle partage les masses en deux groupes de même effectif.

3.Le transporteur choisit un colis au hasard. Calculer la probabilité que sa masse soit inférieure à 8 kg.

3 colis sur 5 (A, C, D) ont une masse inférieure à 8 kg : la probabilité est {\dfrac35 = 0{,}6}.

4.aLes colis sont des pavés droits ; le colis E a pour dimensions 0,5 \times 0,4 \times 0,6 m. Vérifier que son volume est de 0,12 m^{3}.

Volume = 0{,}5\times0{,}4\times0{,}6 = 0{,}12 m^{3}.

4.bMontrer que la masse volumique du colis E, arrondie au dixième, est 91,7 kg/m^{3} (masse volumique = masse ÷ volume).

Masse volumique = \dfrac{11}{0{,}12} \approx 91,7 kg/m^{3}.

4.cLe colis C (0,3 \times 0,1 \times 0,5 m, masse 2 kg) : le transporteur affirme « le colis E est plus lourd que C, donc sa masse volumique est plus grande ». A-t-il raison ?

Volume de C = 0{,}3\times0{,}1\times0{,}5 = 0{,}015 m^{3} ; masse volumique de C {= \dfrac{2}{0{,}015} \approx 133{,}3} kg/m^{3}.
Or 133{,}3 > 91{,}7 : la masse volumique de C est plus grande que celle de E, bien que E soit plus lourd. Le transporteur a donc tort.

1.Un programme de calcul : choisir un nombre, le multiplier par -2, ajouter 4, multiplier le résultat par 4. Montrer que pour le nombre 1, le résultat est 8.

1 \xrightarrow{\times(-2)} -2 \xrightarrow{+4} 2 \xrightarrow{\times4} 8 : on obtient bien 8.

2.Quel est le résultat pour le nombre de départ -2 ?

-2 \xrightarrow{\times(-2)} 4 \xrightarrow{+4} 8 \xrightarrow{\times4} 32 : le résultat est 32.

3.En notant x le nombre de départ, montrer que le résultat peut s'écrire -8x + 16.

x \xrightarrow{\times(-2)} -2x \xrightarrow{+4} -2x+4 \xrightarrow{\times4} 4(-2x+4) = -8x+16.

4.aRésoudre l'équation -8x + 16 = 4.

-8x+16=4 \iff 16-4=8x \iff 12=8x \iff x=\dfrac{12}{8} = \dfrac32 = 1,5.

4.bEn déduire le nombre de départ à choisir pour obtenir 4 comme résultat.

Le nombre de départ à choisir est 1,5.

5.Parmi trois représentations graphiques, laquelle représente f(x) = -8x+16 ? Expliquer.

L'ordonnée à l'origine de f vaut 16 : une représentation avec une ordonnée à l'origine différente (par exemple 8) est à exclure.
Le coefficient directeur est -8 : en partant du point (0~;~16), il faut se déplacer de 1 vers la droite et de 8 vers le bas (ou de 2 à droite et 16 vers le bas) pour retomber sur la droite.
C'est la troisième représentation graphique qui correspond à ces deux critères.

PartieA ; 1. Un champ ABC est rectangle en B, avec C, D, B alignés et C, E, A alignés ; AB = 600 m, BC = 450 m, CD = 270 m. Montrer que AC mesure 750 m.

Dans le triangle ABC rectangle en B, Pythagore donne \begin{aligned}AC^2 &= AB^2+BC^2 \\ &= 600^2+450^2 \\ &= 360\,000+202\,500 \\ &= 562\,500 \\ &= 750^2\end{aligned} donc AC = 750 m.

PartieA ; 2.a Montrer que les droites (ED) et (AB) sont parallèles.

(ED) et (AB) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (BC) : elles sont donc parallèles.

PartieA ; 2.b Montrer que le segment [DE] mesure 360 mètres.

Les points A, E, C sont alignés et les points B, D, C sont alignés dans le même ordre.
Les droites (ED) et (AB) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{CD}{CB} &= \dfrac{CE}{CA} \\ &= \dfrac{ED}{AB}\end{aligned}
d'où \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{ED}{AB}, soit \dfrac{270}{450} = \dfrac{ED}{600}
donc ED = \dfrac{270\times600}{450} = \dfrac{162\,000}{450} = 360 m.

