Brevet : Métropole 2025 (remplacement)

1.Aurélie a sélectionné 22 chansons : 9 chants de Noël, 6 comptines, et des berceuses. Calculer le nombre de berceuses.

22-(9+6) = 22-15 = 7 berceuses.

2.Le temps d'écoute total des 22 chansons est de 55 minutes. Calculer la durée moyenne d'une chanson (en minute et seconde).

\begin{aligned}\dfrac{55}{22} &= \dfrac52 \\ &= 2{,}5\end{aligned} min, soit 2 min 30 s en moyenne par chanson.

3.aLe lecteur choisit une chanson au hasard. Montrer que la probabilité que ce soit une comptine est \dfrac{3}{11}.

Il y a 6 comptines sur 22 chansons : la probabilité est \dfrac{6}{22} = \dfrac{3}{11}.

3.bQuelle est la probabilité que la chanson écoutée ne soit pas une berceuse ?

Il y a 22-7=15 chansons qui ne sont pas des berceuses, sur 22 : la probabilité est \dfrac{15}{22}.

3.cLes chansons sont numérotées de 1 à 22. La probabilité que le numéro de la chanson soit premier est-elle supérieure à \dfrac{1}{3} ?

Les nombres premiers entre 1 et 22 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, soit 8 nombres : la probabilité est \dfrac{8}{22} = \dfrac{4}{11}.
En comparant \dfrac{4}{11} = \dfrac{12}{33} et \dfrac13 = \dfrac{11}{33} : \dfrac{12}{33}>\dfrac{11}{33}, donc \dfrac{4}{11}>\dfrac13. Oui, cette probabilité est bien supérieure à \dfrac13.

1.Quelle est l'étendue de la série 4 ; 8 ; 11 ; 7 ; 2 ; 3 ; 14 ?

Étendue = 14-2 = 12.

2.Quel volume correspond à 1 L ?

1 L = 1 dm^{3}.

3.Quel est le nombre dont l'écriture scientifique est 8{,}6\times10^{-4} ?

8{,}6\times10^{-4} = 0,00086.

4.La longueur et la largeur du drapeau français sont dans le ratio 3:2. Quelle est la largeur si la longueur vaut 90 cm ?

\dfrac{3}{2} = \dfrac{90}{\text{largeur}}, donc largeur = 90\times\dfrac23 = 60 cm.

5.Le prix d'un parfum passe de 75 € à 60 €. Quel pourcentage de réduction a été appliqué ?

Baisse = 75-60=15 € ; en pourcentage : \dfrac{15}{75}\times100 = 20 %.

6.Quelle est la forme factorisée de 4x^{2} - 25 ?

4x^2-25 = (2x)^2-5^2 = (2x-5)(2x+5).

1.aSur une figure : ABC rectangle en B, B, E, C alignés, A, D, F, C alignés, (BD) // (EF), AB = 10 cm, BC = 7,5 cm, BE = 3 cm, BD = 6 cm, CF = 2,7 cm. Montrer que CE = 4,5 cm.

BE+EC = BC, soit 3+EC = 7{,}5, donc EC = 4,5 cm.

1.bDémontrer que la longueur EF est égale à 3,6 cm.

Les points C, E, B sont alignés et les points C, F, D sont alignés dans le même ordre.
Les droites (EF) et (BD) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{CE}{CB} &= \dfrac{CF}{CD} \\ &= \dfrac{EF}{BD}\end{aligned}
d'où \dfrac{CE}{CB} = \dfrac{EF}{BD}, soit \dfrac{4{,}5}{7{,}5} = \dfrac{EF}{6}
donc EF = \dfrac{6\times4{,}5}{7{,}5} = \dfrac{27}{7{,}5} = 3,6 cm.

2.Démontrer que le triangle CEF est rectangle en F.

\begin{aligned}CF^2 &= 2{,}7^2 \\ &= 7{,}29\end{aligned} \begin{aligned}EF^2 &= 3{,}6^2 \\ &= 12{,}96\end{aligned} \begin{aligned}CE^2 &= 4{,}5^2 \\ &= 20{,}25\end{aligned} Or 7{,}29+12{,}96=20{,}25, donc {CF^2+EF^2=CE^2} : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CEF est rectangle en F.

