Brevet : Asie 2026

1.L'écriture scientifique du nombre 45 310 est :

L'écriture scientifique s'écrit a \times 10^{n} avec {1 \leq a < 10} : ici 45\,310 = 4{,}531 \times 10^{4}.
Donc, la réponse est B.

2.Une forme développée de l'expression (4x - 3)(4x + 3) est :

On reconnaît une identité remarquable (a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2} avec a = 4x et b = 3 :
\begin{aligned}(4x - 3)(4x + 3) &= (4x)^{2} - 3^{2} \\ &= 16x^{2} - 9\end{aligned}
Donc, la réponse est C.

3.Un pavé droit a pour dimensions 4,5 cm, 4 cm et 10 cm. Le volume de ce pavé est de :

V = 4{,}5 \times 4 \times 10 = 180 cm^{3}.
Donc, la réponse est A.

4.N = 2025 et P = 2026. Concernant leur divisibilité par 9 :

La somme des chiffres de N est {2 + 0 + 2 + 5 = 9}, qui est divisible par 9 : N est divisible par 9.
La somme des chiffres de P est {2 + 0 + 2 + 6 = 10}, qui n'est pas divisible par 9 : P n'est pas divisible par 9.
Donc, la réponse est B.

5.Une personne a couru 9 km en 45 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?

45 minutes = \dfrac{45}{60} = 0{,}75 heure.
Vitesse = \dfrac{9}{0{,}75} = 12 km/h.

6.Quelle est la probabilité que le joueur gagne un casque audio (roue à 10 secteurs égaux) ?

Sur les 10 secteurs, 2 correspondent à un casque audio.
La probabilité est \dfrac{2}{10} = 0,2.

7.Un article coûte 60 €. Calculer son nouveau prix après une baisse de 10 %.

Une baisse de 10 % revient à multiplier par 0,9.
60 \times 0{,}9 = 54 €.

8.Quelle est la mesure de l'angle BAC (triangle ABC rectangle en C, angle B = 40^{\circ}) ?

La somme des angles d'un triangle vaut 180^{\circ} : \widehat{BAC} = 180 - 90 - 40 = 50^{\circ}.

9.aCombien d'élèves ont participé à ce contrôle ?

On additionne tous les effectifs du diagramme : {3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 =} 27 élèves.

9.bQuelle est la note médiane ?

Il y a 27 valeurs, donc la médiane est la 14e valeur une fois les notes rangées dans l'ordre croissant.
En cumulant les effectifs : 3 notes \leq 7, 7 notes \leq 8, 11 notes \leq 10, 16 notes \leq 11 : la 14e valeur est donc 11.
La note médiane est 11.

1.Au bout de 24 mois, laquelle des deux offres est la plus intéressante ?

Offre A : 175 + 16 \times 24 = 175 + 384 = 559 €.
Offre B : 23 \times 24 = 552 €.
Comme 552 < 559, l'offre B est la plus intéressante au bout de 24 mois.

2.aAssocier chaque fonction à l'offre correspondante.

f(x) = 175 + 16x correspond à l'offre A (175 € à l'achat puis 16 €/mois).
g(x) = 23x correspond à l'offre B (rien à l'achat, 23 €/mois).

2.bAu bout de combien de mois paie-t-on le même prix avec ces deux offres ?

On résout f(x) = g(x) : 175 + 16x = 23x.
\begin{aligned}175 &= 23x - 16x \\ &= 7x\end{aligned}
x = \dfrac{175}{7} = 25 mois.

2.cEst-on encore dans la période d'engagement ?

La période d'engagement minimum est de 24 mois pour les deux offres.
Au bout de 25 mois, on a dépassé ces 24 mois : on n'est plus dans la période d'engagement.

1.Montrer que la longueur du segment [OA] est égale à 8 cm.

Le triangle OAD est rectangle en A (angle marqué). D'après le théorème de Pythagore :
OD^{2} = OA^{2} + AD^{2}
\begin{aligned}OA^{2} &= OD^{2} - AD^{2} \\ &= 8{,}2^{2} - 1{,}8^{2} \\ &= 67{,}24 - 3{,}24 \\ &= 64\end{aligned}
Donc OA = \sqrt{64} = 8 cm.

2.Justifier que les droites (BC) et (AD) sont parallèles.

Le triangle OAD est rectangle en A, donc (AD) est perpendiculaire à (OA), c'est-à-dire à la droite (OB) puisque O, A, B sont alignés.
Le triangle OBC est rectangle en B, donc (BC) est perpendiculaire à (OB) pour la même raison.
Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
Donc (BC) // (AD).

3.Calculer la longueur du segment [OB].

Les points O, A, B sont alignés et les points O, D, C sont alignés dans le même ordre.
Les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{OA}{OB} &= \dfrac{OD}{OC} \\ &= \dfrac{AD}{BC}\end{aligned}
d'où \dfrac{OA}{OB} = \dfrac{AD}{BC}, soit \dfrac{8}{OB} = \dfrac{1{,}8}{4{,}5}
donc OB = \dfrac{8 \times 4{,}5}{1{,}8} = 20 cm.