PartieA ; 3. Montrer que l'aire du triangle CDE est 48 600 m^{2}.

Aire = \dfrac{DE\times DC}{2} = \dfrac{360\times270}{2} = 48 600 m^{2}.

PartieB ; 1. Un vendeur propose un sac de graines blé/seigle/pois selon le ratio 16:12:8, alors que la répartition attendue (pour 10 000 m^{2}) est 80 kg / 60 kg / 50 kg. Montrer que ce sac ne respecte pas cette indication.

\dfrac{80}{16}=5, \dfrac{60}{12}=5, mais \dfrac{50}{8}=6{,}25 : les trois rapports ne sont pas égaux, donc le ratio du sac ne respecte pas la répartition indiquée.

PartieB ; 2. L'agriculteur sème le mélange sur le triangle CDE (48 600 m^{2}) et calcule qu'il lui faut 388,80 kg de blé. Justifier ce calcul.

Il faut 80 kg de blé pour 10 000 m^{2}, soit \dfrac{80}{10\,000} kg par m^{2} : pour 48 600 m^{2}, \dfrac{80}{10\,000}\times48\,600 = 80\times4{,}86 = 388,8 kg, ce qui confirme le calcul de l'agriculteur.

PartieB ; 3. Avec un budget de 1 500 €, l'agriculteur doit acheter 388,8 kg de blé (1,40 €/kg), 291,6 kg de seigle (1,30 €/kg) et 243 kg de pois (2,10 €/kg). Le budget est-il suffisant ?

Coût total = 388{,}8\times1{,}4+291{,}6\times1{,}3+243\times2{,}1 = 544{,}32+379{,}08+510{,}3 = 1\,433{,}70 €. Comme 1\,433{,}70 < 1\,500, le budget est suffisant.

1.Un digicode utilise une lettre parmi A, B, C suivie d'un chiffre entre 0 et 9. Proposer deux codes différents.

Par exemple B3 et C9 sont deux codes possibles parmi les 30 combinaisons.

2.Quelle est la probabilité que la lettre du code soit C ?

Il y a 3\times10=30 codes possibles, dont 10 commencent par C : la probabilité est \dfrac{10}{30} = \dfrac13.

3.Montrer que la probabilité que le chiffre du code soit 7 est \dfrac{1}{10}.

Il y a 3 codes se terminant par 7 (A7, B7, C7) sur 30 : la probabilité est \dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}.

4.La grand-mère de Léna aime les nombres premiers. Quelle est la probabilité que le chiffre du code soit premier (2, 3, 5 ou 7) ?

Il y a 4 chiffres premiers possibles (2, 3, 5, 7), donc 3\times4=12 codes contenant un chiffre premier sur 30 : la probabilité est \begin{aligned}\dfrac{12}{30} &= \dfrac25 \\ &= 0{,}4\end{aligned}

5.aLéna teste tous les codes possibles à raison de 5 secondes chacun. Réussira-t-elle à ouvrir la porte en moins de 3 minutes ?

Avec 30 codes possibles, il faut au maximum 30\times5=150 s, soit 2 min 30 s : c'est bien moins de 3 minutes.

5.bCe format de code garantit-il la sécurité de la maison ? Comment l'améliorer ?

Non : n'importe qui peut trouver le code en 2 min 30 s maximum, ce qui est insuffisant pour garantir la sécurité.
En utilisant les 26 lettres de l'alphabet (au lieu de 3) et 3 chiffres (au lieu d'1), il faudrait par exemple 26\times10^3\times5 s, un temps bien plus long, ce qui améliorerait la sécurité.

6.aUn programme Scratch demande une lettre puis un chiffre, et affiche « Code correct » seulement si la lettre est B et le chiffre 7. Léna saisit le code B5. Qu'affiche le programme ?

B5 ne correspond pas au code attendu (B7) : le programme affiche « Code faux ».

6.bD'après ce programme, quel est le code qui permet d'entrer ?

Le code attendu par le programme est B7.