3.aCalculer la mesure de l'angle BCA, arrondie au degré.

Dans le triangle ABC rectangle en B : \begin{aligned}\tan(\widehat{BCA}) &= \dfrac{AB}{BC} \\ &= \dfrac{10}{7{,}5} \\ &\approx 1{,}333\end{aligned} donc \widehat{BCA} \approx 53^{\circ}.

3.bLes triangles ABC et CEF sont-ils semblables ?

Les triangles ABC et EFC ont un angle droit (en B et en F) et partagent l'angle en C : leurs troisièmes angles sont donc aussi égaux. Les triangles ABC et CEF sont bien semblables.

1.Le temps de filtration idéal (en heure) d'une piscine s'obtient en prenant la température de l'eau, en ajoutant 4, puis en multipliant par 0,5. Vérifier que pour 26 ^{\circ}C, le temps est de 15 h.

26 \xrightarrow{+4} 30 \xrightarrow{\times0,5} 15 : on obtient bien 15 h.

2.En notant x la température en ^{\circ}C, montrer que le temps de filtration peut s'écrire 0,5x + 2.

x \xrightarrow{+4} x+4 \xrightarrow{\times0,5} 0{,}5(x+4) = 0{,}5x+2.

3.aD'après le graphique de f(x) = 0,5x + 2, le temps de filtration est-il proportionnel à la température ?

f(6)=5 et f(12)=8 : en doublant la température, le temps ne double pas (il faudrait f(12)=10). Le temps de filtration n'est pas proportionnel à la température (la droite ne passe pas par l'origine).

3.bQuelle est l'image de 10 par la fonction f ?

f(10) = 0{,}5\times10+2 = 5+2 = 7 (lecture graphique ou calcul).

4.Résoudre l'équation 0,5x + 2 = 17 et interpréter le résultat.

\begin{aligned}0{,}5x+2 = 17 &\iff 0{,}5x = 15 \\ &\iff x = 30 \end{aligned} : pour une température de 30 ^{\circ}C, le temps de filtration doit être de 17 h.

5.M. Durand filtre sa piscine 16 h/jour du 1er juillet au 31 août inclus. La pompe a une puissance de 0,8 kW, le prix du kWh est 0,23 €. Calculer la dépense pour cette période.

Durée totale de fonctionnement : {2\times31\times16 = 992} h (juillet et août ont chacun 31 jours).
Consommation = 0{,}8\times992 = 793{,}6 kWh ; dépense = 793{,}6\times0{,}23 \approx 182,53 €.

1.Le dessus d'une table carrée (côté 80 cm) est composé de 4 plaques rectangulaires en bois identiques (60 cm \times 20 cm) et d'une plaque carrée en verre au centre. Montrer que l'aire du dessus de la table est 6 400 cm^{2}.

L'aire d'un carré de côté 60+20=80 cm est 80^2 = 6 400 cm^{2}.

2.Montrer que l'aire de la plaque en verre représente 25 % de l'aire totale.

Le côté de la plaque en verre mesure 60-20=40 cm, donc son aire vaut 40^2 = 1\,600 cm^{2}.
\begin{aligned}\dfrac{1\,600}{6\,400} &= \dfrac14 \\ &= 25\%\end{aligned}

3.Quel est le nom de la transformation géométrique qui permet de passer du rectangle n^{\circ}1 au rectangle n^{\circ}2 ?

C'est une rotation de 90^{\circ} (dans le sens horaire), de centre le centre du carré.

4.aUn bloc Scratch « Rectangle » répète un motif « avancer/tourner » deux fois pour tracer un rectangle 60\times20. Compléter les lignes manquantes (angle et longueurs).

On répète 2 fois : avancer de 60 pas, tourner de 90^{\circ}, avancer de 20 pas, tourner de 90^{\circ}.

4.bParmi trois programmes (répéter 4 fois le bloc Rectangle, en tournant de 90^{\circ}, avec ou sans un « avancer » supplémentaire de 60 ou 80 pas entre chaque rectangle), lequel dessine la vue du dessus de la table ?

C'est le programme C (qui avance de 80 pas, la longueur du côté de la table, entre chaque rectangle, pour positionner les 4 plaques autour du carré central).