CRPE : Groupement 3, session 2023

1.L'entier 4 216 est-il un multiple de 17 ? Justifier.

On cherche si 17 divise 4216, en calculant 17\times248.
\begin{aligned}17\times248 &= 17\times250 - 17\times2 \\ &= 4250-34 \\ &= 4216\end{aligned}
Donc 4216 = 17\times248 : 4216 est bien un multiple de 17.

2.aRappeler le critère de divisibilité par 3.

Un nombre entier est divisible par 3 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

2.bDonner toutes les valeurs possibles du chiffre des unités, caché par la tache.

Le nombre s'écrit « 2 29□ », c'est-à-dire 2290+\square où \square désigne le chiffre des unités caché, et il doit être divisible par 3.
La somme de ses chiffres est {2+2+9+\square = 13+\square}, qui doit être un multiple de 3.
Cela correspond à \square = 2 (somme 15), \square = 5 (somme 18) ou \square = 8 (somme 21).
Les valeurs possibles du chiffre des unités sont donc 2, 5 et 8 (nombres 2292, 2295 et 2298).

3.aEn détaillant les étapes, vérifier que 413 est bien divisible par 7 en utilisant le critère indiqué.

Le nombre de dizaines de 413 est 41, et son chiffre des unités est 3.
\begin{aligned}41 - 2\times3 &= 41-6 \\ &= 35\end{aligned}
Or 35 est un multiple de 7 (puisque {35=7\times5}).
Donc, d'après le critère admis, 413 est bien divisible par 7.

3.bLe nombre 5 292 est-il divisible par 7 ? Répondre en appliquant, plusieurs fois si nécessaire, le critère précédent.

Nombre de dizaines de 5292 : 529 ; chiffre des unités : 2. On calcule \begin{aligned}529-2\times2 &= 529-4 \\ &= 525\end{aligned}
On applique de nouveau le critère à 525 : nombre de dizaines 52, chiffre des unités 5, d'où \begin{aligned}52-2\times5 &= 52-10 \\ &= 42\end{aligned}
Or 42 est un multiple de 7 (puisque {42=7\times6}).
Donc, d'après le critère appliqué deux fois, 5 292 est divisible par 7.

3.cIndiquer des formules ayant pu être saisies dans les cellules C1 et D1.

La formule de B1 (« =ENT(A1/10) ») donne le nombre de dizaines de A1, c'est-à-dire A1 privé de son chiffre des unités.
La cellule C1 doit donner le chiffre des unités de A1, c'est-à-dire ce qu'il reste une fois les dizaines retirées : =A1-10*B1.
La cellule D1 doit appliquer le critère de divisibilité par 7 (dizaines moins deux fois les unités) : =B1-2*C1.

3.dLe nombre 1 138 984 est-il divisible par 7 ? Justifier en interprétant les résultats fournis par la feuille de calcul.

En étirant les formules vers le bas, chaque ligne applique de nouveau le critère au résultat de la ligne précédente : on passe ainsi de 1 138 984 à 113 890, puis 11 389, puis 1 120, puis 112, et enfin 7 (dernière valeur, ligne 5, colonne D).
Or 7 est un multiple de 7.
Donc, en remontant les étapes, 1 138 984 est bien divisible par 7.

1.aDéterminer la longueur BC.

Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{aligned}BC^{2} &= AB^{2}+AC^{2} \\ &= 300^{2}+400^{2} \\ &= 90000+160000 \\ &= 250000\end{aligned}
BC = \sqrt{250000} = 500 mètres.

1.bDéterminer les longueurs IF et CF.

F appartient à [AC] et I appartient à [BC], avec (FI) parallèle à (AB) : dans le triangle CAB, la droite (FI) coupe (CA) en F et (CB) en I.
Or, d'après le théorème de Thalès,
\begin{aligned}\dfrac{CF}{CA} &= \dfrac{CI}{CB} \\ &= \dfrac{FI}{AB}\end{aligned}
avec CI=350 m et CB=500 m, soit \begin{aligned}\dfrac{CI}{CB} &= \dfrac{350}{500} \\ &= \dfrac{7}{10}\end{aligned}
CF = CA\times\dfrac{7}{10} = 400\times\dfrac{7}{10} = 280 mètres.
FI = AB\times\dfrac{7}{10} = 300\times\dfrac{7}{10} = 210 mètres.

