CRPE : Externe supplémentaire, session 2023

A.1On donne DF = 13,80 km, DR = 23,41 km et RF = 18,91 km. Démontrer que le triangle RDF est un triangle rectangle en F.

D'une part, \begin{aligned}DF^{2}+RF^{2} &= 13{,}80^{2}+18{,}91^{2} \\ &= 190{,}44+357{,}5881 \\ &= 548{,}0281\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}DR^{2} &= 23{,}41^{2} \\ &= 548{,}0281\end{aligned}
On a donc l'égalité DF^{2}+RF^{2} = DR^{2}.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RDF est rectangle en F.

A.2Sachant que la vitesse moyenne de la navette sur le trajet B est de 10 nœuds, calculer la durée du trajet B, en minute, arrondie à l'unité.

1 nœud =1852 m/h, donc une vitesse de 10 nœuds correspond à {10\times1852=18520} m/h, soit 18{,}52 km/h.
Le trajet B relie directement D à R : sa longueur est DR=23{,}41 km.
Durée =\dfrac{23{,}41}{18{,}52}\approx1{,}264 h {=1{,}264\times60\approx75{,}84} min.
La durée du trajet B est d'environ 76 minutes.

A.3.aMontrer que la longueur d'un tour du fort, ainsi modélisée, est d'environ 3142 m.

Le tour du fort est modélisé par un cercle de rayon 500 m, de longueur 2\pi r = 2\times\pi\times500 = 1000\pi \approx 3 142 m, conforme à l'énoncé.

A.3.bCalculer la distance totale du trajet A. Donner le résultat en kilomètre, arrondi à l'unité.

Le trajet A relie R à F (RF=18{,}91 km), fait deux tours du fort, puis relie F à D (FD=13{,}80 km).
Deux tours du fort : \begin{aligned}2\times1000\pi &\approx 2\times3141{,}59 \\ &= 6283{,}19\end{aligned} m =6{,}283 km.
Distance totale {\approx 18{,}91+13{,}80+6{,}283 = 38{,}993} km, soit environ 39 km (arrondi à l'unité).

A.4Le trajet A dure au total 2 h. Calculer la vitesse moyenne de la navette, exprimée en nœuds et arrondie à l'unité.

Vitesse =\dfrac{38{,}993}{2}\approx19{,}497 km/h.
En nœuds (1 nœud =1{,}852 km/h) : \dfrac{19{,}497}{1{,}852}\approx10{,}53, soit environ 11 nœuds (arrondi à l'unité).

B.1Calculer la recette journalière moyenne si l'entreprise fixe le prix d'une place à 30 €.

Recette =450\times30 = 13 500 €.

B.2.aMontrer que si l'entreprise décide de fixer la place à 40 €, alors la recette journalière moyenne est de 6 000 €.

L'augmentation par rapport à 30 € est de 40-30=10 €, soit 100 fois 10 centimes.
Le nombre de places vendues diminue donc de 100\times3=300, ce qui donne 450-300=150 places vendues.
Recette =40\times150 = 6 000 €, conforme à l'énoncé.

B.2.bCalculer la recette journalière moyenne si l'entreprise décide de fixer la place à 10 €.

La diminution par rapport à 30 € est de 30-10=20 €, soit 200 fois 10 centimes.
Le nombre de places vendues augmente donc de 200\times3=600, ce qui donne 450+600=1050 places vendues.
Recette =10\times1050 = 10 500 €.

B.3.aDonner la recette journalière pour un prix unitaire de 10 €.

D'après le graphique, pour un prix unitaire de 10 €, la recette journalière est d'environ 10 500 € (cohérent avec le calcul de la question B.2.b).

B.3.bDéterminer le(s) prix unitaire(s) correspondant à une recette journalière de 14 000 €.

D'après le graphique, une recette de 14 000 € est atteinte pour deux prix unitaires : environ 16 € et environ 29 €.

B.3.cQuel prix unitaire permet d'obtenir une recette journalière maximale ? Indiquer le montant de cette recette maximale.

D'après le graphique, le maximum de la courbe se situe pour un prix unitaire d'environ 22 à 23 €, pour une recette maximale d'environ 15 100 à 15 200 €.

B.3.Modèle algébrique sous-jacent (non demandé par l'énoncé, ajouté par Logimaths pour confirmer la lecture graphique).

