Brevet : Polynésie française 2025

1.Un tableur indique la répartition par âge des élèves inscrits à l'escalade : 10 ans (1), 11 ans (3), 12 ans (8), 13 ans (12), 14 ans (4), 15 ans (2). Combien d'élèves de 12 ans sont inscrits ?

D'après le tableau, il y a 8 élèves âgés de 12 ans.

2.Calculer le nombre total d'élèves inscrits.

1+3+8+12+4+2 = 30 élèves.

3.Quelle formule saisir dans une cellule pour obtenir ce total (colonnes B à G contenant les effectifs) ?

=SOMME(B2:G2) (ou =B2+C2+D2+E2+F2+G2).

4.Le professeur affirme que \dfrac{1}{5} des élèves ont 14 ans ou plus. A-t-il raison ?

Les élèves de 14 ans ou plus sont {4+2=6}, sur 30 : \dfrac{6}{30} = \dfrac15. Le professeur a raison.

5.L'année dernière, la moyenne d'âge était de 13 ans. A-t-elle augmenté cette année ?

\begin{aligned}\overline{a} &= \dfrac{10\times1+11\times3+12\times8+13\times12+14\times4+15\times2}{30} \\ &= \dfrac{381}{30} \\ &= 12{,}7\end{aligned}
Comme 12{,}7<13, la moyenne d'âge n'a pas augmenté : elle a légèrement baissé (d'environ 0,3 an).

6.Une hausse de 10 % des inscriptions est prévue l'an prochain. Combien d'élèves seront inscrits ?

30\times\left(1+\dfrac{10}{100}\right) = 30\times1{,}1 = 33 élèves.

1.Un jardin botanique ABCD a ses diagonales [AC] et [BD] se coupant en E, avec BE = 250 m, DE = 750 m. Quelle est la longueur de [DB] ?

BD = BE+ED = 250+750 = 1 000 m.

2.Sachant AB = 500 m, montrer, en raisonnant dans le triangle ABD rectangle en A, que AD \approx 866 m.

Pythagore : AB^2+AD^2 = BD^2, soit 500^2+AD^2 = 1\,000^2, donc \begin{aligned}AD^2 &= 1\,000\,000-250\,000 \\ &= 750\,000\end{aligned} d'où AD = \sqrt{750\,000} \approx 866 m.

3.aCalculer le sinus de l'angle EAB (dans le triangle EAB rectangle en E).

\begin{aligned}\sin(\widehat{EAB}) &= \dfrac{EB}{AB} \\ &= \dfrac{250}{500} \\ &= \dfrac12\end{aligned}

3.bEn déduire la mesure en degrés de l'angle EAB.

\widehat{EAB} = \arcsin\left(\dfrac12\right) = 30^{\circ}.

4.aMontrer que les droites (AB) et (DC) sont parallèles.

D'après le codage de la figure, (AB) et (DC) sont toutes deux perpendiculaires à (AD) : elles sont donc parallèles.

4.bMontrer que la longueur du segment [CD] est égale à 1 500 m.

Les diagonales (AC) et (BD) se coupent en E.
Les points B, E, D sont alignés et les points A, E, C sont alignés.
Les droites (AB) et (DC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{EB}{ED} &= \dfrac{EA}{EC} \\ &= \dfrac{AB}{DC}\end{aligned}
d'où \dfrac{EB}{ED} = \dfrac{AB}{DC}, soit \dfrac{250}{750} = \dfrac{500}{DC}
donc DC = \dfrac{500\times750}{250} = \dfrac{375\,000}{250} = 1 500 m.

5.Un piéton fait le tour du jardin à 1,1 m/s ; BC \approx 1 323 m. Le temps mis est-il inférieur à une heure ?

Périmètre = AB+BC+CD+DA \approx 500+1\,323+1\,500+866 = 4\,189 m.
Temps = \dfrac{4\,189}{1{,}1} \approx 3\,808 s, soit plus que 3\,600 s (1 heure). Le temps mis est donc supérieur à une heure.

1.Que vaut (-3)^{2} ?

(-3)^2 = (-3)\times(-3) = 9.

2.Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 360 ?

\begin{aligned}360 &= 8\times45 \\ &= 2^3\times3^2\times5\end{aligned} : 2^3\times3^2\times5 (les autres propositions contiennent des facteurs non premiers, ou un produit incorrect).