1.cDéterminer la longueur ED.

Les points A, C, E sont alignés et B, C, D sont alignés, avec C entre A et E d'une part, et entre B et D d'autre part, et (DE) parallèle à (AB) : les droites (AB) et (DE) sont donc dans une configuration de Thalès dite « en papillon ».
Or, d'après le théorème de Thalès,
\begin{aligned}\dfrac{CD}{CB} &= \dfrac{CE}{CA} \\ &= \dfrac{DE}{AB}\end{aligned}
avec CD=1250 m et CB=500 m, soit \begin{aligned}\dfrac{CD}{CB} &= \dfrac{1250}{500} \\ &= 2{,}5\end{aligned}
DE = AB\times2{,}5 = 300\times2{,}5 = 750 mètres.

1.dCalculer la longueur du parcours ABIFCDE.

Le parcours est constitué des segments AB, BI, IF, FC, CD et DE.
\begin{aligned}BI &= BC-IC \\ &= 500-350 \\ &= 150\end{aligned} m.
AB+BI+IF+FC+CD+DE = 300+150+210+280+1250+750 = 2 940 mètres.

2.aLa durée du parcours en heure est-elle proportionnelle à la distance parcourue en kilomètre ? Justifier.

Si la distance parcourue était proportionnelle à la durée, le graphique serait une droite passant par l'origine, avec une pente constante.
Or la pente du graphique change au cours du trajet : Quentin parcourt environ 20 km lors de la première heure, mais seulement 15 km de plus lors de la deuxième heure.
Non, la durée du parcours n'est pas proportionnelle à la distance parcourue.

2.bQuelle distance a parcouru Quentin en 1h ?

Par lecture graphique, Quentin a parcouru environ 20 km en 1 heure.

2.cDéterminer la vitesse moyenne de Quentin durant la première heure, en mètre par seconde, avec un arrondi au centième.

En 1 heure, soit 3600 secondes, Quentin a parcouru 20 km, soit 20 000 m.
v = \dfrac{20000}{3600} \approx 5,56 m/s.

2.dQuelle distance a parcouru Quentin en 1h45 ?

Entre t=1 h (20 km) et t=2 h (35 km), le graphique est une droite : la distance augmente régulièrement de 15 km par heure sur cet intervalle.
En 1 h 45 min, soit trois quarts d'heure après t=1 h, Quentin parcourt {15\times\dfrac{3}{4} = 11{,}25} km supplémentaires.
Distance totale : 20+11{,}25 = environ 31 km.

2.eEstimer la vitesse de Quentin durant la troisième heure de son parcours, en kilomètre par heure.

Durant la troisième heure (entre t=2 h et t=3 h), Quentin passe de 35 km à 65 km, soit 30 km parcourus en 1 heure.
Sa vitesse moyenne durant la troisième heure est donc d'environ 30 km/h.

2.fPeut-on affirmer que sa vitesse moyenne lors de la troisième heure est supérieure de plus de 40 % à sa vitesse moyenne lors de la première heure ? Justifier.

Vitesse lors de la première heure : 20 km/h. Vitesse lors de la troisième heure : 30 km/h.
L'augmentation relative est \begin{aligned}\dfrac{30-20}{20} &= \dfrac{10}{20} \\ &= 0{,}5\end{aligned} soit une hausse de 50 %.
Comme 50\,\% > 40\,\%, oui, sa vitesse moyenne lors de la troisième heure est bien supérieure de plus de 40 % à celle de la première heure.

2.gQuelle est la vitesse moyenne de Quentin lors de cette sortie, en kilomètre par heure, avec un arrondi au centième.