D'après les questions B.1 et B.2, le nombre de places vendues pour un prix p (en euros) est {450-30(p-30)=1350-30p}, donc la recette est {R(p)=p\times(1350-30p)}.
Pour p=10 : \begin{aligned}R(10) &= 10\times(1350-300) \\ &= 10\times1050 \\ &= 10500\end{aligned} ce qui confirme la lecture graphique de la question B.3.a.
Pour R(p)=14000 : on résout -30p^{2}+1350p-14000=0, soit {3p^{2}-135p+1400=0} (en divisant par 10), de discriminant \begin{aligned}\Delta &= 135^{2}-4\times3\times1400 \\ &= 142500\end{aligned} donc \sqrt{\Delta}\approx377{,}5, d'où \begin{aligned}p &\approx \dfrac{135-377{,}5}{6} \\ &\approx 16{,}2\end{aligned} ou \begin{aligned}p &\approx \dfrac{135+377{,}5}{6} \\ &\approx 28{,}8\end{aligned} Environ 16 € et 29 €, conforme à la lecture graphique de la question B.3.b.
Le maximum de R est atteint en \begin{aligned}p &= \dfrac{1350}{2\times30} \\ &= 22{,}5\end{aligned} avec \begin{aligned}R(22{,}5) &= 22{,}5\times(1350-30\times22{,}5) \\ &= 22{,}5\times675 \\ &= 15187{,}5\end{aligned} : 22,50 € pour une recette maximale de 15 187,50 €, cohérent avec la lecture graphique de la question B.3.c.

1.Calculer, en mètre cube, le volume de bois nécessaire avant tronçonnage, à la fabrication des trente appuis.

Avant tronçonnage, chaque bloc est un pavé droit de dimensions 0{,}40 m \times 1 m \times 1{,}25 m (soit 40 cm, 1 m et 1,25 m).
Volume d'un bloc : \begin{aligned}V &= 0{,}40\times1\times1{,}25 \\ &= 0{,}5\end{aligned} m^{3}.
Pour les trente appuis : 30\times0{,}5 = 15 m^{3}.

2.aMontrer que l'aire d'un rectangle à peindre en blanc est égale à 2120 cm^{2}.

L'assise rectangulaire ABCD a pour largeur 40 cm, la largeur du bloc, inchangée par le tronçonnage.
Sa longueur BC est la diagonale du tronçonnage : la partie basse non tronçonnée mesure 80 cm de haut, et le dessus du bloc restant à plat mesure 72 cm de profondeur (au lieu du 1 m initial) ; le tronçonnage retire donc, sur le dessus, une profondeur de {100-72=28} cm sur une hauteur de {125-80=45} cm.
D'après le théorème de Pythagore, \begin{aligned}BC^{2} &= 45^{2}+28^{2} \\ &= 2025+784 \\ &= 2809\end{aligned} donc \begin{aligned}BC &= \sqrt{2809} \\ &= 53\end{aligned} cm.
Aire =40\times53 = 2 120 cm^{2}, conforme à l'énoncé.

2.bCalculer l'aire totale des rectangles à peindre en blanc pour les 30 appuis en mètre carré.

Aire totale =30\times2120=63600 cm^{2}.
En mètres carrés (1 m^{2} =10000 cm^{2}) : 63600 cm^{2} = 6,36 m^{2}.

2.cD'après la fiche technique suivante, combien de pots de couleur blanche seront nécessaires ?

Le rendement est de 10 m^{2}/L, donc un pot de 0{,}5 L couvre 10\times0{,}5=5 m^{2}.
Nombre de pots : \dfrac{6{,}36}{5}=1{,}272.
Comme il faut un nombre entier de pots et couvrir la totalité de la surface, on arrondit à l'entier supérieur : 2 pots.

1.aQuelle est la probabilité que la carte d'Ana soit rouge ?

Il y a 26 cartes rouges (cœur et carreau) sur 52 : P(\text{rouge}) = \dfrac{26}{52} = \dfrac{1}{2}.

1.bQuelle est la probabilité que la carte d'Ana soit un pique ?

Il y a 13 piques sur 52 : P(\text{pique}) = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}.

1.cQuelle est la probabilité que la carte d'Ana soit un valet ?

Il y a 4 valets sur 52 : P(\text{valet}) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}.