3.Un rectangle d'aire 135 cm^{2} a une largeur de 3 cm. Quelle est sa longueur ?

\mathcal{A} = L\times\ell, donc 135 = L\times3, d'où {L = 135\div3 =} 45 cm.

4.Sur une figure, B, D, E, G sont alignés avec BD = DE = x et EG = 3. Quelle expression donne BG ?

BG = BD+DE+EG = x+x+3 = 2x+3.

5.Un rectangle ADCB est partagé en 9 rectangles identiques (grille 3\times3). Quelle est l'image du rectangle GFHI par la translation qui transforme D en M ?

La translation qui transforme D en M (un déplacement d'une case vers le bas dans la grille) transforme le rectangle GFHI en KBOL (chaque sommet descendant d'une rangée).

1.Un programme de calcul : choisir un nombre, ajouter 4 d'un côté / soustraire 2 de l'autre, multiplier les deux résultats, soustraire le carré du nombre de départ. Montrer que pour 5, le résultat est 2.

5+4=9 et 5-2=3 ; 9\times3=27 ; {27-5^2 = 27-25 =} 2.

2.aParmi 4 expressions proposées, laquelle exprime le résultat du programme en fonction de x ?

(x+4)(x-2)-x^2 (produit des deux résultats intermédiaires, moins le carré du nombre de départ).

2.bMontrer que ce résultat peut s'écrire sous la forme 2x - 8.

\begin{aligned}(x+4)(x-2)-x^2 &= x^2-2x+4x-8-x^2 \\ &= 2x-8\end{aligned}

3.aOn appelle f la fonction définie par f(x) = 2x - 8. Parmi trois représentations graphiques, laquelle correspond à f ? Expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.

La représentation n^{\circ}1 n'est pas une droite, alors que f est affine (de la forme ax+b) : elle ne peut pas convenir.
La représentation n^{\circ}2 a un coefficient directeur négatif (la fonction décroît), alors que celui de f vaut 2>0 : elle ne convient pas non plus.
C'est la représentation n^{\circ}3 qui correspond à f.

3.bDéterminer l'image de 4 par la fonction f.

La représentation n^{\circ}3 passe par le point (4~;~0) : donc f(4) = 0.

4.Quel nombre de départ choisir pour que le résultat du programme soit 100 ?

\begin{aligned}f(x) = 100 &\iff 2x-8 = 100 \\ &\iff 2x = 108 \\ &\iff x =\end{aligned} 54.

PartieA ; 1. Tom lance un dé équilibré à 12 faces (numérotées de 1 à 12). Expliquer pourquoi la probabilité d'obtenir 4 est \dfrac{1}{12}.

Il y a 12 issues possibles (une par face), et une seule face porte le numéro 4 : la probabilité est \dfrac{1}{12}.

PartieA ; 2. Quelle est la probabilité que le résultat soit un nombre pair ?

Il y a 6 nombres pairs entre 1 et 12 (2, 4, 6, 8, 10, 12) : la probabilité est \dfrac{6}{12} = \dfrac12.

PartieA ; 3. Tom pense que la probabilité d'obtenir un multiple de 3 est supérieure à 0,3. A-t-il raison ?

Il y a 4 multiples de 3 entre 1 et 12 (3, 6, 9, 12) : la probabilité est {\dfrac{4}{12} = \dfrac13 \approx 0{,}33 > 0{,}3}. Tom a raison.

PartieB ; 1. Un script Scratch simule le lancer de deux dés à 12 faces et additionne les résultats (bloc « Lancer », avec deux tirages aléatoires à compléter). Compléter les lignes du bloc.

On complète par : « Dé 1 = nombre aléatoire entre 1 et 12 », « Dé 2 = nombre aléatoire entre 1 et 12 », puis « Résultat = Dé 1 + Dé 2 ».

PartieB ; 2. Si le dé n^{\circ}1 donne 8 et le dé n^{\circ}2 donne 3, qu'affiche le programme (qui dit « Gagné ! » si Résultat > 6, sinon « Perdu ! ») ?

Résultat = 8+3 = 11, et 11>6 : le programme affiche « Gagné ! ».