La distance totale parcourue est de 95 km, en une durée totale de 4,5 heures.
v = \dfrac{95}{4{,}5} \approx 21,11 km/h.

Pierreaffirme : « c'est un losange ».

Le script fait avancer le lutin de 100 pas puis tourner de 90^{\circ}, et ce 4 fois de suite à l'identique : les 4 côtés de la figure ont donc tous la même longueur (100 pas).
Un quadrilatère dont les 4 côtés sont de même longueur est un losange.
Vrai, la figure est bien un losange.

Anaaffirme : « ce n'est pas un rectangle ».

À chaque sommet, le lutin tourne de 90^{\circ} : l'angle intérieur de la figure à chaque sommet est donc un angle droit.
Un quadrilatère dont les 4 angles sont droits est un rectangle : la figure obtenue est donc bien un rectangle.
Faux, contrairement à ce qu'affirme Ana : la figure est un rectangle.

Karimaffirme : « c'est un quadrilatère ».

La boucle « répéter 4 fois » referme exactement la figure sur son point de départ après avoir tracé 4 côtés : c'est donc une figure à 4 côtés.
Vrai, la figure est bien un quadrilatère.

Lucieaffirme : « c'est un carré ».

D'après les deux points précédents, la figure a ses 4 côtés de même longueur (c'est un losange) et ses 4 angles droits (c'est un rectangle).
Un quadrilatère à la fois losange et rectangle est un carré.
Vrai, la figure est bien un carré.

2.aMontrer que pour obtenir un pentagone dont les côtés mesurent 7 cm, il faut construire un segment [RS] mesurant environ 11,9 cm.

La longueur des côtés du pentagone est proportionnelle à la longueur du segment [RS] : pour RS=4 cm, les côtés mesurent \sqrt{10-2\sqrt{5}} cm, soit environ 2{,}351 cm.
Le coefficient de proportionnalité entre le côté du pentagone et RS est donc \begin{aligned}k &= \dfrac{2{,}351}{4} \\ &\approx 0{,}588\end{aligned}
Pour obtenir un côté de 7 cm, il faut RS = \dfrac{7}{0{,}588} \approx 11,9 cm.

2.bEn utilisant le programme de construction précédent, construire un pentagone régulier LMNPQ dont les côtés mesurent 7 cm.

On applique le programme de construction donné avec un segment [RS] mesurant environ 11,9 cm (milieu O de [RS], cercle de diamètre [RS], point L du cercle tel que (OL)\perp(RS), milieu I de [OS], cercle de centre I et de rayon IL coupant [RO] en D) : la longueur LD obtenue permet alors de reporter les 5 sommets du pentagone LMNPQ sur le cercle, chaque côté mesurant 7 cm.

2.cRecopier et compléter les lignes 7 et 9 du script utilisé pour construire l'étoile.

La figure obtenue possède 5 branches identiques : le bloc « répéter » s'exécute donc 5 fois (ligne 7).
À chaque répétition, le lutin avance vers la pointe d'une branche puis doit tourner nettement en arrière pour repartir vers le sommet suivant : ce virage vaut 144 degrés (ligne 9). Il avance ensuite de nouveau, avant le virage de 72^{\circ} déjà donné, qui correspond à l'angle extérieur du pentagone régulier sous-jacent ({360\div5=72}^{\circ}).

2.dQuel est le périmètre, en pas, de cette étoile ?

Chaque répétition trace 2 segments de 80 pas (avant la pointe, puis après), soit 2\times80=160 pas par branche, pour 5 branches.
Périmètre = 5\times160 = 800 pas.

2.eRecopier les quatre lignes à l'intérieur du bloc « répéter », lignes 8 à 11, en apportant les modifications nécessaires pour obtenir cette nouvelle étoile.

1.Un élève lance les deux dés ; il obtient un 3 et un 2. Combien de jetons peut-il prendre ? Donner tous les cas possibles.

Les deux nombres obtenus (3 et 2) étant différents, l'élève peut prendre soit le plus grand des deux (3 jetons), soit le double du plus petit ({2\times2=4} jetons).
Il peut aussi choisir de passer son tour, auquel cas il ne prend aucun jeton (0 jeton).
Il peut donc prendre 0, 3 ou 4 jetons.