1.dQuelle est la probabilité que la carte d'Ana soit une dame de couleur rouge ?

Il y a 2 dames rouges (dame de cœur, dame de carreau) sur 52 : P(\text{dame rouge}) = \dfrac{2}{52} = \dfrac{1}{26}.

1.eQuelle est la probabilité que la carte d'Ana soit une carte de couleur rouge ou une dame ?

Il y a 26 cartes rouges et 4 dames, dont 2 dames rouges comptées deux fois : 26+4-2=28 cartes favorables.
P(\text{rouge ou dame}) = \dfrac{28}{52} = \dfrac{7}{13}.

2.L'enseignante décide d'ajouter des cartes Joker à son jeu. Combien doit-elle ajouter de carte joker pour que la probabilité qu'Ana reçoive une carte Joker soit de \dfrac{1}{14} ?

Après ajout de j jokers, le jeu compte 52+j cartes, dont j jokers.
On veut \dfrac{j}{52+j} = \dfrac{1}{14}, soit 14j=52+j, donc 13j=52, d'où j=4.
Il faut ajouter 4 cartes Joker.

1.Représenter sur la copie la figure réalisée par le script principal. Le lutin se déplace selon le nombre de pixels défini. On représentera 25 pixels par 1 cm.

2.aQuelles modifications doit-on apporter aux lignes A, B et C pour obtenir cette figure ?

2.bProposer une transformation géométrique, dont on donnera les caractéristiques, permettant de passer du carré ABCD au carré EFGH.

Dans le script modifié (répéter 6 fois, en tournant de 60^{\circ} à chaque passage), les motifs sont tracés lors de répétitions successives séparées par une rotation de 60^{\circ} autour du point de départ O ; les carrés EFGH puis ABCD sont ainsi tracés lors de deux répétitions consécutives.
Le carré ABCD est donc l'image du carré EFGH par une rotation de centre O et d'angle 60^{\circ} dans le sens horaire ; réciproquement, le carré EFGH est l'image du carré ABCD par la rotation de centre O, d'angle 60^{\circ}, dans le sens antihoraire (sens inverse des aiguilles d'une montre), qui envoie A sur E, B sur F, C sur G et D sur H.

1.Quelle est l'étendue des salaires mensuels bruts dans cette entreprise ?

L'étendue est la différence entre le salaire brut le plus élevé (5 500 €, directrice) et le plus faible (1 923 €, ouvrier) : 5500-1923 = 3 577 €.

2.Montrer que le salaire mensuel net de la directrice est de 4 290 €.

Les charges de la directrice sont {5500\times0{,}22 = 1210} €.
Le salaire net est 5500-1210 = 4 290 €, conforme à l'énoncé.

3.Quelle formule doit-il écrire dans la cellule B4 pour calculer les charges sociales d'un ouvrier ? Cette formule doit pouvoir être étendue pour calculer les charges dans toutes les colonnes.

=B3*22% (ou, de façon équivalente, =B3*0,22), formule à étirer de B4 jusqu'en F4.

4.Quelle formule entrer dans la cellule B5 pour calculer le salaire net de l'ouvrier ? Cette formule doit pouvoir être étendue pour calculer les salaires nets dans toutes les colonnes.

=B3-B4, formule à étirer de B5 jusqu'en F5.

5.Calculer le salaire mensuel brut moyen dans cette entreprise. Arrondir à l'euro.

L'effectif total est {4+5+2+3+1=15} employés.
La somme des salaires bruts est \begin{aligned}4\times1923+5\times2307+2\times2693+3\times4200+1\times5500 &= 7692+11535+5386+12600+5500 \\ &= 42713\end{aligned} €.
Salaire brut moyen =\dfrac{42713}{15}\approx2847{,}53, soit environ 2 848 € (arrondi à l'euro).

6.Déterminer la médiane des salaires mensuels bruts de cette entreprise.

Il y a 15 salariés (effectif impair) : la médiane est la \dfrac{15+1}{2}=8^{\text{e}} valeur de la série des 15 salaires bruts individuels, rangés dans l'ordre croissant.
Salaires croissants : 1 923 € (4 fois, rangs 1 à 4), 2 307 € (5 fois, rangs 5 à 9), 2 693 € (2 fois, rangs 10 et 11), 4 200 € (3 fois, rangs 12 à 14), 5 500 € (rang 15).
Le 8^{\text{e}} salaire se situe dans le groupe des techniciens : la médiane est 2 307 €.