4.aCalculer le volume du grand cône de hauteur [OB], en cm^{3}, arrondi à l'unité.

Le grand cône a pour rayon BC = 4{,}5 cm et pour hauteur OB = 20 cm.
V = \dfrac{\pi \times R^{2} \times H}{3} = \dfrac{\pi \times 4{,}5^{2} \times 20}{3} = 135\pi \approx 424 cm^{3}.

4.bCalculer le volume du gobelet, en cm^{3}, arrondi à l'unité.

Le petit cône retiré a pour rayon {AD = 1{,}8} cm et pour hauteur OA = 8 cm.
Volume du petit cône : \begin{aligned}V &= \dfrac{\pi \times 1{,}8^{2} \times 8}{3} \\ &= 8{,}64\pi\end{aligned} cm^{3}.
Le gobelet est un tronc de cône : son volume est celui du grand cône moins celui du petit cône.
V_{gobelet} = 135\pi - 8{,}64\pi = 126{,}36\pi \approx 397 cm^{3}.

1.Appliquer le programme A au nombre 5.

2.Parmi les quatre formules, recopier celle saisie dans la cellule B2 puis étirée vers le bas.

La formule saisie est = 3 * A2 * A2 + 7 * A2 - 6 (elle doit fonctionner pour toute valeur de A2, donc utiliser A2 au carré et non une valeur fixe comme 1).

3.À l'aide du tableur, donner une valeur pour laquelle le programme A donne 0.

D'après le tableau, pour un nombre de départ égal à -3, le programme A donne 0.

4.Donner une expression littérale du programme A en fonction de x.

Carré de x, multiplié par 3 : 3x^{2}.
x multiplié par 7 : 7x.
On additionne puis on soustrait 6 : 3x^{2} + 7x - 6.
L'expression littérale du programme A est 3x^{2} + 7x - 6.

5.Appliquer le programme B au nombre 5.

6.Donner une expression littérale du programme B en fonction de x.

L'expression littérale du programme B est (3x - 2)(x + 3).

7.Mathis affirme que, quel que soit le nombre choisi, il trouvera le même résultat avec le programme A et le programme B. A-t-il raison ?

On développe l'expression du programme B :
\begin{aligned}(3x - 2)(x + 3) &= 3x^{2} + 9x - 2x - 6 \\ &= 3x^{2} + 7x - 6\end{aligned}
C'est exactement l'expression du programme A trouvée à la question 4.
Donc Mathis a raison : les deux programmes donnent toujours le même résultat.

8.Résoudre l'équation (3x - 2)(x + 3) = 0. En déduire les valeurs pour lesquelles les programmes A et B donnent 0.

Un produit de facteurs est nul si (et seulement si) l'un au moins des facteurs est nul.
3x - 2 = 0, donc x = \dfrac{2}{3} ; ou x + 3 = 0, donc x = -3.
Les deux programmes étant équivalents à ce produit de facteurs, ils donnent 0 pour x = \dfrac{2}{3} ou x = -3 (on retrouve bien la valeur -3 lue au tableur à la question 3).

1.Justifier que la mesure de l'angle EAD est égale à 30^{\circ}.

Le triangle ABF est équilatéral, donc l'angle FAB mesure 60^{\circ}.
ABCD est un carré, donc l'angle BAD (entre les côtés [AB] et [AD]) mesure 90^{\circ}.
Les points F, A, E sont alignés, donc les angles FAB, BAD et DAE se partagent l'angle plat : {\widehat{FAB} + \widehat{BAD} + \widehat{DAE} = 180^{\circ}}.
On a donc \widehat{DAE} = 180 - 60 - 90 = 30^{\circ}.

2.Donner les valeurs de J, K, M et N pour un triangle et un carré de 4 cm de côté.

Avec l'échelle 10 pas = 1 cm, un côté de 4 cm correspond à 40 pas.
Bloc triangle : J = 40 (avancer de 40 pas) et K = 120 (angle extérieur d'un triangle équilatéral : 180 - 60).
Bloc carré : M = 40 (avancer de 40 pas) et N = 90 (angle extérieur d'un carré).

3.Écrire le numéro de la figure obtenue grâce au programme principal.

Le programme répète 6 fois : dessiner un Triangle, avancer, tourner de 30^{\circ}, dessiner un Carré, avancer, tourner de 30^{\circ}.
Chaque répétition ajoute donc un triangle et un carré, avec une rotation totale de 30 + 30 = 60^{\circ}.
Sur les 6 répétitions, la rotation totale est de 6 \times 60 = 360^{\circ} : le motif se referme en formant une couronne de 6 triangles et 6 carrés alternés, régulièrement espacés tous les 30^{\circ}.
C'est la figure qui comporte le plus grand nombre de triangles et de carrés alternés régulièrement : la réponse est la Figure 3.