2.Dresser la liste des tirages permettant d'obtenir 3 jetons.

Avec un double, l'élève prend directement autant de jetons que l'indique le dé : le tirage (3 ; 3) donne donc exactement 3 jetons.
Avec deux nombres différents, on peut obtenir 3 jetons si le plus grand des deux vaut 3, soit les tirages (3 ; 1), (1 ; 3), (3 ; 2) et (2 ; 3) : le double du plus petit ne peut valoir 3, car 3 n'est pas un nombre pair.
Les tirages permettant d'obtenir 3 jetons sont donc : (1 ; 3), (3 ; 1), (2 ; 3), (3 ; 2) et (3 ; 3).

3.aMontrer que la probabilité de l'événement « les nombres obtenus sont un 3 et un 2 » est \dfrac{1}{18}.

Il y a 6\times6=36 tirages possibles et équiprobables pour les deux dés.
Les tirages donnant un 3 et un 2 sont (3 ; 2) et (2 ; 3), soit 2 tirages favorables.
P = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}.

3.bQuelle est la probabilité de l'événement « au moins un des nombres obtenus est 3 » ?

L'événement contraire est « aucun des deux nombres n'est 3 » : chaque dé a alors 5 issues possibles sur 6, soit {5\times5=25} tirages sur 36.
P(\text{aucun 3}) = \dfrac{25}{36}, donc P(\text{au moins un 3}) = 1-\dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}.

3.cQuelle est la probabilité de l'événement « les nombres obtenus permettent de prendre 4 jetons » ?

Avec un double, seul le tirage (4 ; 4) donne directement 4 jetons.
Avec deux nombres différents, on peut obtenir 4 jetons si le plus grand vaut 4 (tirages (4;1), (1;4), (4;2), (2;4), (4;3), (3;4), soit 6 tirages) ou si le plus petit vaut 2, c'est-à-dire {2\times2=4} (tirages (2;3), (3;2), (2;4), (4;2), (2;5), (5;2), (2;6), (6;2), soit 8 tirages).
Les tirages (2;4) et (4;2) sont communs aux deux listes : au total, 6+8-2=12 tirages avec deux nombres différents, auxquels s'ajoute le double (4;4), soit 12+1=13 tirages favorables sur 36.
P = \dfrac{13}{36}.

4.Après un nouveau lancer des deux dés, un élève a pris 3 jetons. Au lancer suivant, la probabilité qu'il prenne de nouveau 3 jetons augmente-t-elle, reste-t-elle identique ou diminue-t-elle par rapport à la probabilité d'avoir pris 3 jetons au tirage précédent ? Justifier.

Les lancers de dés successifs sont des événements indépendants : le résultat d'un lancer n'a aucune influence sur le suivant.
La probabilité de prendre 3 jetons lors d'un lancer est donc toujours la même, quel que soit le résultat du lancer précédent (elle vaut \dfrac{5}{36}, d'après la question 2).
Cette probabilité reste identique.

5.En fin de partie, un élève possède 12 jetons. Lors de son lancer de dés, il obtient un 1 et un 4. Pourquoi est-il préférable pour lui de passer son tour ?

Avec un 1 et un 4, l'élève peut prendre soit le plus grand des deux (4 jetons), soit le double du plus petit (2\times1=2 jetons), soit passer son tour (0 jeton).
S'il prend 4 jetons, il obtient 12+4=16 jetons, ce qui dépasse 15 : comme le but est d'obtenir exactement 15 jetons, il ne pourrait alors plus jamais gagner, son total ne pouvant qu'augmenter par la suite.
S'il prend 2 jetons, il obtient 12+2=14 jetons : il lui faudrait alors obtenir exactement 1 jeton lors d'un prochain lancer, ce qui n'est possible qu'avec le double (1 ; 1), soit une probabilité de seulement \dfrac{1}{36}.
En passant, il reste à 12 jetons et conserve la possibilité d'obtenir exactement 3 jetons lors d'un prochain lancer, ce qui arrive avec une probabilité de \dfrac{5}{36} (question 2), nettement plus favorable.
Il est donc préférable de passer son tour, pour ne pas dépasser 15 jetons et garder la meilleure chance d'atteindre exactement 15 par la suite.