7.L'entreprise envisage l'embauche d'un nouvel ingénieur. Celui-ci souhaite un salaire net de 3 200 €. À combien doit s'élever son salaire brut ? Arrondir à l'euro.

On cherche le salaire brut S tel que {S\times(1-0{,}22)=3200}, soit S\times0{,}78=3200.
\begin{aligned}S &= \dfrac{3200}{0{,}78} \\ &\approx 4102{,}56\end{aligned} soit environ 4 103 € (arrondi à l'euro).

1.Recopier et compléter le tableau suivant.

Pour N=52 : d=5, u=2, retourné R=25, différence 52-25=27.
Pour N=60 : d=6, u=0, retourné \begin{aligned}R &= 06 \\ &= 6\end{aligned} différence 60-6=54.
Pour N=16 : d=1, u=6, retourné R=61, différence 16-61=-45.
Tableau complété : retournés 25, 6, 61 ; différences 27, 54, -45.

2.Quelle conjecture peut-on faire sur la différence entre un nombre et son retourné ?

Conjecture : la différence entre un nombre à deux chiffres et son « retourné » est toujours un multiple de 9 (positif, négatif ou nul selon les chiffres du nombre).

3.aExprimer N en fonction de d et u.

N = 10d+u.

3.bExprimer le « retourné » R du nombre choisi en fonction de d et u.

R = 10u+d.

3.cMontrer que la différence N-R est égale à 9(d-u).

\begin{aligned}N-R &= (10d+u)-(10u+d) \\ &= 10d+u-10u-d \\ &= 9d-9u\end{aligned}
= 9(d-u).

3.dEn déduire que la différence entre un nombre et son retourné est un multiple de 9.

Comme d et u sont des chiffres, d-u est un entier ; N-R=9(d-u) est donc bien un multiple de 9.

3.ePour obtenir une différence N-R égale à 63 quels nombres est-il possible de choisir au départ ? Donner l'ensemble des solutions.

On cherche d,u tels que 9(d-u)=63, soit d-u=7.
Comme d\geq1 (nombre à deux chiffres) et {0\leq u\leq9}, les couples possibles sont (d,u)=(7,0), (8,1) et (9,2).
Les nombres possibles sont 70, 81 et 92.

3.fPour obtenir une différence N-R égale à 56 quels nombres est-il possible de choisir au départ ? Donner l'ensemble des solutions.

On cherche d,u tels que {9(d-u)=56}, soit d-u=\dfrac{56}{9}, qui n'est pas un nombre entier.
Or d-u doit être un entier (question 3.d) : aucun nombre à deux chiffres ne donne une différence de 56, l'ensemble des solutions est vide.

1.Un élève propose la réponse suivante : 2\times14-22=6, une glace fusée vaut 6 zeds. Identifier l'erreur de l'élève.

Les achats se traduisent par les équations {2x+4y=22} (Raphaël) et x+3y=14 (Léna), où x est le prix d'un cône et y celui d'une glace fusée, en zeds.
En calculant 2\times14-22, l'élève calcule en réalité \begin{aligned}2(x+3y)-(2x+4y) &= 2x+6y-2x-4y \\ &= 2y\end{aligned} et non y.
Donc 2y=6, ce qui donne y=3 et non y=6 : l'élève a oublié de diviser par 2 pour isoler y.
Une glace fusée vaut donc 3 zeds, et non 6.

2.On note x le prix en zed d'un cône et y le prix en zed d'une glace fusée. Écrire les équations correspondantes au problème et en déduire le prix d'un cône et d'une glace fusée.

Les achats de Raphaël (2 cônes, 4 glaces fusées, 22 zeds) donnent {2x+4y=22}.
Les achats de Léna (1 cône, 3 glaces fusées, 14 zeds) donnent x+3y=14, soit x=14-3y.
En substituant : 2(14-3y)+4y=22, soit 28-6y+4y=22, soit 28-2y=22, soit 2y=6, donc y=3.
On en déduit \begin{aligned}x &= 14-3\times3 \\ &= 14-9 \\ &= 5\end{aligned}
Un cône coûte 5 zeds et une glace fusée coûte 3 zeds.