Affirmation 1 : « 257 est un nombre décimal. »

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule, ce qui inclut tous les nombres entiers (zéro chiffre après la virgule).
Or 257 est un nombre entier, donc en particulier un nombre décimal (il peut s'écrire 257,0).
Vrai.

Affirmation 2 : « \dfrac{7}{3} - 8 est un nombre rationnel. »

\begin{aligned}\dfrac{7}{3}-8 &= \dfrac{7}{3}-\dfrac{24}{3} \\ &= -\dfrac{17}{3}\end{aligned}
Ce nombre s'écrit comme le quotient de deux entiers (-17 et 3) : c'est donc bien un nombre rationnel.
Vrai.

Affirmation 3 : « la somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 3. »

Soit n un nombre entier ; trois entiers consécutifs peuvent s'écrire n-1, n et n+1.
Leur somme vaut {(n-1)+n+(n+1) = 3n}, qui est un multiple de 3, quel que soit l'entier n.
Vrai.

Affirmation 4 : « l'équation (x+1)(x-2) = (x-3)(x+4) admet un nombre entier comme solution. »

On développe chaque membre : {(x+1)(x-2) = x^{2}-x-2} et {(x-3)(x+4) = x^{2}+x-12}.
L'équation devient {x^{2}-x-2 = x^{2}+x-12}, soit -x-2 = x-12, c'est-à-dire 10 = 2x, donc x=5.
5 est bien un nombre entier.
Vrai.

Affirmation 5 : « augmenter une quantité de 15% puis de 10% revient à l'augmenter de son quart. »

Deux augmentations successives de 15 % puis 10 % correspondent à une multiplication par 1{,}15\times1{,}10 = 1{,}265, soit une augmentation globale de 26,5 %.
Augmenter une quantité de son quart correspond à une augmentation de 25 %.
Or 26{,}5\,\% \neq 25\,\%.
Faux.

Affirmation 6 : « un quadrilatère ayant un angle droit est un rectangle. »

Un contre-exemple suffit : un trapèze rectangle possède un angle droit sans que ses quatre angles soient tous droits, donc sans être un rectangle.
Faux.

Affirmation 7 : « un triangle rectangle peut être équilatéral. »

Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à 60^{\circ}, alors qu'un triangle rectangle possède un angle de 90^{\circ}.
Un triangle ne peut donc pas être à la fois équilatéral et rectangle.
Faux.

Affirmation 8 : « par la fonction f définie par f(x) = -3x+1, l'antécédent de 4 est -11. »

On cherche x tel que f(x)=4, c'est-à-dire -3x+1=4.
-3x = 3, donc x = -1.
L'antécédent de 4 par f est -1, et non -11.
Faux.

Affirmation 9 : « le triangle ABC, schématisé ci-dessous, est rectangle. »

Le plus grand côté du triangle est [AC], avec AC=39 cm.
D'une part, \begin{aligned}AC^{2} &= 39^{2} \\ &= 1521\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}AB^{2}+BC^{2} &= 35^{2}+12^{2} \\ &= 1225+144 \\ &= 1369\end{aligned}
On constate que AC^{2} \neq AB^{2}+BC^{2} (1521 \neq 1369).
Donc, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.
Faux.

Affirmation 10 : « si on multiplie par 3 les longueurs des côtés d'un rectangle, alors son aire est également multipliée par 3. »

Si un rectangle a pour longueur L et largeur \ell, son aire vaut L\times\ell.
En multipliant les deux côtés par 3, le nouveau rectangle a pour aire {(3L)\times(3\ell) = 9\times L\times\ell} : l'aire est multipliée par 9, et non par 3.
Faux.